微擾QCD因子化方法下的研究

孫艷軍，趙國華，王 斌，王 琛

(西北師范大學 物理與電子工程學院，甘肅 蘭州 730070)

在高能粒子物理中，B介子衰變在檢驗標準模型和尋找新物理方面發(fā)揮著重要作用.B介子弱衰變理論研究涉及的能標和自由度較多，可靠的定量計算比較困難.通常人們采用有效理論處理多自由度問題，用因子化方法處理多能標問題.因此，基于弱作用有效理論人們先后發(fā)展了簡單因子化方法[1]，QCD因子化方法(QCDF)[2-3]，微擾QCD因子化方法(PQCD)[4-5]，以及軟共線有效理論[6]來處理B介子無粲非輕弱衰變.在上述方法中，基于橫動量因子化的微擾QCD方法有較好的預言能力，這是因為該方法通過保留夸克的橫向動量避免了端點奇異性，而對保留橫動量后出現(xiàn)的雙對數(shù)項的重求和得到的Sudakov因子可以有效的壓低長程貢獻，同時硬膠子交換保證硬散射核可以微擾計算.

1 理論框架與解析計算

其中，Vub(X)和Vtb(X)為與具體衰變過程相關的CKM矩陣，X為與具體衰變過程相關的夸克；Ci(μ)為威爾遜系數(shù)；Oi(1,2,3,…,10)為四費米子算符，表示如下:

流-流算符為

QCD企鵝算符為

QED企鵝算符為

微擾QCD方法(PQCD)是由李湘楠[4-5]等提出用來處理強子矩陣元M2M3|Ci(μ)|B的一種方案.PQCD圖像下，B介子中的輕夸克要與B介子衰變產(chǎn)生的夸克形成高速運動的末態(tài)介子，需要一個硬膠子做媒介.因此，B介子到輕介子的躍遷形狀因子是以硬膠子交換為主并且可以微擾計算，而非微擾部分被吸收到過程無關的介子波函數(shù)中.PQCD計算中，夸克的橫向動量被保留，計算過程不會出現(xiàn)端點發(fā)散問題.作為保留橫動量的副產(chǎn)物，雙對數(shù)項重求和得到的Sudakov因子可以有效地壓低長程貢獻.因此，B→M2M3過程的衰變振幅可以表示為硬核函數(shù)H(k1,k2,k3,t)、波函數(shù)Φ、威爾遜系數(shù)C(t)的卷積，即

在計算過程中，采用光錐坐標系.假設M2和M3分別沿著n和v方向運動，n,v為兩個類光矢量，n=(1,0,0⊥,v=(0,1,0⊥).B介子和兩個末態(tài)矢量介子及它們的“輕”夸克的四動量為

其中，xi為介子中輕夸克的動量分數(shù)；r2=M2/MB;r3=M3/MB.

其中AL,AN,AT用洛倫茲不變量a,b,c可表示為

這樣，得到3個可以利用PQCD方法[4-5]計算的極化振幅

(14)

其中,τBd,s為Bd,s介子壽命;|pc|為B介子靜止系中兩個末態(tài)介子動量的模.

為了方便研究極化性質(zhì)，引入螺旋度振幅

(16)

它們滿足

H0,H+,H-分別對應于末態(tài)矢量介子的螺旋度為0，+1，-1.

在PQCD因子化方法中，B介子波函數(shù)[15-18]為

其中，分布振幅φB(x,b)的表達式為

其中，x為B介子中輕夸克的動量分數(shù)；b為輕夸克橫向動量的共軛坐標量；ωB為自由參數(shù)，具體取值取決于實驗.NB為歸一化系數(shù)，滿足歸一化條件

對于輕矢量介子，其縱向和橫向波函數(shù)表達式為[19-21]

其中，p為矢量介子動量;全反對稱張量μνρσ=-μνρσ=-1;L為矢量介子縱向極化矢量;T為其橫向極化矢量，具體表達為

對應的蓋根保爾多項式為

其中,t=2x-1,x為夸克動量分數(shù).

圖1 費曼圖

利用每個圖的計算結(jié)果，得到上述4個衰變過程的衰變振幅為

其中i=L,N,T,GF為費米耦合常數(shù);LL為(V-A)(V-A)流的貢獻;LR表示(V-A)(V+A)流的貢獻;SP為(V-A)(V+A)流經(jīng)過Fiertz重排后產(chǎn)生的(S+P)(S-P)流的貢獻;ann為湮滅圖的貢獻;fK*/B為K*/B介子的衰變常數(shù);F和M為相應衰變道的振幅，具體表達式見文獻[12].威爾遜系數(shù)的線性組合ai表示如下

3 數(shù)值結(jié)果及討論

在數(shù)值計算中，除了波函數(shù)外，文中還用到其它參數(shù)，如QCD標度、介子質(zhì)量、衰變常數(shù)等，其取值如下[22]：ΛQCD=0.35±0.05 GeV,MB0=5.279 GeV,MBs=5.336 GeV,fBs=0.21 GeV,fBs=0.24 GeV,τB0=1.519×10-12s,τBs=1.516×10-12s,Vud=0.9727,Vub=0.00351,Vus=0.22534,Vtb=0.00866,Vtd=0.999146,Vts=0.04040,β=21.5°,γ=68°.

對于上述4個衰變道，除了分支比和極化分數(shù)外，還可以計算直接CP破壞，其定義為

其中A0,A‖,A⊥見(13)式.

表1 PQCD方法計算的分支比(10-6),直接CP破壞,的結(jié)果

表2 PQCD方法計算的相對相位φ‖,φ⊥和可觀測量Δφ‖,Δφ⊥的結(jié)果

表3 PQCD方法計算的極化分數(shù)fL,f‖,f⊥的結(jié)果

最后，考察了分支比、直接CP破壞、縱向極化分數(shù)fL對B介子波函數(shù)中的自由參數(shù)ωB和因子化能標t的依賴情況.在圖2～5中可以看出B0→K*+K*-的分支比對ωB和能標t不敏感，這是因為該過程是樹圖主導過程，可因子化圖占主要貢獻，而此類圖的數(shù)值與ωB無關.對于其它過程，都是發(fā)射圖為主，而此類圖非常依賴于B介子波函數(shù)， 所以對ωB和能標都比較敏感. 從圖6和圖7看到波函數(shù)對于直接CP破壞的影響比能標對于直接CP破壞的影響要小的多，因為直接CP破壞是比值，波函數(shù)的影響會減小，從直接CP破壞表達式(37)可以看到這一點.直接CP破壞來自于樹圖算符和企鵝圖算符的干涉，所以它隨ωB變化是非線性的.從圖8和圖9中可以看出，對于縱向極化分數(shù)，可以有類似的結(jié)論.經(jīng)過與最新的LHCb實驗值進行比較后發(fā)現(xiàn)在數(shù)值計算中選擇一個較大ωB值會更加符合實驗結(jié)果.

圖2 B0→K*+K*-和的分支 比對ωB的依賴性

圖和的分支 比對ωB的依賴性

圖4 B0→K*+K*-和的分支 比對能標的依賴性

圖和的分支 比對能標的依賴性

圖6 直接CP破壞對參數(shù)ωB的依賴性

圖7 直接CP破壞對能標的依賴性

圖8 fL對ωB的依賴性

圖9 fL對能標的依賴性

4 結(jié)束語