指向理解的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

福建省上杭一中 (364200) 林金海

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的“細(xì)胞”，思維教學(xué)必須回到概念.它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力、理性思維和創(chuàng)新能力至關(guān)重要，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必要條件.但在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，不少教師對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)過于強(qiáng)化其機(jī)械性記憶及性質(zhì)的程式化操練.這樣的做法既讓教學(xué)錯(cuò)失了“使學(xué)習(xí)者體驗(yàn)探究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過程”的好機(jī)會(huì)，也浪費(fèi)了一個(gè)發(fā)展學(xué)生“四基”、提高“四能”、形成“三會(huì)”的好素材.學(xué)生對(duì)概念理解的深度源于教師對(duì)教學(xué)理解的厚度.教師基于學(xué)生深度解讀知識(shí)理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，是提高概念教學(xué)效果的重要路徑.前不久舉行的市級(jí)優(yōu)質(zhì)課比賽中，筆者有幸擔(dān)任評(píng)委，聆聽選手教學(xué)之后，對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)多了幾分思考.

一、教學(xué)片斷摘要

環(huán)節(jié)一：引入概念

問題1：初中數(shù)學(xué)怎樣定義角？

學(xué)生思考、回答后教師點(diǎn)評(píng)：一是從圖形形狀靜態(tài)定義；二是從射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)定義，但旋轉(zhuǎn)大小不超過3600.

問題2：播放奧運(yùn)體操冠軍陳一冰的表演視頻，請(qǐng)同學(xué)們思考“空中轉(zhuǎn)體2周”能用初中所學(xué)角來描述嗎？

學(xué)生思考、回答后教師指出：初中角的定義無法表述所需的角了，有必要將角的范圍進(jìn)行推廣.

問題3：教師出示兩個(gè)時(shí)鐘，一個(gè)快了15分鐘，另一個(gè)慢了75分鐘，如何進(jìn)行拔針調(diào)準(zhǔn)？

教師請(qǐng)同學(xué)上臺(tái)實(shí)驗(yàn)，并要求同學(xué)分析兩個(gè)時(shí)鐘在調(diào)整過程中，分針轉(zhuǎn)動(dòng)方向和旋轉(zhuǎn)度數(shù)應(yīng)怎樣表述？

問題4：初中怎樣用數(shù)字表示“向東走3米”與“向西走3米”？不同旋轉(zhuǎn)方向的角也能這樣表示嗎？

問題5：怎樣對(duì)任意角進(jìn)行分類？

學(xué)生思考、回答后教師指出：按旋轉(zhuǎn)方向進(jìn)行分類，用正、負(fù)數(shù)值表示其數(shù)量.

環(huán)節(jié)二：平面直角坐標(biāo)系下角的研究

問題6：初中研究三角函數(shù)是把角放在哪個(gè)圖形中？(直角三角形)

問題7：任意角能放在直角三角形嗎？該放在哪里才能更好地研究任意角呢？為什么？

問題8：怎樣將角放在平面直角坐標(biāo)系？

問題9：數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？任意角的終邊與平面直角坐標(biāo)系的象限有對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？

問題10：任意角還能進(jìn)行怎樣的分類？

學(xué)生思考、回答后教師指出：可按終邊所在位置分，今后研究角通常都放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi).

環(huán)節(jié)三：終邊相同角的集合表示

問題11：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列角，并把終邊相同的角進(jìn)行分類：0°，45°，90°，360°，405°，720°，765°，810°.

問題12：還可以再寫幾個(gè)終邊與90°相同的角嗎？它們之間有什么關(guān)系？

問題13：終邊與90°相同的角(連同90°角在內(nèi))可以怎樣表示？能用集合表示嗎？

問題14：會(huì)用集合表示終邊與45°相同的所有角嗎？

問題15：會(huì)用集合表示終邊與α相同的所有角嗎？

環(huán)節(jié)四：鞏固概念

問題16：判斷下列說法是否正確

(1)0°～90°的角是銳角；

(2)第一象限的角是銳角；

(3)小于90°的角是銳角；

(4)小于90°的角終邊在第一象限；

以下過程省略.

二、基于上例概念教學(xué)過程的若干思考

1、創(chuàng)設(shè)情境引入，力求自然而然

概念的引入是概念形成的基礎(chǔ)，每個(gè)概念的產(chǎn)生都有豐富的知識(shí)背景，形成準(zhǔn)確概念的首要條件是讓學(xué)生獲得十分豐富和合乎實(shí)際的感性材料.而教材表達(dá)的概念一般做了“去情境化”的處理，只剩下抽象的符號(hào)和專業(yè)的術(shù)語.因此，概念教學(xué)要基于學(xué)生認(rèn)知，根據(jù)概念特點(diǎn)，借助與新概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的事例或已有的相關(guān)概念，讓學(xué)生在觀察、分析熟悉的現(xiàn)實(shí)問題中豐富感性認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的生長點(diǎn)，才能從中抽象出數(shù)學(xué)模型，為學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念作好的鋪墊.本課通過播放體操運(yùn)動(dòng)員表演視頻和調(diào)整時(shí)鐘實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生自然接受“為什么要拓展初中0°-360°角的范圍？”“為什么要引入正角和負(fù)角？”“為什么要學(xué)習(xí)終邊相同的角？”等，使之明白數(shù)學(xué)概念的由來，體會(huì)數(shù)學(xué)概念引進(jìn)的必要性和必然性，全過程做到“無痕跡、非勉強(qiáng)”.只有學(xué)生內(nèi)心覺得學(xué)習(xí)這些新知識(shí)、新概念是有必要的，他們才會(huì)敞開心扉，樂于探究，主動(dòng)學(xué)習(xí)，內(nèi)化新知識(shí)才有可能.

2、探究概念形成，不可惜時(shí)惜力

問題是思維的載體,以問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生去探索和發(fā)現(xiàn)是習(xí)得知識(shí)的好方法.概念教學(xué)要慢化概念的形成過程，通過合理地設(shè)計(jì)問題序列，讓學(xué)生思維進(jìn)入一種讓知識(shí)“重現(xiàn)”向“重演”轉(zhuǎn)變的狀態(tài)，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念形成的軌跡，是幫助學(xué)生自主探究，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的重要手段.本課從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)問題中提出問題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)初中角的定義存在局限，激發(fā)他們對(duì)角的定義進(jìn)行擴(kuò)充的欲望，從而獲得任意角的概念；在探究平面直角坐標(biāo)系下研究角的方法中，發(fā)現(xiàn)角的終邊重復(fù)出現(xiàn)的特點(diǎn)后，對(duì)任意角進(jìn)行了二次分類；再由特殊到一般，在解決問題的過程中慢慢領(lǐng)悟終邊相同角之間的內(nèi)在聯(lián)系，最終獲得終邊相同角的概念和象限角的表示方法.在各環(huán)節(jié)的落實(shí)上，由淺入深地設(shè)置了恰時(shí)恰點(diǎn)的問題，逐層漸進(jìn)地將學(xué)生引導(dǎo)到本節(jié)知識(shí)的核心內(nèi)容.在經(jīng)歷問題解決的“數(shù)學(xué)化”的過程中,為新概念的出臺(tái)掃清障礙，在探究概念形成的過程中，積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高知識(shí)學(xué)習(xí)的探究能力，也促進(jìn)了對(duì)新概念的清晰理解.

3、詮釋概念本質(zhì)，需要不折不扣

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的源泉.概念教學(xué)要注重概念獲得過程中數(shù)學(xué)思想和方法的滲透，才能真正達(dá)成對(duì)概念本質(zhì)的內(nèi)化，這才是概念生成的核心.本課類比初中正、負(fù)數(shù)的引入，時(shí)鐘調(diào)整實(shí)驗(yàn)，從數(shù)學(xué)角度去定義任意角的概念并進(jìn)行分類；類比數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把任意角放置在平面直角坐標(biāo)系，將任意角的“數(shù)”量表示轉(zhuǎn)換為“形”，讓學(xué)生理解象限角定義的思想，滲透了標(biāo)準(zhǔn)化、簡(jiǎn)單化、對(duì)應(yīng)等思想.最終將角的討論歸結(jié)為終邊位置的問題，從而讓問題得到簡(jiǎn)化；在終邊相同角的集合表示中，先讓學(xué)生自己畫角，從特殊到一般，充分揭示角的終邊旋轉(zhuǎn)的“周而復(fù)始”性，在慢慢領(lǐng)悟終邊相同角之間的內(nèi)在聯(lián)系中歸納出概念及表示法.終邊周而復(fù)始的變化規(guī)律也就是終邊相同角的概念的本質(zhì)，也體現(xiàn)了三角函數(shù)的周期性.整個(gè)教學(xué)過程中，周而復(fù)始是根，類比化歸是本，數(shù)形結(jié)合是魂.蘊(yùn)含在概念中的數(shù)學(xué)思想方法，要不折不扣地滲透和提煉,才能實(shí)現(xiàn)概念的教育價(jià)值，提升概念教學(xué)的高度.

4、拓展概念寬度，不能就事論事

數(shù)學(xué)中很多概念都有相似性或共同點(diǎn)，因此，在概念形成之后，教師不可因時(shí)空限制就嘎然而止，要把所學(xué)新概念與已有概念進(jìn)行對(duì)比延拓，把相關(guān)概念串聯(lián)成線，構(gòu)建概念網(wǎng)絡(luò)，讓所學(xué)知識(shí)排列有序，從而深化數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).即可通過設(shè)計(jì)“貌似神非”的案例來校正，也可巧設(shè)問題鏈，在對(duì)相關(guān)問題的辨析中，體驗(yàn)一個(gè)自我完善的過程，達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)概念的真正理解.本課在終邊相同角的概念得出之后，設(shè)置了一組辨析題，讓學(xué)生對(duì)銳角、0°～90°的角、第一象限角等相關(guān)概念的理解更加清晰，降低了記憶的難度，拓寬知識(shí)面和視野，更好地構(gòu)建學(xué)科概念體系，還能喚醒學(xué)生的悟性和靈感，有效提升利用概念解題的能力，讓概念教學(xué)更具有生命力.

數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到統(tǒng)領(lǐng)和主導(dǎo)作用，如何提升概念教學(xué)的有效性，是每位數(shù)學(xué)教師必須深思的問題.筆者認(rèn)為，概念教學(xué)設(shè)計(jì)中以數(shù)學(xué)概念的抽象過程為載體的學(xué)生認(rèn)知過程分析不可缺少，以數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的揭示過程為載體的思維探究活動(dòng)也不可缺乏.要在乎知識(shí)的關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)，在意數(shù)學(xué)思想的滲透與揭示，在心學(xué)生的進(jìn)步與發(fā)展，才能在概念教學(xué)中發(fā)展思維、增長能力、進(jìn)而形成數(shù)學(xué)素養(yǎng).