最優(yōu)化方法應(yīng)用于裂變核反應(yīng)理論計(jì)算的研究

田 源，續(xù)瑞瑞，張 玥，陶 曦，王記民，金永利，張 智，孫小東，葛智剛

(中國原子能科學(xué)研究院 核數(shù)據(jù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，中國核數(shù)據(jù)中心，北京 102413)

核數(shù)據(jù)是核能、核工程、核技術(shù)應(yīng)用和核科學(xué)研究的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，雖然實(shí)驗(yàn)測量是獲得核數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)，然而，受各種因素的限制(如實(shí)驗(yàn)成本高，更重要的是在實(shí)驗(yàn)上所要求的入射粒子種類和能量、靶核制備以及某些測量條件等方面并不總能實(shí)現(xiàn))，因此，在核裝置的設(shè)計(jì)與測試過程中，實(shí)驗(yàn)常被用來精確定量少量關(guān)鍵核素的重要反應(yīng)與結(jié)構(gòu)核數(shù)據(jù)，而絕大部分核工程所需數(shù)據(jù)須通過理論計(jì)算完成。要使用核反應(yīng)模型計(jì)算核數(shù)據(jù)，一方面需盡可能準(zhǔn)確描述相應(yīng)核反應(yīng)的反應(yīng)機(jī)制，另一方面則是快速有效確定核反應(yīng)模型中的參數(shù)。本項(xiàng)目圍繞裂變核反應(yīng)模型，利用先進(jìn)的最優(yōu)化方法確定模型中的參數(shù)，并應(yīng)用于錒系核中子誘發(fā)裂變反應(yīng)核數(shù)據(jù)的研究。

目前國際上最著名的核反應(yīng)模型程序系統(tǒng)有TALYS[1]和EMPIRE[2]等。我國采用的FUNF[3]是由中國核數(shù)據(jù)中心張競上研究員開發(fā)研制，具有我國自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的裂變核反應(yīng)程序系統(tǒng)，可用于計(jì)算和分析能量在20 MeV以下中子誘發(fā)易裂變核反應(yīng)相關(guān)的數(shù)據(jù)。多年來，一直在我國核數(shù)據(jù)理論研究過程中發(fā)揮著重要的作用。FUNF的理論框架包括光學(xué)模型、Hauser-Feshbach模型以及激子模型等。裂變核反應(yīng)模型總的可調(diào)參數(shù)多達(dá)50個(gè)。因此，需通過一些先進(jìn)的最優(yōu)化方法，根據(jù)已知的核反應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，確定裂變核反應(yīng)模型的參數(shù)，并最終用于計(jì)算裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)。

最優(yōu)化方法是一種數(shù)學(xué)方法，它是研究在給定約束條件下如何尋求某些因素(或量)，以使某一(或某些)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的一些方法的總稱。本工作要在裂變核反應(yīng)模型的約束條件下，通過不同的調(diào)參方法調(diào)整模型中的參數(shù)，使得模型計(jì)算的裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)，如反應(yīng)道的截面、出射中子的角分布和能譜、各種出射粒子的雙微分截面等，與已知的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的符合程度達(dá)到最優(yōu)。目前較常用的的調(diào)參方法有梯度下降法[4]、牛頓法[5]、共軛梯度法[6]以及啟發(fā)式優(yōu)化算法等。這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，分別適用不同的調(diào)參環(huán)境，適當(dāng)?shù)恼{(diào)參方法能大幅提高參數(shù)調(diào)優(yōu)的計(jì)算成本。20世紀(jì)70年代，歐洲核子研究中心(CERN)的科學(xué)家Fred James綜合了多種最優(yōu)化方法建立了尋找方程最小值的物理分析工具M(jìn)INUIT[7]。迄今為止，MINUIT方法已經(jīng)被廣泛用于分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和建立理論模型。美國的EMPIRE程序?qū)INUIT方法用于參數(shù)調(diào)節(jié)。

對于簡單的核反應(yīng)模型，參數(shù)一般較少，計(jì)算也相對簡單，一般的調(diào)參方法如格點(diǎn)法、隨機(jī)法通過不斷的嘗試即可找到最優(yōu)的參數(shù)組。FUNF裂變核反應(yīng)模型不僅約有50個(gè)參數(shù)，計(jì)算也相對復(fù)雜，單次計(jì)算時(shí)間隨著入射粒子能量的不同，可能是幾秒也可能多達(dá)數(shù)分鐘。因此本工作將FUNF裂變核反應(yīng)模型與MINUIT方法相結(jié)合，并引入并行計(jì)算等方法，研究如何將最優(yōu)化方法用于調(diào)節(jié)FUNF裂變核反應(yīng)模型中的參數(shù)，并改進(jìn)裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)。

1 裂變核反應(yīng)理論模型

當(dāng)中子入射能量在20 MeV范圍內(nèi)時(shí)，核子與核發(fā)生反應(yīng)的全過程可被劃分為3個(gè)階段：獨(dú)立粒子階段、復(fù)合系統(tǒng)階段以及發(fā)射粒子后形成剩余核階段。獨(dú)立粒子階段中，入射粒子在靶核的勢場作用范圍內(nèi)發(fā)生散射與吸收，可采用光學(xué)模型進(jìn)行描述；進(jìn)入復(fù)合核階段中，入射粒子與靶核相互作用，隨著入射粒子能量的變化，入射粒子與靶核中核子發(fā)生能量交換的可能性非常豐富多樣，該階段可發(fā)生直接反應(yīng)、復(fù)合核粒子發(fā)射反應(yīng)以及預(yù)平衡粒子發(fā)射反應(yīng)，因此，發(fā)展了包括直接反應(yīng)、蒸發(fā)模型、Hauser-Feshbach模型、激子模型等一系列核反應(yīng)理論來描述該階段，此外，中子與錒系核相互作用的過程中，需特別考慮核裂變的貢獻(xiàn)對核反應(yīng)數(shù)據(jù)的影響；最后一個(gè)階段，在上一個(gè)反應(yīng)階段的基礎(chǔ)上，復(fù)合核系統(tǒng)發(fā)射粒子后變成剩余核。張競上研究員研制的中子與錒系核反應(yīng)計(jì)算程序FUNF，包含了快中子能區(qū)內(nèi)錒系核的主要核反應(yīng)過程，考慮3次粒子發(fā)射過程，多年來已成功為核工程用戶解決多項(xiàng)錒系核反應(yīng)數(shù)據(jù)問題，本工作中錒系核反應(yīng)中子數(shù)據(jù)模型計(jì)算工作由該程序完成。

1.1 光學(xué)模型

光學(xué)模型是核反應(yīng)過程的基礎(chǔ)與起點(diǎn)，控制著之后的多項(xiàng)核反應(yīng)物理過程，該模型的引入成功描述了入射粒子在靶核勢場中進(jìn)行的散射與吸收的過程。光學(xué)模型所建立的復(fù)數(shù)形式勢場，結(jié)合求解薛定諤方程可用來描述散射過程中的多個(gè)物理量，包括全截面、反應(yīng)(去彈)截面、彈性散射截面及角分布和穿透系數(shù)，并為復(fù)合核計(jì)算提供重要的穿透系數(shù)。

在FUNF程序中，中子與錒系核全套核反應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算中，光學(xué)模型勢采用對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)描述準(zhǔn)確度較高的唯象光學(xué)勢[8]，對應(yīng)的一般形式如下：

U(r)=Vr(r,E)+iWs(r,E)+iWv(r,E)+

[Vso(r)+iWso(r)](s·l)+Vc(r)

(1)

其中：Vr(r,E)為實(shí)部中心勢；Ws(r,E)為虛部勢的面吸收項(xiàng)；Wv(r,E)為虛部勢的體吸收項(xiàng)；Vso(r)為自旋軌道耦合勢的實(shí)部；Wso(r)為自旋軌道耦合勢的虛部；s、l分別為入射粒子自旋角動(dòng)量與軌道角動(dòng)量；Vc(r)為庫侖勢；E為入射中子在實(shí)驗(yàn)室系下的能量，MeV。

式(1)中，實(shí)部中心勢可表示為：

(2)

式(2)中V(E)可表示為能量依賴關(guān)系：

V(E)=V0+V1E+V2E2+

(3)

其中：A為靶核質(zhì)量數(shù)；N為靶核中子數(shù)；Z為靶核電荷數(shù)。

對應(yīng)虛部勢的面吸收形式為：

(4)

(5)

對應(yīng)虛部勢的體吸收形式為：

(6)

Wv(E)=max{0,U0+U1E}

(7)

對應(yīng)自旋軌道耦合勢實(shí)部Vso(r)和虛部Wso(r)分別表示為：

(8)

(9)

其中：ar、as、av和aso為光學(xué)模型勢的對應(yīng)項(xiàng)中的彌散寬度參數(shù)；Rr、Rs、Rv和Rso為光學(xué)模型勢的對應(yīng)項(xiàng)中的半徑參數(shù)，單位為fm，對應(yīng)計(jì)算公式為：

(10)

其中，i=r,s,v,so，對應(yīng)半徑參數(shù)。

此外，庫侖勢對應(yīng)形式為：

(11)

式中：z、Z為入射粒子和靶核的電荷數(shù)；Rc為庫侖半徑。因此，可調(diào)的光學(xué)勢參數(shù)為12個(gè)深度參數(shù)、5個(gè)半徑參數(shù)、4個(gè)彌散寬度參數(shù)，其中有12個(gè)參數(shù)對截面較為敏感。

1.2 復(fù)合核模型

當(dāng)入射粒子被靶核吸收后，核反應(yīng)進(jìn)入第2個(gè)階段，即復(fù)合核階段。在該過程中，入射粒子與靶核發(fā)生多次相互作用，不斷將能量傳遞給靶核，最終達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡的狀態(tài)，與靶核融合形成新的原子核，被稱為復(fù)合核過程，其作用時(shí)間最長，約10-15s。進(jìn)入平衡態(tài)的復(fù)合核通過發(fā)射粒子而衰變，剩余核處于分立能級的激發(fā)態(tài)，實(shí)驗(yàn)表明，截面與原子核的初態(tài)和末態(tài)的激發(fā)能、自旋、宇稱等性質(zhì)直接關(guān)聯(lián)，考慮了角動(dòng)量守恒與宇稱守恒的Hauser-Feshbach理論被發(fā)展用來描述該部分貢獻(xiàn)，結(jié)合寬度漲落修正可更好描述真實(shí)的實(shí)驗(yàn)測量。

當(dāng)入射粒子能量增大，二次核反應(yīng)過程開放，預(yù)平衡核反應(yīng)過程變得不可忽略。該過程中粒子與靶核作用時(shí)間介于直接過程與平衡過程之間(約10-22～10-16s)，粒子與靶核中少量核子發(fā)生能量交換，在體系還未達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)時(shí)就發(fā)射粒子退激。因此，Griffin等在Feshbach的中間結(jié)構(gòu)理論基礎(chǔ)上提出了激子模型用以描述不同激子態(tài)條件下的粒子發(fā)射過程。

在上述兩種理論體系基礎(chǔ)上，張競上等發(fā)展的統(tǒng)一的Hauser-Feshbach與激子模型在保證了角動(dòng)量守恒與宇稱守恒的前提下，可考慮預(yù)平衡粒子道分立能級態(tài)的貢獻(xiàn)，對于準(zhǔn)確計(jì)算中子能譜等物理量有重要價(jià)值，并成功應(yīng)用在裂變核反應(yīng)程序FUNF中。

一般，復(fù)合核過程中考慮的核反應(yīng)包括中子輻射俘獲(n,γ)和中子非彈(n,inl)、(n,p)、(n,d)、(n,t)、(n,α)、(n,2n)、(n,3n)等，這些核反應(yīng)互相競爭。在實(shí)際工作中，為考慮各類出射粒子反應(yīng)道的發(fā)射概率，除輸入各復(fù)合核低激發(fā)態(tài)分立能級、自旋、宇稱等信息外，復(fù)合核相關(guān)模型中還引入能級密度、對修正等參數(shù)考慮高激發(fā)態(tài)的核結(jié)構(gòu)與核內(nèi)核子運(yùn)動(dòng)形態(tài)，從而確定各反應(yīng)道的分配比例。另一方面，與中重核反應(yīng)不同，中子與錒系核相互作用的核反應(yīng)還需考慮核裂變截面(n,f)的貢獻(xiàn)，該反應(yīng)同樣與其他核反應(yīng)道競爭。FUNF程序中，通過唯象引入3個(gè)彼此獨(dú)立的裂變位壘來表征整個(gè)核反應(yīng)中的裂變系統(tǒng)，基于Bohr-Wheeler公式，通過調(diào)整各裂變位壘的高度、曲率形狀、壘上能級密度、對修正等參數(shù)，確定裂變位壘形狀，計(jì)算得到裂變概率，在與其他反應(yīng)道競爭的條件下，共同確定(n,f)、(n,nf)、(n,2nf)3個(gè)裂變道截面的大小。

因此，復(fù)合核模型中涉及到的可調(diào)參數(shù)包括11個(gè)反應(yīng)道的能級密度、對修正參數(shù)，其中7個(gè)反應(yīng)道的參數(shù)靈敏度較高，共計(jì)14個(gè)；8個(gè)反應(yīng)道的巨共振參數(shù)，其中2個(gè)反應(yīng)道的參數(shù)較敏感，共計(jì)12個(gè)；3個(gè)裂變道對應(yīng)的位壘高度、曲率形狀、壘上能級密度、對修正等參數(shù)，共計(jì)12個(gè)。合計(jì)至少需要調(diào)整38個(gè)參數(shù)用于計(jì)算各反應(yīng)道的截面數(shù)據(jù)。

1.3 直接核反應(yīng)

形成復(fù)合核并非是所有核反應(yīng)的必經(jīng)階段。當(dāng)入射粒子能量較高時(shí)，入射粒子與靶核通過很短的相互作用時(shí)間(約10-19～10-21s)發(fā)生反應(yīng)，具體過程包括：1) 入射粒子將能量傳遞給靶核表面或者內(nèi)部的1個(gè)或多個(gè)核子，并逃出該復(fù)合系統(tǒng)；2) 入射粒子將能量傳遞給靶核后飛出該系統(tǒng)，靶核得到部分能量而產(chǎn)生集體激發(fā)，并發(fā)生集體轉(zhuǎn)動(dòng)或振動(dòng)；3) 入射粒子與靶核發(fā)生多次碰撞，最終逃出該復(fù)合系統(tǒng)。

在直接反應(yīng)模型中，通常采用扭曲波玻恩近似(DWBA)與耦合道方法對直接反應(yīng)的貢獻(xiàn)進(jìn)行計(jì)算，其中DWBA用來描述球形核或近球形核，耦合道方法用來描述變形核。在中子與錒系核反應(yīng)計(jì)算中，直接核反應(yīng)的貢獻(xiàn)在中子非彈截面中貢獻(xiàn)較大，由于錒系核受到激發(fā)后，普遍存在集體轉(zhuǎn)動(dòng)能級，因此，一般采用耦合道方法來計(jì)算該部分工作，本工作將采用ECIS程序完成直接非彈耦合計(jì)算的任務(wù)[9]。

2 最優(yōu)化方法

2.1 MINUIT方法

MINUIT是由CERN的物理學(xué)家Fred James在20世紀(jì)70年代建立的用于尋找方程最小值的物理分析工具。MINUIT中已包含了多種先進(jìn)的最優(yōu)化方法，如蒙特卡羅隨機(jī)法、單純形算法以及變尺度法等。經(jīng)過多年的發(fā)展，這套工具已有Fortran、C++、JAVA以及Python等多個(gè)版本，在多個(gè)領(lǐng)域被廣泛用于調(diào)參并取得了巨大的成功。

MINUIT方法中不同的最優(yōu)化方法可分別針對不同調(diào)參環(huán)境做出選擇。

1) 蒙特卡羅方法[10]，這種方法通過蒙特卡羅隨機(jī)抽樣的方法尋找參數(shù)。主要用于調(diào)參初期參數(shù)初始值不確定的情況下，通過隨機(jī)掃點(diǎn)找到可能存在的多個(gè)極小點(diǎn)。

2) 可變單純形算法[11]，這種方法又名Nelder-Mead方法，是常見的直接搜索型非線性優(yōu)化方法，由Nelder和Mead在1965年提出。此方法利用單純形進(jìn)行搜索(單純形是N維空間的廣義三角形)?？勺儐渭冃嗡惴ㄔ诿總€(gè)頂點(diǎn)對用戶提供厄函數(shù)進(jìn)行求值，然后發(fā)現(xiàn)更好的點(diǎn)來迭代收縮單純形。當(dāng)?shù)竭_(dá)預(yù)期的邊界或其他終止條件時(shí)，方法終止。由于未利用任何求導(dǎo)運(yùn)算，算法較簡單，但收斂速度較慢，適合變元數(shù)不是很多的方程求極值。

3) MIGRAD方法[12]，MIGRAD方法是基于Fletcher提出的變尺度法，它克服了梯度法收斂速度慢和牛頓法計(jì)算量、存儲(chǔ)量大的特點(diǎn)，被公認(rèn)為是求解無約束優(yōu)化問題最有效的算法之一。

2.2 MINUIT用于FUNF參數(shù)優(yōu)化

圖1為MINUIT方法用于調(diào)整FUNF裂變核反應(yīng)程序參數(shù)的流程圖。第1步，將經(jīng)驗(yàn)參數(shù)作為初始參數(shù)代入到FUNF裂變核反應(yīng)模型中得到1組裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)，通過比較得到與已知的實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏差。第2步，通過下山單純形或MIGRAD變尺度法找到1組參數(shù)，再代入到模型中，計(jì)算出1個(gè)新的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差。若偏差有所減小，則接受這套新的參數(shù)；若偏差增大，則利用下山單純形或MIGRAD變尺度法重新找到1組參數(shù)。重復(fù)第1、2步，直到滿足FUNF裂變核反應(yīng)模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差小于預(yù)設(shè)的條件，這時(shí)得到參數(shù)組則是需1個(gè)極小解。利用蒙特卡羅法隨機(jī)生成1組新的參數(shù)組，重復(fù)第1、2步，得到1組新的極小解。反復(fù)找到幾組極小值后，比較極小值最終確定FUNF裂變核反應(yīng)的最優(yōu)解。

圖1 MINUIT用于調(diào)整FUNF裂變核反應(yīng)程序參數(shù)的流程圖Fig.1 MINUIT flowchart for adjusting parameters of FUNF fission nuclear reaction program

2.3 參數(shù)優(yōu)化準(zhǔn)則

首先，在調(diào)參過程中，判斷參數(shù)是否合格的1個(gè)重要結(jié)果就是最小均方根：

(12)

其中：σExp為需要符合的實(shí)驗(yàn)結(jié)果；σth為理論計(jì)算的結(jié)果；σerr為誤差權(quán)重。對于裂變核反應(yīng)，首先可通過調(diào)研已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和評價(jià)數(shù)據(jù)，確定各反應(yīng)道的截面數(shù)據(jù)σExp。不同的實(shí)驗(yàn)測試之間可能存在分歧，且不同實(shí)驗(yàn)給出的誤差范圍也不盡相同。σerr的選取決定了理論計(jì)算趨向于哪個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，因此這個(gè)量的選取尤為重要。需要結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的復(fù)雜程度、實(shí)驗(yàn)的誤差范圍以及其他評價(jià)數(shù)據(jù)庫的評價(jià)結(jié)果和評價(jià)誤差最終確定調(diào)參過程中采用的誤差權(quán)重。

其次，在FUNF裂變核反應(yīng)程序中，光學(xué)模型是所有計(jì)算的基礎(chǔ)，直接反應(yīng)、復(fù)合核反應(yīng)和預(yù)平衡反應(yīng)均依賴光學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果。因此在調(diào)參順序上，首先根據(jù)總截面、彈性截面、彈性角分布等數(shù)據(jù)確定光學(xué)模型的參數(shù)；接著固定光學(xué)模型參數(shù)，再根據(jù)各反應(yīng)道的數(shù)據(jù)信息同時(shí)自動(dòng)調(diào)整能級密度、對修正、巨共振以及裂變位壘等參數(shù)；最后在所有截面與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本一致的情況下，再對個(gè)別參數(shù)通過提高權(quán)重，改變參數(shù)范圍、步長的方法進(jìn)一步精調(diào)。最終得到最優(yōu)化參數(shù)組和理論計(jì)算的數(shù)據(jù)結(jié)果。

判斷參數(shù)優(yōu)化要遵循以下3個(gè)判據(jù)。1) 參數(shù)是否具有物理意義，F(xiàn)UNF裂變核反應(yīng)程序中的所有參數(shù)有各自物理意義，因此每個(gè)參數(shù)均只能在合理的范圍內(nèi)變化，超出這個(gè)范圍會(huì)導(dǎo)致非物理的結(jié)果出現(xiàn)。2) 是否得到χ2值最優(yōu)。由于涉及參數(shù)較多，系統(tǒng)χ2可能存在多個(gè)極小值，需多次嘗試調(diào)參得到最優(yōu)解。3) 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比，理論計(jì)算結(jié)果是否具有好的視覺符合。由于實(shí)驗(yàn)結(jié)果較多，且結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜，需通過觀察判斷理論計(jì)算的各反應(yīng)道的截面是否能較好符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

2.4 并行化調(diào)參

FUNF模型由多個(gè)核反應(yīng)模型組成，結(jié)構(gòu)相對較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)間較長，一般在5～10 s之間。涉及到的參數(shù)可能多達(dá)50個(gè)。因此即使在MINUIT方法的輔助下，單核的調(diào)參時(shí)間也可能高達(dá)數(shù)天。若同時(shí)對多個(gè)核素進(jìn)行擬合，調(diào)參時(shí)間將成倍增長，因此需將FUNF+MINUIT的調(diào)參程序進(jìn)行并行化加速，從而縮短時(shí)間，提高效率。消息傳遞接口(message passing interface, MPI)是科學(xué)計(jì)算中常用的編程模型。在這種并行編程中，每個(gè)控制流均有自己獨(dú)立的地址空間，不同的控制流之間不能直接訪問彼此的地址空間，須通過顯式的消息傳遞來實(shí)現(xiàn)。這種編程方式是大規(guī)模并行處理機(jī)(MPP)和機(jī)群(Cluster)采用的主要編程方式。由于消息傳遞程序設(shè)計(jì)要求用戶很好地分解問題，組織不同控制流間的數(shù)據(jù)交換，并行計(jì)算粒度大，特別適合于大規(guī)?？蓴U(kuò)展并行算法。計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)，通過將MPI與MINUIT相結(jié)合，隨著CPU線程數(shù)量的增加，F(xiàn)UNF裂變核反應(yīng)程序的調(diào)參時(shí)間成倍減小，計(jì)算效率成倍增加。

2.5 最優(yōu)化方法的選擇

圖2為用可變單純形算法(SIMPLX)和變尺度法(MIGRAD)對光學(xué)模型參數(shù)(OPM)和復(fù)合核模型參數(shù)(CM)優(yōu)化的迭代次數(shù)。多核并行的迭代次數(shù)為每個(gè)線程的迭代次數(shù)的平均值。迭代次數(shù)越少，說明最優(yōu)化方法能更快的找到參數(shù)的最優(yōu)解。復(fù)合核模型的參數(shù)有38個(gè)，大于光學(xué)模型的12個(gè)參數(shù)，因此需花費(fèi)更多的迭代次數(shù)得到最優(yōu)化參數(shù)組。無論是針對光學(xué)模型調(diào)參，還是調(diào)整復(fù)合核模型的參數(shù)，變尺度法均好于可變單純形算法。另外，通過MPI方法實(shí)現(xiàn)了并行化調(diào)參。在包含28個(gè)線程的小型服務(wù)器幫助下，調(diào)參效率提高了約20倍左右，且計(jì)算效率還會(huì)隨著線程的增加繼續(xù)提高。因此在計(jì)算過程中，主要采用并行的變尺度法(MPI-MIGRAD)進(jìn)行調(diào)參，只有在變尺度法難以收斂時(shí)才考慮采用其他的最優(yōu)化方法輔助調(diào)參。

圖2 不同最優(yōu)化方法在單核和多核并行的迭代次數(shù)Fig.2 Number of iterations of different optimization methods in single-core and multi-core parallelisms

3 結(jié)果與討論

利用最優(yōu)化方法調(diào)整FUNF裂變核反應(yīng)程序的相關(guān)參數(shù)，并得到與中子誘發(fā)238U核反應(yīng)的主要反應(yīng)截面相符的理論計(jì)算結(jié)果。

首先，通過參考EXFOR實(shí)驗(yàn)核反應(yīng)數(shù)據(jù)庫和ENDF核反應(yīng)評價(jià)庫中快中子區(qū)的截面結(jié)果收集中子誘發(fā)238U的核反應(yīng)數(shù)據(jù)。FUNF裂變核反應(yīng)程序能計(jì)算的反應(yīng)道包括(n,tot)、(n,γ)、(n,inl)、(n,2n)、(n,3n)、(n,f)、(n,p)、(n,d)、(n,t)和(n,α)等。目前實(shí)驗(yàn)測量主要集中在(n,tot)、(n,inl)、(n,2n)、(n,3n)、(n,γ)和(n,f)這幾個(gè)反應(yīng)道中。而帶電粒子出射道中的(n,d)和(n,t)反應(yīng)道無實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，(n,p)和(n,alpha)反應(yīng)道的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，無法用于指導(dǎo)參數(shù)調(diào)優(yōu)工作。(n,3n)反應(yīng)道的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也相對較少。因此，本工作的參數(shù)調(diào)優(yōu)主要依托于(n,tot)、(n,γ)、(n,inl)、(n,2n)和(n,f)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)引導(dǎo)，并參考ENDF評價(jià)庫的部分結(jié)果。

然后，將MINUIT方法與FUNF裂變核反應(yīng)程序相結(jié)合。先根據(jù)總截面、彈性角分布以及非彈截面確定光學(xué)模型參數(shù)；然后通過擬合各反應(yīng)道的截面結(jié)果，得到能級密度、對修正、巨共振以及裂變位壘參數(shù)值；最后針對個(gè)別參數(shù)進(jìn)行精調(diào)，得到1組可再現(xiàn)中子誘發(fā)238U核反應(yīng)截面數(shù)據(jù)的FUNF參數(shù)組。

表1為通過擬合總截面、彈性散射角分布以及非彈截面并使得χ2最小，最終得到的光學(xué)模型參數(shù)。其中ai為彌散半徑，ri為半徑，U、V、W分別為BG光學(xué)勢的強(qiáng)度參數(shù)，i=r、s、v、so、c分別表示實(shí)部、表面虛部、體虛部、自旋軌道耦合項(xiàng)以及庫侖項(xiàng)。觀察發(fā)現(xiàn)，各參數(shù)均在合理的物理區(qū)間范圍內(nèi)。圖3為238U(n,tot)反應(yīng)截面，理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量數(shù)值和評價(jià)數(shù)據(jù)基本符合。說明得到的光學(xué)模型參數(shù)是適用的。

表1 FUNF采用的光學(xué)模型參數(shù)Table 1 Parameters of optical potential model of FUNF

圖3 238U(n,tot)截面實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及評價(jià)數(shù)據(jù)Fig.3 Experimental data and evaluation data of 238U(n,tot) cross sections

表2為FUNF計(jì)算程序中的參數(shù)，其中LD為能級密度參數(shù)，PC為對修正參數(shù)，F(xiàn)B為裂變位壘參數(shù)，后面的數(shù)字0～10分別表示(n,γ)、(n,inl)、(n,p)、(n,α)、(n,d)、(n,t)、(n,2n)、(n,3n)、(n,f)、(n,nf)和(n,2nf)這些反應(yīng)道；CP表示裂變位壘曲率半徑，CFLD表示裂變能級密度系數(shù)，后面的數(shù)字0～2表示裂變道中的(n,f)、(n,nf)和(n,2nf)這3個(gè)反應(yīng)道。圖4～8分別展示了(n,inl)、(n,2n)、(n,3n)、(n,f)和(n,γ)反應(yīng)道的理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及評價(jià)數(shù)據(jù)的比較。圖中各種不同顏色符號(hào)表示實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)，不同顏色線段代表不同的評價(jià)庫的評價(jià)數(shù)據(jù)，粗紅線為FUNF裂變核反應(yīng)程序計(jì)算的結(jié)果。調(diào)參最終得到所有反應(yīng)道的χ2之和最小。觀察發(fā)現(xiàn)，各參數(shù)均在合理的物理區(qū)間內(nèi)，且理論計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和評價(jià)數(shù)據(jù)保持一致。因此，通過MINUIT最優(yōu)化方法得到的FUNF裂變核反應(yīng)程序用于計(jì)算20 MeV以內(nèi)中子誘發(fā)238U核反應(yīng)數(shù)據(jù)的參數(shù)合理有效。

表2 FUNF采用能級密度、對修正以及裂變位壘參數(shù)Table 2 Level density, pairing and fission barrier parameters of FUNF

圖4 238U(n,inl)截面實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及評價(jià)數(shù)據(jù)Fig.4 Experimental data and evaluation data of 238U(n,inl) cross sections

圖5 238U(n,2n)截面實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及評價(jià)數(shù)據(jù)Fig.5 Experimental data and evaluation data of 238U(n,2n) cross sections

圖6 238U(n,3n)截面實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及評價(jià)數(shù)據(jù)Fig.6 Experimental data and evaluation data of 238U(n,3n) cross sections

4 總結(jié)

對于簡單的核反應(yīng)模型，參數(shù)一般較少，計(jì)算也相對簡單，一般的調(diào)參方法如格點(diǎn)法、隨機(jī)法通過不斷的嘗試即可找到最優(yōu)的參數(shù)組。裂變核反應(yīng)的反應(yīng)機(jī)制十分復(fù)雜，需由幾個(gè)不同核反應(yīng)模型共同描述，因此需同時(shí)對大量參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化才能正確描述裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)。

圖7 238U(n,f)截面實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及評價(jià)數(shù)據(jù)Fig.7 Experimental data and evaluation data of 238U(n,f) cross sections

圖8 238U(n,γ)截面實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及評價(jià)數(shù)據(jù)Fig.8 Experimental data and evaluation data of 238U(n, γ) cross sections

在FUNF裂變核反應(yīng)模型基礎(chǔ)上，首先將最優(yōu)化方法MINUIT與FUNF相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)多參數(shù)的自動(dòng)調(diào)參。FUNF裂變核反應(yīng)程序由球形光學(xué)模型、統(tǒng)一的Hauser-Feshbach和激子模型理論等核反應(yīng)模型共同構(gòu)成。FUNF涉及到的參數(shù)包括粒子的光學(xué)勢參數(shù)、巨共振參數(shù)、能級密度參數(shù)、對修正參數(shù)以及裂變位壘和位壘曲率等參數(shù)，多達(dá)50個(gè)。FUNF程序的計(jì)算時(shí)間也相對較長，所需調(diào)參時(shí)間可能長達(dá)數(shù)天。為提高調(diào)參效率，采用MPI的并行計(jì)算方法，在多核心并行計(jì)算的幫助下，將計(jì)算效率提高了20倍左右，且計(jì)算效率還可隨線程數(shù)的增加繼續(xù)提高。

在這些工作的基礎(chǔ)上，針對238U的裂變核反應(yīng)進(jìn)行了初步的計(jì)算。結(jié)果顯示，通過MINUIT最優(yōu)化方法得到的FUNF參數(shù)能很好描述238U的裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)。后期將繼續(xù)優(yōu)化程序，進(jìn)一步提高調(diào)參的效率和參數(shù)的精確度。并對相關(guān)的裂變核反應(yīng)展開應(yīng)用，提高我國裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)的精度。