新課改下高中數(shù)學(xué)函數(shù)的直觀想象教學(xué)

李麗敏

摘要：隨著數(shù)學(xué)新課改的改革，直觀想象素養(yǎng)作為其中一個核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)可以從幾何直觀和空間想象兩個方面進(jìn)行，借助幾何直觀將不容易掌握的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀化與簡明化;借助空間想象幫助學(xué)生認(rèn)識函數(shù)圖像的結(jié)構(gòu)特征，能想象函數(shù)圖象之間的分解與組合，展開與折疊等。教材中的很多探究題、例習(xí)題，以及高考真題等都是很好的素材，本文借助這些素材，在解題教學(xué)中，有意識地從幾何直觀和空間想象兩個方面滲透對學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)。對此，筆者的看法是：直觀想象就是要會看圖，會用圖，會畫圖，會想象圖形。下面，我就從這幾個方面來談?wù)勅绾闻嘤龑W(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：新課改;高中數(shù)學(xué);直觀想象

一、掌握圖形性質(zhì)，提高識圖能力

圖形是數(shù)學(xué)的重要研究對象之一，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，首先，培養(yǎng)學(xué)生對圖形的洞察能力，并且根據(jù)圖形中的已知信息進(jìn)行直觀化推理，從而思考出解題思路。其次，提高學(xué)生的識圖能力，主要是要養(yǎng)成圖形觀察習(xí)慣;最后，引導(dǎo)學(xué)生獲取圖形的重要信息、從而挖掘圖形的隱含條件。

例1：設(shè)f（x）=sin2x+b+|sinx|+c函數(shù)，則f（x）的最小正周期（? ? ? ? ）

A. 與b無關(guān)，但與c有關(guān)? ? B.與b無關(guān)，且與c無關(guān)

C. 與b有關(guān)，但與c無關(guān)? ? D.與b有關(guān)，與c有關(guān)

分析：本題是改編2016年浙江省高考題第5題，考察學(xué)生對三角函數(shù)與絕對值函數(shù)圖象性質(zhì)的理解。f（x）=sin2x+b+|sinx|c=cos2x+b|sinx|+c.因為函數(shù)絕對值里面這個函數(shù)sinx的周期是定值2π，加了絕對值之后周期變?yōu)棣?。所?cos2x和|sinx|的周期都是π。當(dāng)b=0時，f（x）的周期是π;當(dāng)b≠0時，f（x）的周期還是π，所以f（x）的周期與b無關(guān)。當(dāng)c=0時，里面這個函數(shù)的對稱中心在軸上，加了絕對值之后，得到的周期就變?yōu)棣?當(dāng)c時，里面這個函數(shù)的對稱中心不在軸上，加了絕對值之后，得到的周期就依然為π。所以，f（x）的周期與c無關(guān);故正確答案為B。

二、加強(qiáng)畫法交流，構(gòu)造最佳圖形

想要借助數(shù)形結(jié)合將復(fù)雜的問題簡化，我們必須在腦中想象、分析解決問題所需的直觀角度，采用恰當(dāng)?shù)膱D形視角畫出圖形，才能提高解題的有效性因為從的不同角度去觀察圖形，就可以構(gòu)造出函數(shù)的各個角度的大致圖象，從而對該函數(shù)問題的直觀分析產(chǎn)生直接影響。當(dāng)然所畫圖形不同，解題的效率也會大相徑庭。例如，題目要求繪制一個對數(shù)函數(shù)函數(shù)圖象，教師可以先有針對性指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖形的繪制，而學(xué)生一般會根據(jù)自己所學(xué)的知識畫出兩種形式。但是哪一種畫法更合適，這時候可以讓學(xué)生在課堂上交流自己的作圖想法，然后教師匯總大家的意見作出最佳點評。這樣的教學(xué)形式不僅可以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，還對培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度也有很大的幫助。

例2：已知函數(shù)f（x）=x2-2tx-1在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍。

分析：函數(shù)的零點個數(shù)問題經(jīng)常借助圖象來解決。但處理的方法可以不同，對這道題，有些同學(xué)會去研究的圖象與軸的交點，從而借助導(dǎo)數(shù)去討論的單調(diào)性。也可以將轉(zhuǎn)化成，從而去研究與這兩個函數(shù)圖象的交點。還可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成，再去研究與常數(shù)函數(shù)的圖象的交點。分析完之后，可以讓學(xué)生感受這三種做法的不同，從而體會畫出最佳圖形的重要性。

當(dāng)然，想要畫出完美函數(shù)圖象的前提是要畫出正確坐標(biāo)系。并且進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化的過程中，還需對畫圖的每一個環(huán)節(jié)進(jìn)行合情推理，分析圖形的合理性，避免科學(xué)性錯誤的發(fā)生。

三、搭建數(shù)形聯(lián)系，培養(yǎng)直觀想象能力

因為學(xué)生們要想培養(yǎng)起來較強(qiáng)的直觀想象能力，就需要對數(shù)學(xué)圖形有著深刻的理解與認(rèn)知，從而才能順利解決數(shù)學(xué)問題。所謂：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微”，二者不能孤立存在，而是要相輔相成地用來解決實際問題。這也是為什么在整個高中階段，我們都強(qiáng)調(diào)著要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，讓他們能夠?qū)D形與數(shù)學(xué)知識靈活結(jié)合起來進(jìn)行學(xué)習(xí)與探究。

四、借助函數(shù)模型，培養(yǎng)直觀想象能力

數(shù)學(xué)模型是在研究數(shù)學(xué)學(xué)科的時候，十分重要的一種輔助研究工具，通過數(shù)學(xué)模型，我們能夠很方便地將抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直觀的模型，方便人們觀察，并找到各個數(shù)學(xué)變量之間存在的關(guān)系。

需要注意的是，無論是哪種函數(shù)模型，其實其核心思想都是對數(shù)學(xué)問題的簡化與具象化所以，不同的數(shù)學(xué)模型之間也存在較為緊密的聯(lián)系，任何人在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的時候，都可以回憶之前接觸到的函數(shù)模型，然后找到不同函數(shù)模型存在的異同點，整合在一起進(jìn)行記憶。

五、辨明圖象特征，培養(yǎng)直觀想象能力

要想讓學(xué)生們具備較強(qiáng)的直觀想象能力，教師不僅僅要讓學(xué)生們具備很強(qiáng)的腦海構(gòu)建立體圖象的能力，而且需要加強(qiáng)對高中生洞察能力的培養(yǎng)，因為人類直觀想象能力的形成過程跟他們?nèi)粘Ｉ罱?jīng)歷與學(xué)習(xí)經(jīng)驗有著密切的聯(lián)系，在特定情境當(dāng)中，根據(jù)接收到的不同圖象信息與環(huán)境因素，人們把這些內(nèi)容與自己已經(jīng)構(gòu)建完善的知識體系結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，并從中找到符合條件的模型或者圖象，篩選出最符合條件的內(nèi)容部分。

結(jié)束語

綜上所述，隨著新課改的不斷推進(jìn)，教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中，不僅要讓學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識概念有一定的掌控能力，而且還要培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力，為他們創(chuàng)設(shè)更豐富多樣的學(xué)習(xí)方法，并把課堂交給他們自己去自由探究。激發(fā)他們觀察圖象并動手作圖的能力，在保證高中生直觀洞察能力得到提升的同時，也促進(jìn)他們在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中習(xí)慣性使用數(shù)形結(jié)合思想，提升綜合素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 李松林.以大概念為核心的整合性教學(xué)[J].課程·教材·教法，2020：56-61.A454633D-32A1-4E98-A45D-25CA4BA35F87