氘核中子反應截面的法捷耶夫方程理論計算

李 琰，龐丹陽,*，陳文棣，陶 曦，續(xù)瑞瑞，葛智剛

(1.北京航空航天大學 物理學院，北京 10008；2.中國原子能科學研究院 核數(shù)據(jù)重點實驗室，中國核數(shù)據(jù)中心，北京 102413)

三核子體系的結(jié)構及核反應是檢驗各種核力模型的試驗場[1-2]，n+d三核子體系的全套中子反應截面也是重要的核數(shù)據(jù)。因此，對于三核子反應體系的結(jié)構和反應模型的理論研究在核物理基礎研究和核應用方面都有重要的作用。

自20世紀60年代被提出以來，法捷耶夫方程已廣泛應用于三體體系的結(jié)構和反應理論研究[3-4]。結(jié)合兩體現(xiàn)實核力以及三體核力，法捷耶夫方程已成為描述n+d三核子體系核反應最精確的理論工具[5]。但我國在此方面的研究與國際先進水平尚存在較大的差距。目前，中國核數(shù)據(jù)中心CENDL數(shù)據(jù)庫中d核中子反應數(shù)據(jù)的理論計算結(jié)果是20世紀八九十年代由中國原子能科學研究院的儲連元等完成的[6]。這些計算所采用的核子-核子相互作用為s-波可分離勢[7]。在中子入射能量小于20 MeV的區(qū)域，此相互作用對n+d全套中子反應數(shù)據(jù)的描述能力尚可。但隨著中子入射能量的增加，s-波相互作用將越來越不足以對氘核中子反應截面數(shù)據(jù)提供精確的理論預測。為此，需要開展基于法捷耶夫方程的三體核反應理論研究，采用超出s-波的核子-核子相互作用的法捷耶夫方程的數(shù)值求解，實現(xiàn)對較高能量范圍內(nèi)的全套中子反應數(shù)據(jù)的準確預測。

本文主要介紹利用法捷耶夫方程計算n+d三核子反應體系的彈性散射微分截面、破裂反應、破裂反應出射中子和質(zhì)子的雙微分截面的理論框架及數(shù)值計算結(jié)果，同時計算彈性散射總截面和破裂反應總截面的激發(fā)函數(shù)。

1 三體核反應的法捷耶夫方程理論簡介

本文考慮3個全同粒子在兩體短程相互作用下的散射問題。對于n+d體系，分別用1、2、3表示這3個核子(通常取入射中子為粒子1，氘核中的中子和質(zhì)子分別為粒子2和粒子3)，它們的質(zhì)量為m，核子-核子相互作用勢用va(α=1，2，3)表示。在動量空間，三體系統(tǒng)的波函數(shù)可用3套雅可比坐標(pα，qα)表示，分別對應3個道哈密頓量Hα(α=1，2，3)。

入射道(α=1)的道哈密頓量H1為：

(1)

三體系統(tǒng)的總哈密頓量(僅考慮兩體核力)為：

H=H1+V1=H2+V2=H3+V3

(2)

其中，Vα=vβ+vγ，vα為粒子β、γ之間的兩體相互作用(α，β，γ=1，2，3)。對于道哈密頓量Hα，反應道格林函數(shù)定義為：

(3)

對于n+d三核子體系，總能量E=Ecm+ε0，其中Ecm為質(zhì)心系能量，ε0=-2.224 MeV為氘核的束縛能。

三體系統(tǒng)的彈性散射和破裂反應的躍遷算符U所滿足的法捷耶夫方程[8-9]為：

U=Pv1+Pv1G1U

(4)

其中，P=P12P23+P13P23為粒子置換算符。

彈性散射振幅可用U算符的矩陣元表示為：

(5)

單道破裂反應振幅可用U算符的矩陣元表示為：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中，(pi，qi)為反應道的雅可比動量(i=1, 2, 3)，它們之間具有簡單的換算關系[11]：

(11)

(12)

對于3個全同粒子體系的破裂反應，可只計算1個道的破裂反應振幅，如TΣs(p1,q1)，而其他道的破裂反應振幅可通過以上運動學關系計算得到。由破裂反應總振幅可得到破裂反應五微分截面：

(13)

(14)

其中，klab為入射中子在實驗室系的動量。破裂反應的雙微分截面(破裂反應截面隨某一出射粒子的能量和角度的變化關系)可通過對五微分截面的積分得到：

(15)

(16)

同樣地，對雙微分截面積分可得到破裂反應總截面(σbu)。但從數(shù)值計算的角度看，這樣得到的破裂反應總截面難免存在較大的數(shù)值精度問題。在本文所關注的幾十MeV的入射能量范圍內(nèi)，三核子反應體系只有彈性散射和破裂反應兩個反應道，因此破裂反應總截面可通過總截面(σtot)和彈性散射總截面(σel)的差得到，即：

σbu=σtot-σel

(17)

而σtot可利用光學定理，由零度彈性散射振幅的虛部得到。從而避免了由對三體反應運動學的多重積分所帶來的數(shù)值精度問題。

在采用一階可分離勢形式的s-波核子-核子相互作用的條件下，方程(4)形式的法捷耶夫方程可轉(zhuǎn)化為以下積分方程[8]：

(18)

躍遷振幅F與U矩陣的關系為：

〈q,φs,ΣL|g0(E)U(E)g0(E)|q′,φs′,ΣL〉

(19)

其中：L為第3個粒子相對兩體子系統(tǒng)的軌道角動量；g0(E)為自由的核子-核子相互作用體系的格林函數(shù)；φs為可分離勢的形狀因子。本文采用Yamaguchi形式的可分離勢[10]：

νs=|φs〉λs〈φs|s=0, 1

(20)

(21)

在此相互作用下，兩體體系的t矩陣也具有可分離的形式：

ts(E)=|φs〉τs〈φs|

(22)

(23)

值得注意的是，方程(18)中的τ函數(shù)對應的是三體系統(tǒng)中的兩體t矩陣。本文所用的可分離勢參數(shù)βs和λs來自文獻[10]。

方程(18)中的Z函數(shù)對應兩體有效相互作用。在上述一階可分離勢的條件下，其表達式為：

(24)

本文采用波包展開方法求解方程(18)形式的法捷耶夫方程[8]。n+d三核子體系的彈性散射和破裂反應振幅可由方程的解直接得到：

(25)

(26)

(27)

2 結(jié)果與討論

n+d三核子體系彈性散射微分截面計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的比較示于圖1，其中Elab為中子入射能量，θc.m.為質(zhì)心系角度，1 b=10-24cm2。利用上述Yamaguchi形式的一階s-波可分離勢求解方程(18)，得到的入射能在20 MeV以下的n+d體系的彈性散射如圖1中藍色線所示(實驗數(shù)據(jù)來自文獻[13-18])。與之對比的紅色線是采用分離化的巴黎勢(PEST16勢)的計算結(jié)果[19]。除了s-波相互作用，PEST16勢還包含p-波相互作用，并給出了氘核的d態(tài)成分，因此PEST16勢應較Yamaguchi勢能更好地描述n+d體系的核反應。與實驗數(shù)據(jù)的比較也證實了這一點。但從圖1也可看出，低能條件下n+d體系的彈性散射主要是由s-波相互作用貢獻的，因此即使采用非常簡單的兩參數(shù)的Yamaguchi勢，也可較好地描述入射能在20 MeV以下的彈性散射數(shù)據(jù)。

圖1 n+d三核子體系彈性散射微分截面計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的比較Fig.1 Comparisons between calculated results and experimental data of elastic scattering differential cross sections of n+d three nucleon system

圖2為采用PEST16勢計算的20 MeV以下入射能的彈性散射計算結(jié)果，及與ENDF/B-Ⅷ.0、CENDL-3.2、JENDL-5和JEFF-3.3庫中評價數(shù)據(jù)的比較。ENDF/B-Ⅷ.0數(shù)據(jù)庫采用R-矩陣分析結(jié)合三體相空間分布的辦法。而CENDL-3.2、JENDL-5和JEFF-3.3則與本文相同，均通過求解法捷耶夫方程得到彈性散射截面。CENDL-3.2采用s-波可分離勢，JENDL-5采用PEST16可分離勢，JEFF-3.3采用的則是現(xiàn)實核力INOY。可看出，除JENDL-5在入射能小于約2 MeV的條件下與本工作及其他評價數(shù)據(jù)的結(jié)果有較明顯的差別外，各組理論計算對于20 MeV入射能以下的彈性散射實驗數(shù)據(jù)均可做出準確的描述。

最近，北京大學研究團隊測量了入射能在13.56～52.48 MeV范圍內(nèi)的n+d彈性散射截面[20]。本工作采用Nijmegen現(xiàn)實核力[21]，通過求解法捷耶夫方程對其進行了理論分析，計算結(jié)果如圖3所示。目前評價數(shù)據(jù)庫中只有ENDF/B-Ⅷ.0和JENDL-5有此能量范圍內(nèi)的評價數(shù)據(jù)。從圖3可看出，本工作的計算結(jié)果與JENDL-5求解法捷耶夫方程的結(jié)果幾乎完全一致(實驗數(shù)據(jù)來自文獻[20，22-23])。圖3b中，ENDF/B-Ⅷ.0評價數(shù)據(jù)庫的結(jié)果更好地描述了27.5 MeV能量下的實驗數(shù)據(jù)，但需要注意到它是基于R矩陣擬合，而非基于少體核反應理論計算的結(jié)果。

圖3 本工作對入射能高于20 MeV條件下的n+d彈性散射角分布的計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)及ENDF/B-Ⅷ.0和JENDL-5庫中評價數(shù)據(jù)的比較Fig.3 Comparison between results of this work calculations and n+d elastic scattering data at incident energy above 20 MeV and results in ENDF/B-Ⅷ.0 and JENDL-5 libraries

圖4 n+d散射中出射中子和出射質(zhì)子的雙微分截面理論計算值與實驗數(shù)據(jù)以及其他數(shù)據(jù)庫的比較Fig.4 Results of calculations for double differential cross sections of emitting neutron and proton particles in n+d scattering and their comparisons with experimental data and other libraries

圖5為n+d體系彈性散射總截面和破裂反應(d(n,2n)p反應)出射中子總截面的計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)以及ENDF/B-Ⅷ.0、CENDL-3.2、JENDL-5和JEFF-3.3庫中評價數(shù)據(jù)的比較(實驗數(shù)據(jù)來自文獻[14,17,22,29-35])。在這些計算中，本工作計算采用PEST16兩體相互作用。如前所述，利用光學定理得到總截面，從總截面中減去彈性散射總截面得到破裂反應出射中子總截面?？煽吹剑竟ぷ鞯挠嬎憬Y(jié)果整體符合實驗數(shù)據(jù)。但與其他評價數(shù)據(jù)庫中的結(jié)果在某些條件下存在一定的差異。這些差異的具體原因有待進一步研究。

圖5 本工作對彈性散射總截面σe1和(n,2n)破裂反應出射中子總截面σbu的計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)及ENDF/B-Ⅷ.0、CENDL-3.2、JENDL-5和JEFF-3.3庫中評價數(shù)據(jù)的比較Fig.5 Comparisons among theoretical calculations for total elastic scattering cross section σe1 andd(n,2n)p reaction cross section σbu, experimental data, and results in other libraries

3 總結(jié)與展望

本文介紹了利用法捷耶夫方程方法計算氘核中子反應截面的理論框架、計算結(jié)果及其與實驗數(shù)據(jù)和ENDF/B-Ⅷ.0、CENDL-3.2、JENDL-5、JEFF-3.3等數(shù)據(jù)庫中評價數(shù)據(jù)的比較。對于彈性散射截面的計算，本工作實現(xiàn)了采用PEST16、Nijmegen等超出s-波相互作用的兩體核力的法捷耶夫方程的求解，計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)符合良好，并可實現(xiàn)對入射能高于20 MeV條件下的彈性散射截面的準確預測。對于破裂反應，目前本工作僅實現(xiàn)了采用Yamaguchi形式的可分離化的s-波相互作用的法捷耶夫方程理論的計算。利用超出s-波相互作用對n+d三核子體系破裂反應截面的準確計算是未來研究的重點內(nèi)容。