基于牛頓迭代法的灌注樁擋墻圓形截面受彎承載力計(jì)算

成曉奕，鄭宏偉

(1.國(guó)家知識(shí)產(chǎn)權(quán)局專利局專利審查協(xié)作江蘇中心，江蘇 蘇州 215128；2.江蘇省太湖水利規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院有限公司，江蘇 蘇州 215128)

1 概述

近年來(lái)，我國(guó)經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展，大規(guī)模的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)正在快速進(jìn)行。灌注樁具備諸多優(yōu)點(diǎn),在各種工程領(lǐng)域中得到了非常廣泛的應(yīng)用，如建筑工程、交通工程、水運(yùn)工程、水利水電工程等[1- 2]。按照不同的成孔方式，灌注樁可以分為鉆孔灌注樁、沉管灌注樁、人工挖孔灌注樁、爆擴(kuò)灌注樁等。通常在工程現(xiàn)場(chǎng)通過(guò)機(jī)械鉆孔等手段形成樁孔，并在其內(nèi)放置鋼筋籠、灌注混凝土最終成樁。

水利工程作為國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的重要組成部分，目前也在快速發(fā)展中。水工擋土墻在水利工程中比較常見(jiàn)，經(jīng)常應(yīng)用于河道護(hù)岸、樞紐翼墻中。水工擋土墻斷面結(jié)構(gòu)形式多種多樣，比較常見(jiàn)的有重力式、懸臂式、扶壁式、空箱式、板樁式等[3]。灌注樁擋墻是數(shù)根上述灌注樁組成的板樁式擋墻，其頂部再澆筑鋼筋混凝土冠梁，使排樁樁頭連成一體。灌注樁擋墻多是混凝土配筋體，擋墻的剛度較大、抗彎能力強(qiáng)、變形相對(duì)較小，且不需大開(kāi)挖；灌注樁擋墻施工時(shí)基本無(wú)噪音、無(wú)振動(dòng)、無(wú)地面隆起或側(cè)移，也無(wú)濃煙排放，因而對(duì)環(huán)境影響小，對(duì)周圍建筑物、路面及地下設(shè)施危害亦小。灌注樁擋墻作為水工擋土墻中的一種，具有上述諸多優(yōu)點(diǎn)，因而在水利工程中應(yīng)用廣泛。

灌注樁擋墻為圓形截面，根據(jù)SL 191—2008《水工混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》，灌注樁擋墻圓形截面受彎構(gòu)件正截面受彎承載力計(jì)算不同于矩形、T形、I形等截面，其方程計(jì)算屬于非線性問(wèn)題，一般不存在直接的求解公式，故沒(méi)有直接方法求解，需使用迭代法求解超越方程[4- 6]。本文對(duì)規(guī)范中公式仔細(xì)分析后進(jìn)行梳理轉(zhuǎn)換，利用牛頓迭代法求解上述超越方程，并將求解獲得成果成功應(yīng)用于某工程中。

2 圓形截面受彎構(gòu)件計(jì)算方法分析

《水工混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》經(jīng)過(guò)了多次修正，現(xiàn)行版本已經(jīng)日趨完善，但是在有些方面還存在不足，例如圓形截面配筋計(jì)算存在材料、截面寬度變化的雙重非線性[7]。上述計(jì)算無(wú)法通過(guò)手算獲得結(jié)果，給工程設(shè)計(jì)人員帶來(lái)了諸多不便。

根據(jù)SL 191—2008，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)構(gòu)件承載能力極限狀態(tài)計(jì)算中，詳細(xì)論述了沿周邊均勻配置縱向鋼筋的圓形截面偏心受壓構(gòu)件正截面受壓承載力，計(jì)算公式如下[4]：

(1)

(2)

αt=1.25-2α

(3)

式中：K—承載力安全系數(shù)；N—軸向壓力設(shè)計(jì)值，N；fc—混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，N/mm2；fy—鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，N/mm2；η—偏心距增大系數(shù)；e0—軸向壓力對(duì)截面重心的偏心距，mm；A—圓形截面面積，mm2；As—全部縱向鋼筋的截面面積，mm2；r—圓形截面半徑，mm；rs—縱向鋼筋所在圓周的半徑，mm；α—對(duì)應(yīng)于受壓區(qū)面積的圓心角(rad)與2π的比值；αt—縱向受拉鋼筋截面面積與全部縱向鋼筋截面面積的比值，當(dāng)α>0.625時(shí)，取αt=0。

圓形截面受彎構(gòu)件正截面受彎承載力應(yīng)將上述公式進(jìn)行如下 轉(zhuǎn)變后計(jì)算：

(4)

(5)

式中：M—彎矩設(shè)計(jì)值，N·mm；其余物理量含義同上。

圓形截面受彎構(gòu)件正截面受力簡(jiǎn)圖如圖1所示：

圖1 沿周邊均勻配筋的圓形截面(陰影部位表示受壓區(qū))

上述計(jì)算僅適用于截面內(nèi)縱向鋼筋數(shù)量不少于6根，間距不大于300mm的情況。

上述理論以受壓區(qū)混凝土對(duì)應(yīng)的相對(duì)圓心角等作為基本變量，建立了比較復(fù)雜的計(jì)算公式。該公式為非線性問(wèn)題，工程人員無(wú)法直接簡(jiǎn)單求出解析解，需要將公式進(jìn)行梳理整合，并歸納出利于工程應(yīng)用的簡(jiǎn)便方法。

3 牛頓迭代法在灌注樁擋墻圓形截面受彎承載力計(jì)算中的應(yīng)用

3.1 牛頓迭代法

上述超越方程無(wú)法直接求解得到精確解，根據(jù)工程人員多年來(lái)的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)常用試算法、數(shù)值擬合方法或數(shù)值迭代法等進(jìn)行計(jì)算[8- 9]。試算法、數(shù)值擬合方法計(jì)算效率比較低，計(jì)算誤差也比較大，工程應(yīng)用中需慎重考慮。數(shù)值迭代法是通過(guò)采用一個(gè)初始估計(jì)值出發(fā)從而尋找一系列近似解來(lái)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)過(guò)程。數(shù)值迭代法具有普遍的適用性，使用的范圍也非常廣泛，且具有比較小的誤差及比較高的收斂速度，因而得到了比較廣泛的運(yùn)用。比較典型的數(shù)值迭代法有“二分法”、“牛頓迭代法”等[9]。二分法通過(guò)將函數(shù)的有根區(qū)間分為兩半，假設(shè)中點(diǎn)不是函數(shù)零點(diǎn)，然后進(jìn)行根的搜索，對(duì)壓縮了的有根區(qū)間施行同樣步驟，反復(fù)進(jìn)行二分，最終得到零點(diǎn)的近似值；牛頓迭代法又稱為牛頓-拉夫遜(拉弗森)方法，其實(shí)質(zhì)上是一種線性方法，其基本思想是將非線性方程逐步歸結(jié)為線性方程來(lái)求解，其最大優(yōu)點(diǎn)是在方程的根附近是平方收斂的。牛頓迭代法有明顯的幾何解釋，方程f(x)=0的根可以解釋為y=f(x)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)xk為根的某近似值，過(guò)曲線y=f(x)上橫坐標(biāo)為xk的點(diǎn)作切線，并將該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xk+1作為根的新的近似值，方程f(x)=0的牛頓迭代法表達(dá)方式如下：

(6)

式中，f′(xk)≠0；f′(xk)為f(xk)一階導(dǎo)數(shù)。

本文利用收斂速度更優(yōu)的牛頓迭代法對(duì)上述超越方程進(jìn)行求解。根據(jù)牛頓迭代法理論，需對(duì)上述圓形截面受彎構(gòu)件正截面受彎承載力公式進(jìn)行梳理，并整合成單變量方程。在實(shí)際工程應(yīng)用中，上述圓形截面受彎構(gòu)件正截面受彎承載力方程組中除α、As為未知量待求解外，其余均為已知量。對(duì)其中α、αt進(jìn)行分析可得，其存在如下約束：0≤α<1、0<αt≤1。可求得變量α取值區(qū)間為0.125≤α<1，且當(dāng)α>0.625時(shí)，取αt=0。則上述方程組進(jìn)行合并同類項(xiàng)整理后得到如下方程：

(1)當(dāng)0.125≤α≤0.625時(shí)：

[sin(πα)+sinπ(1.25-2α)]=0

(7)

[1-cos(2πα)][sin(πα)+sinπ

[πcos(πα)-2πcosπ(1.25-2α)]

(8)

(2)當(dāng)0.625<α<1時(shí)

(9)

(10)

通過(guò)上述梳理整合，SL 191—2008中圓形截面受彎構(gòu)件正截面受彎承載力方程組成功轉(zhuǎn)化為以受壓區(qū)混凝土對(duì)應(yīng)的相對(duì)圓心角作為基本變量的單變量方程，并且得到了可用于牛頓迭代法的函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，據(jù)此可將其應(yīng)用于工程中。

3.2 實(shí)例應(yīng)用

河道護(hù)岸是一種為了防止河岸在水流、風(fēng)浪、船行波等作用下可能發(fā)生沖刷破壞的一種工程防護(hù)措施，在保護(hù)堤防安全、維護(hù)岸線穩(wěn)定、防止水土流失等諸多方面發(fā)揮著重要的作用。某水利工程河道兩岸附近均為建成的商品房小區(qū)，且河道近岸處為均已建成臨湖景觀公園，場(chǎng)地較為狹窄，工程中將對(duì)河道護(hù)岸進(jìn)行改造以提升河道的防沖刷能力。受到上述現(xiàn)狀場(chǎng)地條件的限制，工程施工不具備大開(kāi)挖條件，傳統(tǒng)的“L”型護(hù)岸如鋼筋砼懸臂式擋墻、鋼筋砼扶壁式擋墻、漿砌塊石擋墻等均不適用于本工程。由于灌注樁擋墻優(yōu)越的受力性能及其不需大開(kāi)挖等諸多優(yōu)勢(shì)，本工程中河道護(hù)岸采用灌注樁擋墻。河道護(hù)岸特性詳述如下：

河底高程為0.00m(吳淞零點(diǎn)起算，余同)，灌注樁擋墻頂高程為5.85m、底高程為-14.15m，灌注樁擋墻直徑為1.40m、樁間距1.60m、樁長(zhǎng)20m，灌注樁擋墻上部設(shè)置1.20m×2.00m(高×寬)鋼筋砼蓋梁，灌注樁伸入蓋梁5cm，蓋梁頂高程7.00m，墻前設(shè)置30cm厚鋼筋砼面板，砼強(qiáng)度等級(jí)為C30。樁間設(shè)置φ40cm高壓旋噴樁，樁長(zhǎng)8m。河道護(hù)岸結(jié)構(gòu)斷面如圖2所示：

圖2 河道護(hù)岸結(jié)構(gòu)斷面(圖中高程以m計(jì)，吳淞零點(diǎn)起算，尺寸標(biāo)注以cm計(jì))

根據(jù)SL 191—2008，承載力安全系數(shù)需根據(jù)水工建筑物級(jí)別、荷載效應(yīng)組合等因素綜合確定，本工程中K=1.2；混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fc=14.3N/mm2(對(duì)應(yīng)混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30)；鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fy=360N/mm2(對(duì)應(yīng)鋼筋種類為HRB400)；縱向鋼筋保護(hù)層厚度為70mm；縱向鋼筋最小配筋率為0.2%。經(jīng)計(jì)算，灌注樁擋墻所受到的彎矩設(shè)計(jì)值即M=1168.64kN·m。結(jié)合大量計(jì)算實(shí)踐及工程經(jīng)驗(yàn)[10]，α初始值取0.3，迭代計(jì)算過(guò)程見(jiàn)表1。

根據(jù)上述迭代計(jì)算成果可得，經(jīng)過(guò)3次迭代，即可獲得誤差僅為0.01%的計(jì)算結(jié)果，能夠滿足工程需求。

表1 迭代計(jì)算過(guò)程

根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，可將α值帶入圓形截面受彎構(gòu)件正截面受彎承載力方程組，求得全部縱向鋼筋的截面面積As=6568.19mm2，按照最小配筋率0.2%計(jì)算得全部縱向鋼筋的截面面積最小值A(chǔ)smin=3798.55mm2，可見(jiàn)上述計(jì)算結(jié)果滿足最小配筋率要求。

4 結(jié)論與建議

本文將牛頓迭代法應(yīng)用于灌注樁擋墻圓形截面受彎構(gòu)件正截面受彎承載力計(jì)算中，該方法能夠快速、準(zhǔn)確的得到受彎承載力超越方程的解析解，并通過(guò)快速迭代計(jì)算得到能夠應(yīng)用于工程中的數(shù)值解。實(shí)踐證明，該方法能夠解決類似工程中的上述超越方程計(jì)算問(wèn)題，為類似工程中超越方程的求解提供解決方案。

圓形截面受彎構(gòu)件正截面受彎承載力計(jì)算理論比較復(fù)雜，且假定條件較多，如：沿周邊均勻配置縱向鋼筋；適用于截面內(nèi)縱向鋼筋數(shù)量不少于6根，間距不大于300mm的情況等。不受上述假定約束的計(jì)算理論還有待深入研究。對(duì)上述受彎承載力的計(jì)算方法多種多樣，灌注樁擋墻受彎構(gòu)件圓形截面結(jié)構(gòu)配筋方法是否可考慮其余更便捷更準(zhǔn)確的計(jì)算方法，也是一項(xiàng)值得深入研究的課題。