高中數(shù)學(xué)凝練單元學(xué)習(xí)主題的實(shí)踐研究

殷木森 王嘉 杜楊格 黃紅亮 余沛婷

教育部基礎(chǔ)教育課程與教材發(fā)展中心為落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)，極力推進(jìn)“深度學(xué)習(xí)促進(jìn)教學(xué)改進(jìn)”項(xiàng)目，倡導(dǎo)單元整體教學(xué)，即“深度學(xué)習(xí)—單元教學(xué)”，其包含“選擇單元學(xué)習(xí)主題、確定單元學(xué)習(xí)目標(biāo)、設(shè)計(jì)單元學(xué)習(xí)活動(dòng)、開(kāi)展持續(xù)性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)”四個(gè)重要環(huán)節(jié)（劉月霞，郭華，2018）。凝練單元學(xué)習(xí)主題是基于“深度學(xué)習(xí)—單元教學(xué)”的實(shí)踐研究。需要指出的是，這里的單元，是指學(xué)習(xí)單元，不是指知識(shí)單元，即不一定是教材中給定的章節(jié)。對(duì)高中數(shù)學(xué)教師而言，最熟悉的莫過(guò)于章節(jié)形式的單元設(shè)計(jì)了，為什么還要重新定義學(xué)習(xí)單元，這樣做有什么意義，究竟該從哪些方面入手，有沒(méi)有一些經(jīng)驗(yàn)可以借鑒，還有不少教師感到困惑。

一、凝練單元學(xué)習(xí)主題的原則

1. 挑戰(zhàn)性原則

單元學(xué)習(xí)主題要具有一定的挑戰(zhàn)性，不是所有的板塊內(nèi)容都適宜成為單元學(xué)習(xí)主題，只有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，才能讓學(xué)生積極參與、體驗(yàn)付出后收獲成功的快樂(lè)。當(dāng)然，是否具有挑戰(zhàn)性，與不同的學(xué)情有關(guān)。比如對(duì)大部分高一學(xué)生而言，“函數(shù)的概念與性質(zhì)”“冪、指、對(duì)函數(shù)”“三角函數(shù)”，都具有一定的挑戰(zhàn)性，比較適宜從中抽取出單元學(xué)習(xí)主題。但是，對(duì)基礎(chǔ)較好的高二學(xué)生而言，選擇性必修中的“直線與圓”等內(nèi)容則不具備挑戰(zhàn)性，屬于容易掌握的知識(shí)，不宜選為單元學(xué)習(xí)主題。

2. 整體性原則

“深度學(xué)習(xí)—單元教學(xué)”要求培養(yǎng)學(xué)生的整體觀與聯(lián)系觀，即不要孤立地、碎片化看待某一板塊內(nèi)容。因此，單元學(xué)習(xí)主題首先必須體現(xiàn)出知識(shí)間的“承上啟下”，即學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)要得到傳承與發(fā)展，現(xiàn)在的學(xué)習(xí)也是為未來(lái)在這一板塊的學(xué)習(xí)打下更堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。比如選擇性必修的“圓錐曲線”，是在初中“平面幾何”與高一“直線與圓”學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容，用坐標(biāo)法解決代數(shù)問(wèn)題的方法可為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做充分的準(zhǔn)備。

3. 發(fā)展性原則

“深度學(xué)習(xí)—單元教學(xué)”要求“以學(xué)生為中心”組織教學(xué)，最終目的是為了促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。通過(guò)單元主題教學(xué)，學(xué)生要熟練掌握數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要得到提升。因此，單元學(xué)習(xí)主題應(yīng)該在數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)這三方面有明顯的特征。比如通過(guò)學(xué)習(xí)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”，進(jìn)一步理解函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想，掌握研究函數(shù)的一般套路，數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)得到不同程度的提升。

4. 進(jìn)階性原則

“深度學(xué)習(xí)—單元教學(xué)”要達(dá)到的目標(biāo)不可能一蹴而就，它要有一個(gè)整體的單元教學(xué)規(guī)劃，分為幾個(gè)實(shí)施階段，每個(gè)階段要有具體的目標(biāo)和任務(wù)，最重要的是隨著教學(xué)的進(jìn)程，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是逐漸提升的，即進(jìn)階。否則，就失去了單元學(xué)習(xí)的意義。例如學(xué)習(xí)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”，從概念學(xué)習(xí)中初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象，在單調(diào)性的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)抽象，而在奇偶性的學(xué)習(xí)中則能熟練地使數(shù)學(xué)抽象得到遷移。

二、凝練單元學(xué)習(xí)主題的過(guò)程

要凝練單元學(xué)習(xí)主題，首先要有一個(gè)大致的研究對(duì)象，即具體研究哪一個(gè)知識(shí)單元，或者哪一個(gè)核心概念;然后對(duì)學(xué)習(xí)要達(dá)到的標(biāo)準(zhǔn)要求和學(xué)情，以及內(nèi)容本身和內(nèi)容的學(xué)習(xí)意義進(jìn)行精準(zhǔn)的分析;最后確定單元學(xué)習(xí)的主題。但是，不少教師對(duì)具體要分析什么，得出什么結(jié)論不夠清楚，往往把不同版本的教材編排抄一遍，把課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)此部分內(nèi)容的表述抄一遍，然后簡(jiǎn)單分析一下學(xué)情，卻不知道該怎么凝練主題。具體過(guò)程如圖1所示：

1. 確定學(xué)習(xí)目標(biāo)要求

學(xué)習(xí)首先要清楚究竟達(dá)到怎樣的標(biāo)準(zhǔn)要求才行，否則就沒(méi)了方向。因此，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的分析是確定單元學(xué)習(xí)主題的第一步?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》重視以學(xué)科大概念為核心，以主題為引領(lǐng)推動(dòng)課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)。故單元學(xué)習(xí)主題學(xué)習(xí)目標(biāo)的設(shè)計(jì)，不僅應(yīng)關(guān)注該單元數(shù)學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技巧，更應(yīng)提升到關(guān)注內(nèi)容所蘊(yùn)含的基本思想，及通過(guò)設(shè)計(jì)好的單元學(xué)習(xí)過(guò)程給學(xué)生提供基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

其次，確定學(xué)習(xí)目標(biāo)，應(yīng)結(jié)合學(xué)情分析，否則知識(shí)技巧不能落地生根，提升能力、發(fā)展核心素養(yǎng)就成了空話。分析學(xué)情應(yīng)包含對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備、思想方法經(jīng)驗(yàn)和能力水平的分析，包含對(duì)學(xué)生生理、心理和認(rèn)知規(guī)律的分析，還要包含對(duì)學(xué)生個(gè)體差異及不同層次的學(xué)生可能遇到的困難的分析，使教學(xué)更貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)水平。

只有將要達(dá)到的課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)情分析有機(jī)結(jié)合，才能確定適宜的單元學(xué)習(xí)目標(biāo)要求。

2. 確定具體研究?jī)?nèi)容

對(duì)內(nèi)容的分析首先要從學(xué)科層面準(zhǔn)確地把握該單元教學(xué)內(nèi)容的定位、在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科中的定位，分析單元教學(xué)內(nèi)容與前后期知識(shí)的連續(xù)性和相關(guān)性;其次分析單元教學(xué)內(nèi)容本身包含的知識(shí)概念、本質(zhì)特征、思想方法，以及單元內(nèi)部的結(jié)構(gòu)層次特點(diǎn)和重難點(diǎn)，并構(gòu)建單元知識(shí)體系結(jié)構(gòu)關(guān)系圖;再次，除了分析內(nèi)容，還要理解內(nèi)容的學(xué)習(xí)意義，在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上引領(lǐng)學(xué)生形成正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀。

三、單元學(xué)習(xí)主題的分類

2020年修訂的高中數(shù)學(xué)教材，為了更好地基于主題（單元）開(kāi)展深度學(xué)習(xí)，在認(rèn)真研究各主題本質(zhì)內(nèi)涵的基礎(chǔ)之上，根據(jù)核心素養(yǎng)具有發(fā)展連續(xù)性和階段性的特點(diǎn)，將高中數(shù)學(xué)課程分解為5個(gè)主題板塊：預(yù)備知識(shí)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)文化，從核心知識(shí)、核心思想方法和核心能力三個(gè)維度出發(fā)，構(gòu)建了新教材體系。

教師是主題內(nèi)容的決定者，在確定“數(shù)學(xué)主題”內(nèi)容時(shí)，教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生的學(xué)習(xí)情況以及自己對(duì)教材的駕馭能力，選擇單元主題內(nèi)容。單元學(xué)習(xí)的主題通常有三種分類：內(nèi)容主題類、思想方法類、能力素養(yǎng)類。

1. 內(nèi)容主題類

內(nèi)容主題類是以重要的數(shù)學(xué)概念或核心數(shù)學(xué)知識(shí)為主線組織的的知識(shí)類主題。如函數(shù)的單調(diào)性、方程等，可以作為知識(shí)類主題對(duì)待。這些主題有些是教材中的章節(jié)主題，有些是跨章節(jié)的主題，同時(shí)從知識(shí)的邏輯性和相關(guān)性出發(fā)，可以考慮兩種呈現(xiàn)方式：對(duì)于知識(shí)的相關(guān)性不強(qiáng)的，可以用張網(wǎng)式呈現(xiàn)方式，對(duì)于邏輯聯(lián)系強(qiáng)，呈遞進(jìn)關(guān)系的，可以前后依次展開(kāi)，用線串式呈現(xiàn)方式。下面以單調(diào)性、度量關(guān)系和函數(shù)概念為例，構(gòu)建單元學(xué)習(xí)主題。

函數(shù)的單調(diào)性研究是高中數(shù)學(xué)課程展開(kāi)的一條主線，它與義務(wù)教育階段的函數(shù)概念、函數(shù)圖像、代數(shù)運(yùn)算，高中階段的函數(shù)概念、函數(shù)圖像、函數(shù)性質(zhì)、基本初等函數(shù)、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容緊密結(jié)合，是高中課程的核心內(nèi)容之一，在中小學(xué)課程中起著承前啟后的作用 ，因此對(duì)函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行重組和整合可以構(gòu)成一個(gè)跨章節(jié)的知識(shí)類主題，如圖2所示（呂世虎、吳振英、楊婷、王尚志，2016）。

度量關(guān)系是一類基本的空間關(guān)系。高中數(shù)學(xué)中的度量關(guān)系包括長(zhǎng)度、角度、面積和體積，從平面度量到立體度量，貫穿于多個(gè)章節(jié)中。我們可以以度量關(guān)系為內(nèi)容主線，從長(zhǎng)度、角度、面積和體積四個(gè)方面出發(fā)，構(gòu)成一個(gè)跨章節(jié)的知識(shí)類主題。比如函數(shù)相關(guān)的度量問(wèn)題，平面中的長(zhǎng)度、夾角問(wèn)題，三角形中的距離、角度、高度、面積問(wèn)題，直線和圓中的點(diǎn)、線間的距離，立體幾何中的點(diǎn)、線、面間距離、角度、體積問(wèn)題，復(fù)平面內(nèi)的長(zhǎng)度問(wèn)題等（如圖3）。

函數(shù)主線中的函數(shù)概念，基本初等函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的典型范例，數(shù)列可以看作離散函數(shù)，并且從對(duì)應(yīng)關(guān)系出發(fā)，概率與統(tǒng)計(jì)中的概率以及隨機(jī)變量可以看作更廣義的函數(shù)，即從一般集合到實(shí)數(shù)集的映射。因此從函數(shù)的概念及延伸的角度，可以把這部分內(nèi)容重構(gòu)成一個(gè)跨章節(jié)的內(nèi)容主題（如圖4）。

2. 思想方法類

思想方法類主題是以數(shù)學(xué)思想方法為主線的主題。數(shù)學(xué)中的思想方法很多，例如數(shù)形結(jié)合、統(tǒng)計(jì)思想、坐標(biāo)法、公理化、分類討論、類比、轉(zhuǎn)化（化歸）、微積分思想等。下面以坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合和統(tǒng)計(jì)思想方法為例構(gòu)建單元學(xué)習(xí)主題。

坐標(biāo)法的基本思想主要有兩點(diǎn)：第一，建立平面坐標(biāo)系，把平面中的點(diǎn)與一組有序?qū)崝?shù)對(duì)相對(duì)應(yīng);第二，平面上的一條曲線可以由包含兩個(gè)變量的一個(gè)代數(shù)方程來(lái)表示，這樣幾何問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)研究。

基于以上分析，我們凝練出單元學(xué)習(xí)主題：坐標(biāo)法，由橢圓體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。同時(shí)我們分三個(gè)階段研究橢圓：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，橢圓的應(yīng)用。如此充分體現(xiàn)坐標(biāo)法的思想，培養(yǎng)學(xué)生利用坐標(biāo)法解決平面解析幾何問(wèn)題，同時(shí)學(xué)生離開(kāi)老師的引導(dǎo)后，能夠獨(dú)立或以團(tuán)隊(duì)的形式研究雙曲線和拋物線，把知識(shí)進(jìn)行遷移，解決新的問(wèn)題。

高中數(shù)學(xué)中有很多體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容：函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、圓與方程、直線與方程、圓錐曲線等，我們可以把這些內(nèi)容整合在一起，構(gòu)成“數(shù)形結(jié)合思想方法”張網(wǎng)式結(jié)構(gòu)主題。

統(tǒng)計(jì)思想包括均值、變異、估計(jì)、相關(guān)、擬合、檢驗(yàn)等思想，而統(tǒng)計(jì)方法依據(jù)數(shù)據(jù)分析的過(guò)程，可以分為數(shù)據(jù)收集、描述以及推斷三個(gè)階段。義務(wù)教育階段的統(tǒng)計(jì)以數(shù)據(jù)收集和描述為主，而高中數(shù)學(xué)兼有二者，并以推斷為重點(diǎn)。因此以統(tǒng)計(jì)思想方法為主題，可以讓學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、描述和推斷的全過(guò)程，并滲透相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)思想（如圖5）。

3. 能力素養(yǎng)類

以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、基本能力為主線的主題是素養(yǎng)類主題。課程標(biāo)準(zhǔn)提出六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。我們可以以一個(gè)核心素養(yǎng)或多個(gè)核心素養(yǎng)為主體，來(lái)確定單元學(xué)習(xí)主題。下面以數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為例，構(gòu)建素養(yǎng)類單元學(xué)習(xí)主題。

課程標(biāo)準(zhǔn)加強(qiáng)了數(shù)學(xué)建模的要求，并明確了數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的學(xué)時(shí)要求，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位。數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程是把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，求解數(shù)學(xué)問(wèn)題后，把得到的解轉(zhuǎn)換成實(shí)際問(wèn)題的解。因此數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)與其他五個(gè)核心素養(yǎng)緊密聯(lián)系，并且根據(jù)涉及數(shù)學(xué)問(wèn)題的不同，關(guān)聯(lián)不同的核心素養(yǎng)。高中階段數(shù)學(xué)建模滲透在不同的主線中，比如函數(shù)主線中的指數(shù)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型，三角函數(shù)中的摩天輪問(wèn)題，幾何與代數(shù)主線中的力的合成與分解、做功問(wèn)題，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)等。高中涉及的數(shù)學(xué)模型可以按照幾大主線分為函數(shù)類模型、概率與統(tǒng)計(jì)類模型、幾何與代數(shù)類模型。各主線的數(shù)學(xué)建模單元教學(xué)可以安排在相應(yīng)主線的主題教學(xué)之后，比如函數(shù)模型，可以在函數(shù)主線有關(guān)的單元教學(xué)后組織數(shù)學(xué)建模單元教學(xué)。

在核心素養(yǎng)背景下，對(duì)數(shù)學(xué)建模單元主題的凝練，要從兩方面入手。一是要重視其技術(shù)性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程。即首先創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題，接著讓學(xué)生通過(guò)邏輯推理與猜想，設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的方案，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述建立數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用模型科學(xué)求解，并檢驗(yàn)結(jié)果，最后反饋現(xiàn)實(shí)情境，獲得最終結(jié)果（如圖6）。二是要重視其思想性。教師要引領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過(guò)程，建構(gòu)數(shù)學(xué)建模能力。