一類帶齊次凝聚核的Smoluchowski方程的尺度變換群及相似解

林府標(biāo),楊欣霞,張千宏

(貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

0 引言

1917年,統(tǒng)計(jì)物理學(xué)家Smoluchowski提出的Smoluchowski方程[1]，盡管精確解探尋困難，但其數(shù)值解卻不斷涌現(xiàn)，應(yīng)用廣泛[2-9]，如氣或水溶膠科學(xué)、大氣科學(xué)、云科學(xué)、工業(yè)環(huán)?？茖W(xué)、環(huán)境力學(xué)、納米顆粒綜合工程科學(xué)等.連續(xù)型積分-偏微分Smoluchowski方程可寫成

(2)

凝聚是指兩個(gè)粒子成功碰撞聚并成一個(gè)質(zhì)量較大的粒子.一對(duì)實(shí)體粒子發(fā)生碰撞的概率及碰撞之后的成功凝聚及反彈，是決定凝聚核的兩個(gè)主要因素.凝聚核在氣溶膠動(dòng)力學(xué)、化學(xué)、物理學(xué)等諸多應(yīng)用學(xué)科領(lǐng)域扮演著重要的角色.在紛繁復(fù)雜和類型多樣的凝聚核中，γ次齊次凝聚核

(3)

以下是幾類主要的凝聚核函數(shù)：

1)連續(xù)區(qū)布朗凝聚核函數(shù)[8]：

(5)

其中κ1=2kBT/(3μ)為碰撞系數(shù)，kB是玻耳茲曼(Boltzmann)常數(shù)，T是氣體溫度，μ是氣體的粘性度.

2)自由分子區(qū)布朗凝聚核函數(shù)[8]：

(6)

其中κ2=(3/4π)1/6(6kBT/ρp)1/2為碰撞系數(shù)，kB是玻耳茲曼(Boltzmann)常數(shù)，T是氣體溫度，ρp是粒子密度.

3)剪切凝聚核函數(shù)[6]：

(7)

4)純熱泳凝聚核函數(shù)[9]：

其中Cs,Ct,Cm是氣體-固體相互作用系數(shù),A1是密立根(Millikan)滑移修正因子,ν是氣體運(yùn)動(dòng)粘度，kg是氣體導(dǎo)熱系數(shù)，kp是粒子導(dǎo)熱系數(shù)，T是局部氣體溫度，T是溫度梯度，l是氣體平均自由程.

近年來，探究積分-偏微分方程(1)的解及解法已受到國內(nèi)外諸多學(xué)者的關(guān)注[2-9]，鑒于其精確解極度匱乏，常常需要借助數(shù)值離散方案、數(shù)值實(shí)驗(yàn)、近似解析逼近理論等方法.在工程應(yīng)用領(lǐng)域，解析研究帶最簡單凝聚核的積分-偏微分方程(1)對(duì)應(yīng)的初值及邊值問題，往往都是既棘手又重要的課題.針對(duì)一般的凝聚核(2)，尋找積分-偏微分方程(1)的顯式精確解及解法技巧是非常困難的，需要數(shù)學(xué)方法的重大創(chuàng)新或突破.

其中N0代表核滴的初始數(shù)量,p為常數(shù)，而一階矩V代表空間單位體積被濃縮成水的體積.

2014年，Yu等[3]利用矩泰勒展式討論了帶凝聚核(6)的積分-偏微分方程(1)的解析解；2006年，F(xiàn)ournier等[4]分析了帶凝聚核(7)和(8)的積分-偏微分方程(1)的測度值解的存在性和唯一性；2000年，Ramkrishna[5]研究了積分-偏微分方程(1)的相似行為和自相似解;1965年，F(xiàn)riedlander等[6]用相似變換得到了群體平衡方程的自保持分布的漸近形式解.近年來，林府標(biāo)等[13]采用伸縮變換群分析法尋找?guī)С?shù)凝聚核、和凝聚核、乘積凝聚核的積分-偏微分方程(1)的相似解，Lin等[14]利用尺度變換群結(jié)合改進(jìn)的李群分析法探尋群體平衡方程的精確解，文獻(xiàn)[7-9]應(yīng)用幾何平均近似法、廣義對(duì)數(shù)正態(tài)矩法、對(duì)數(shù)正態(tài)矩法等探討了帶凝聚核(5),(6)和(8)的積分-偏微分方程(1)的解析解.

受上述工作的啟發(fā)，文中首先將量綱分析法應(yīng)用于求解帶齊次凝聚核(4)的積分-偏微分方程(1)，減少齊次凝聚核(5)～(8)中獨(dú)立常量的數(shù)量，簡化原方程帶繁瑣獨(dú)立常量的復(fù)雜性；其次，將常用于函數(shù)、常微分方程、純偏微分方程的尺度變換群分析法，用于帶齊次凝聚核(4)的積分-偏微分方程(1)，嘗試探究其有效性、可行性和簡潔性，在不同于文獻(xiàn)[5-6,13-14]的尺度變換群的作用下，用尺度函數(shù)的相似不變量構(gòu)造自相似解和約化積分-常微分方程；最后，借助于帶齊次凝聚核(4)的積分-偏微分方程(1)接受的平移變換群的平移作用和找到的自相似解，進(jìn)一步構(gòu)造原方程的新相似解.

1 量綱分析

量綱分析[10]在自然和工程科學(xué)有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，其基本理論來源于美國工程科學(xué)家 Buckingham，即所謂的Buckingham π-定理[11].機(jī)械工程、物理學(xué)等諸多實(shí)際問題中，往往需處理許多刻畫自然現(xiàn)象本質(zhì)的一些基本的量、控制參數(shù)及數(shù)量，如實(shí)驗(yàn)測量、長度、質(zhì)量、時(shí)間等.量綱分析的主要思想，就是減少必不可少的相互獨(dú)立的量的數(shù)量.

受文獻(xiàn)[10,12-14]的啟發(fā)，假設(shè)積分-偏微分方程(1)接受尺度變換系

(9)

因此，帶γ次齊次核函數(shù)(4)的積分-偏微分方程(1)可重新改寫成

積分-偏微分方程(12)的初值和邊值條件分別為

初值條件f(x,0)=0表示最初種群系統(tǒng)中沒有粒子存在，邊界條件f(∞,t)=0刻畫尺寸足夠大的粒子，種群粒度分布必然趨于零.

針對(duì)布朗凝聚核函數(shù)(5)，采用γ次齊次核函數(shù)的性質(zhì)(4)可推出γ=0.若選取參數(shù)κ=κ1,f0=1/(κ1x0τ0)，則積分-偏微分方程(12)可寫成

2 尺度變換群分析

假設(shè)積分-偏微分方程(12)接受單參數(shù)尺度變換群

借助假設(shè)條件可知,尺度變換群(18)將積分-偏微分方程(12)的任一解f=f(x,t)變換成積分-偏微分方程

的解.把解的表達(dá)式

及尺度變換群(18)代入積分-偏微分方程(19)，得到

鑒于f=f(x,t)是積分-偏微分方程(12)的任一解，由積分-偏微分方程(20)，可推出尺度變換群(18)所含參數(shù)λ1和λ2滿足恒等式

μ=-(γ+1)λ1-λ2.

(21)

借助于量綱分析和尺度變換群的算法框架，研究積分-偏微分方程(12).鑒于因變量個(gè)數(shù)m=1，自變量個(gè)數(shù)n=2，尺度變換群的參數(shù)個(gè)數(shù)r=1,于是m+n-r=2，所以存在兩個(gè)相互獨(dú)立的尺度函數(shù)相似不變量

其中θ1i,θ2i,θ3i(i=1,2)為未知實(shí)常數(shù).若要使尺度函數(shù)相似不變量(22)在尺度變換群(18)的作用下仍然保持為不變量，則有

將尺度變換群(18)代入尺度函數(shù)相似不變量恒等方程，得到

由群參數(shù)a的任意性，得到

把關(guān)系式(21)代入方程(23)，得到

3 解的群變換及相似解

類似于尺度變換群(18)被積分-偏微分方程(12)接受的證明方法，可驗(yàn)證積分-偏微分方程(12)接受單參數(shù)平移變換群

將解向量(25)代入(22)式，于是相互獨(dú)立的尺度函數(shù)的相似不變量φ1和φ2可寫成

φ1(x,t,f)=tf,φ2(x,t,f)=x.

借助于平移變換群Tt0的平移作用,帶γ次齊次核函數(shù)(4)的積分-偏微分方程(12)的相似解可寫成

f(x,t)=(t+t0)-1φ(x),

(26)

其中相似解(26)滿足初值和邊值條件(13)，函數(shù)φ(x)滿足約化積分-常微分方程

若常數(shù)λ1≠0,令α=λ2/λ1,α∈R，則方程(24)可重新改寫成

因此方程(28)的解向量為

將解向量(29)代入表達(dá)式(22)式，于是相互獨(dú)立的尺度函數(shù)的相似不變量φ1和φ1可寫成

借助于平移變換群Tt0的平移作用,帶γ次齊次核函數(shù)(4)的積分-偏微分方程(12)的相似解可寫成

f(x,t)=x-1-γ-αφ(z),z=x-α(t+t0),

(30)

其中相似解(30)滿足初值和邊值條件(13)，函數(shù)φ(z)滿足約化積分-常微分方程

3.1 情形

針對(duì)布朗凝聚核函數(shù)(5)，用齊次核函數(shù)的性質(zhì)(4)可得γ=0.結(jié)合相似解(26)和約化方程(27)，積分-偏微分方程(12)的相似解可寫成

f(x,t)=(x+t0)-1φ(x),

其中函數(shù)φ(x)滿足約化積分-常微分方程

類似地，結(jié)合相似解(30)和約化方程(31)，積分-偏微分方程(12)的相似解可寫成

f(x,t)=x-1-αφ(z),z=x-α(t+t0),

其中函數(shù)φ(z)滿足約化積分-常微分方程

3.2 情形

針對(duì)布朗凝聚核函數(shù)(6)，采用齊次核函數(shù)的性質(zhì)(4)可得γ=1/6.結(jié)合相似解(26)和約化程(27)，積分-偏微分方程(12)的相似解可寫成

f(x,t)=(x+t0)-1φ(x),

其中函數(shù)φ(x)滿足約化積分-常微分方程

類似地，結(jié)合相似解(30)和約化方程(31)，積分-偏微分方程(12)的相似解可寫成

其中函數(shù)φ(z)滿足約化積分-常微分方程

3.3 情形

針對(duì)剪切凝聚核函數(shù)(7)，用齊次核函數(shù)的性質(zhì)(4)可推出γ=1.結(jié)合相似解(26)和約化方程(27)，積分-偏微分方程(12)的相似解可寫成

f(x,t)=(x+t0)-1φ(x),

其中函數(shù)φ(x)滿足約化積分-常微分方程

類似地,結(jié)合相似解(30)和約化方程(31),積分-偏微分方程(12)的相似解可寫成

f(x,t)=x-2-αφ(z),z=x-α(t+t0),

其中函數(shù)φ(z)滿足約化積分-常微分方程

3.4 情形

針對(duì)純熱泳凝聚核函數(shù)(8)，用齊次核函數(shù)的性質(zhì)(4)可得γ=1/3.結(jié)合相似解(26)和約化方程(27)，積分-偏微分方程(12)的相似解可寫成

f(x,t)=(x+t0)-1φ(x),

其中函數(shù)φ(x)滿足約化積分-常微分方程

類似地,結(jié)合相似解(30)和約化方程(31)，積分-偏微分方程(12)的相似解可寫成

其中函數(shù)φ(z)滿足約化積分-常微分方程

4 結(jié)束語

探究帶齊次凝聚核的積分-偏微分群體平衡Smoluchowski方程的精確解及解法，在理論和實(shí)際應(yīng)用上均是重要的研究課題，精確解可以很好地描述和刻畫實(shí)體問題的本質(zhì)規(guī)律.文中用量綱分析、尺度變換群和解的群變換技巧研究方程的相似解，并且用尺度函數(shù)的相似不變量構(gòu)造相似解，豐富了精確解的多樣性.如何獲得約化的積分-常微分方程的精確解以及相似解與高精度數(shù)值解的誤差，從而判斷該相似解的精確程度與潛在應(yīng)用價(jià)值，值得在今后的研究中深思和探究.