逆向生成，落筆有據(jù)

曹海燕

在初中階段，同學(xué)們共學(xué)習(xí)了五種基本的尺規(guī)作圖。我們除了要掌握作圖的步驟，還要知道這些步驟背后的依據(jù)，做到知法明理。事實(shí)上，我們在解決尺規(guī)作圖題的過程中，更需要多觀察，多推理，多假想。

一、感知尺規(guī)作圖的步驟

例1 （2021·江蘇泰州）（1）如圖1，O為AB的中點(diǎn)，直線l1、l2分別經(jīng)過點(diǎn)O、B，且l1∥l2，以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑畫弧，交直線l2于點(diǎn)C，連接AC。求證：直線l1垂直平分AC。

（2）如圖2，平面內(nèi)直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離相等，點(diǎn)P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ。用圓規(guī)和無刻度的直尺在直線l4上求作一點(diǎn)D，使線段PD最短。（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡。）

【解法突破】（1）連接OC，根據(jù)作圖步驟，可知OC=OA，則△AOC是等腰三角形，要證直線l1垂直平分AC，只需證l1⊥AC或l1平分∠AOC即可。

（2）在直線l4上求作一點(diǎn)D，使線段PD最短，即求作PD⊥l4。根據(jù)（1）的結(jié)論，我們以點(diǎn)T為圓心，PT長為半徑畫弧，交直線l3于點(diǎn)E，此時(shí)PE⊥l2，則PE的延長線與l4的交點(diǎn)D即為所求，如圖3。

【反思提升】本題如果沒有第（1）題作為鋪墊，我們運(yùn)用常規(guī)的數(shù)學(xué)思維來解決第（2）題的尺規(guī)作圖問題便容易陷入困境。因此，解尺規(guī)作圖題時(shí)，我們要學(xué)會逆向思維，嘗試打破常規(guī)。

二、掌握尺規(guī)作圖的方法

例2 （2021·江蘇南京）如圖4，已知P是⊙O外一點(diǎn)，用兩種不同的方法過點(diǎn)P作⊙O的一條切線。

要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖;

（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明。

【解法突破】在解本題時(shí)我們遇到的最大困難是如何確定切點(diǎn)的位置。此時(shí)我們不妨先假設(shè)點(diǎn)D是切點(diǎn)，則點(diǎn)D滿足兩個(gè)條件：（1）點(diǎn)D在⊙O上;（2）OD⊥DP。

方法一：當(dāng)OD⊥DP時(shí)，∠ODP=90°。連接OP，由OP是∠ODP的對邊，我們能推斷出點(diǎn)D在以O(shè)P為直徑的圓上，再結(jié)合條件（1），就能很快確定點(diǎn)D的位置，作出圖5。

方法二：假設(shè)PD是⊙O的切線，則△POD是直角三角形且∠PDO=90°。延長PO交⊙O于點(diǎn)D?，過D?作OD?的垂線l。以O(shè)為圓心，OP為半徑作弧，與l交于點(diǎn)P?，則△P?OD?≌△POD，得P?D?=PD。所以，如圖6，以P為圓心，P?D?為半徑作弧，與⊙O交于點(diǎn)D，則PD即為所求。

【方法小結(jié)】解決本題的方法很多，在實(shí)際作圖的過程中同學(xué)們也會發(fā)現(xiàn)切點(diǎn)D的位置不唯一。通過解這道題，我們得到經(jīng)驗(yàn)：在解尺規(guī)作圖題時(shí)，通常以基本作圖為基礎(chǔ)，逆向思考，先嘗試構(gòu)造符合題意的“效果圖”，再結(jié)合條件進(jìn)行幾何推理，確定作圖方法，進(jìn)而畫出正確的目標(biāo)圖形。

（作者單位：江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)）C5BBB0AC-E93A-4337-8604-5BEA963A4FF7