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    一道奧賽不等式題的簡證、變式與推廣

    2022-06-02 09:23:06湖南省桃江縣第一中學413400胡芳舉湖南省岳陽縣第一中學414100胡燕玲
    中學數(shù)學研究(江西) 2022年6期
    關鍵詞:奧賽桃江縣實數(shù)

    湖南省桃江縣第一中學 (413400) 胡芳舉 湖南省岳陽縣第一中學 (414100) 胡燕玲

    題目已知實數(shù)a,b,c,d滿足ad,證明:(a-b)(a2+b2)<(c-d)(c2+d2).

    該不等式選自湖南師大沈文選教授主編的《奧賽經(jīng)典.高一數(shù)學》(2004年出版).本文將給出該題的一個簡證、三個變式及三個推廣.

    一、簡證

    設fs(x)=(x-s)(x2+s2),x∈R,則fs′(x)=3x2-2sx+s2=2x2+(x-s)2≥0,∴f(x)單調遞增(與實數(shù)s的取值無關),∵a

    二、變式

    變式1 已知實數(shù)a,b,c,d滿足a

    注:在原不等式中將b,d分別換成-b,-d可得上式,感覺這個不等式更和諧.

    變式2 已知a-c>|b-d|,求證:a(a2+3b2)>c(c2+3d2).

    證明:由題設知c-ac-d,a+b>c+d,∴(a-b)3>(c-d)3,(a+b)3>(c+d)3,由這兩個不等式相加、化簡即得要證不等式.

    變式3 已知a-c>|b-d|,求證:a(a2+b2)>c(c2+d2).

    證明:要證a(a2+b2)>c(c2+d2),等價于證a3-c3>cd2-ab2,由變式2知a3-c3>3(cd2-ab2).若cd2-ab2≥0,則3(cd2-ab2)≥cd2-ab2,于是a3-c3>cd2-ab2;若cd2-ab2<0,因為a3-c3>0,故同樣有a3-c3>cd2-ab2,所以變式3成立.

    三、推廣

    1.從項數(shù)上推廣可得

    推廣1 設ai

    證明:設f(a1,a2,a3) = (a1+a2+a3)(a12+a22+a32),a1,a2,a3∈R,則fa1′ = 3a12+ 2(a2+a3)a1+ (a22+a32) =a12+ (a1+a2)2+ (a1+a3)2≥0,∴f(a1,a2,a3)關于a1單調遞增,由于a1,a2,a3對稱,∴f(a1,a2,a3)分別關于變量a1,a2,a3單調遞增(就單調性而言各變量相互獨立).∴由ai

    2.從指數(shù)推廣可得

    推廣2 設an>0,則(am+bm)(an+bn)<(cm+dm)(cn+dn).

    (1)當t≥0時,顯然g(t)>0,∴fa′>0;

    (2)當t<0時,g′(t)=mntn-1(1+tm-n),∴當t∈(-1,0)時,g′(t)>0,當t∈(-∞,-1)時,g′(t)<0,∴g(t)≥g(-1)=2n>0,∴fa′>0.

    綜上,總有fa′≥0,∴f(a,b)關于a單調遞增.又由于a,b對稱,故f(a,b)分別關于變量a,b單調遞增,∴由a

    3.一般形式

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