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    圓錐曲線內(nèi)接四邊形的又一個(gè)新性質(zhì)

    2022-06-02 09:21:02湖北省大冶市第一中學(xué)435100徐國(guó)輝舒紅霞
    關(guān)鍵詞:大冶市二次曲線徐國(guó)

    湖北省大冶市第一中學(xué) (435100) 徐國(guó)輝 舒紅霞

    文[1]給出了圓錐曲線內(nèi)接四邊形如下的新性質(zhì).

    性質(zhì)1 已知四邊形ABCD是拋物線y2=2px的內(nèi)接四邊形,則kAB+kCD=0?kBC+kDA=0?kAC+kBD=0.

    性質(zhì)2 已知四邊形ABCD是圓錐曲線mx2+ny2=1(mn≠0)的內(nèi)接四邊形,則kAB+kCD=0?kBC+kDA=0?kAC+kBD=0.

    文[2]給出了性質(zhì)1與性質(zhì)2的簡(jiǎn)單證明及圓錐曲線內(nèi)接四邊形的一個(gè)類似性質(zhì).筆者經(jīng)過(guò)探究,發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線內(nèi)接四邊形的又一個(gè)新性質(zhì).

    證明:設(shè)四邊形ABCD是圓錐曲線mx2+ny2=1(mn≠0)的內(nèi)接四邊形,設(shè)直線AB,CD的方程分別為y=k1x+b1,y=k2x+b2,直線AC,BD的方程分別為y=k3x+b3和y=k4x+b4,則A,B,C,D同在由AB,CD生成的二次曲線(y-k1x-b1(y-k2x-b2=0和由AC,BD生成的二次曲線(y-k3x-b3·(y-k4x-b4=0上,又因A,B,C,D是圓錐曲線mx2+ny2=1(mn≠0)上的四點(diǎn),因而存在μ,ν(μ≠0,ν≠0),使得μ(y-k1x-b1)(y-k2x-b2)+ν(y-k3x-b3)(y-k4x-b4)=mx2+ny2-1.

    在性質(zhì)3中,當(dāng)四邊形退化為三角形時(shí)有如下性質(zhì).

    限于篇幅只證明性質(zhì)5(2).

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