讓“猜想—驗證”成為教學的主旋律

朱家浩　施李丹

[摘 要]“猜想—驗證”是小學數(shù)學教學中的一種重要數(shù)學思想方法與教學手段。在“猜想—驗證”實施過程中存在學習方法無助化、教學過程形式化、學生思考被動化等問題。文章對人教版教材五年級下冊“3的倍數(shù)的特征”一課進行“猜想—驗證”的教學實踐，設計了三個“猜想—驗證”的教學環(huán)節(jié)，引導學生自主探究，通過方法從舊知遷至新知，教學從形式走向常態(tài)，學生從被動變?yōu)橹鲃尤齻€方面進行反思。

[關鍵詞]猜想;驗證;3的倍數(shù)

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）08-0060-03

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結(jié)果。由此可見，“猜想—驗證”對學生數(shù)學能力的發(fā)展具有重要作用。然而反思這些年的小學數(shù)學教學活動，筆者發(fā)現(xiàn)“猜想—驗證”過程中存在學習方法無助化、教學過程形式化、學生思考被動化等問題，這些問題阻礙著猜想、驗證活動的有效開展。

為了確保順利、有效地開展猜想、驗證活動，讓學生積極參與課堂，貫徹“以學生為中心”的理念，筆者將“猜想—驗證”的教學活動融入人教版教材五年級下冊“3的倍數(shù)的特征”的教學。以下是整節(jié)課的課堂實錄與教學反思。

【課堂實錄】

一、勾連舊知，引入新課

師：2和5的倍數(shù)有哪些特征？

生1：2的倍數(shù)的特征是能被2整除，個位上是0、2、4、6、8。

生2：5的倍數(shù)的特征是能被5整除，個位上是0或5。

生3：2和5的倍數(shù)的特征是既能被2整除又能被5整除，個位上是0。

師：是的，這些就是2和5的倍數(shù)的特征。今天我們將要學習3的倍數(shù)的特征。

【設計意圖：讓學生回顧2和5的倍數(shù)的特征，知道它們特征的推導方法，使學生在腦海中建立知識的表象，為之后學習3的倍數(shù)的特征埋下伏筆，同時使學生初步形成對其的猜想，并能想到一些驗證之法?！?/p>

二、第一次“猜想—驗證”，初步建立表象

師：怎么判斷一個數(shù)是否是3的倍數(shù)？

生1：只要看這個數(shù)能不能被3整除，能被3整除的就是3的倍數(shù)，不能被3整除的就不是。

師：確實是這樣的，那你能說出3的倍數(shù)會有什么特征嗎？

生2：我認為個位上是3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)。

生3：我認為個位上是0、3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)。

師：老師也來猜一猜同學們是怎么想的。我猜你們是根據(jù)2或5的倍數(shù)的特征來推測的，所以認為只要個位能被3整除就可以。（學生表示肯定）

師：那現(xiàn)在有了猜想，我們需要怎么做呢？

生4：驗證。

師：是啊，任何猜想都需要驗證才能說它對與不對。誰有方法驗證它？

生5：可以舉一些例子，看看這些例子是不是符合我們的猜想，如果符合就說明它是對的，如果不符合就說明它是錯的。

師：真棒！對于還不確定的結(jié)果，我們可以舉例子，舉例子是一個很好的驗證方法。

師：那誰來舉一些例子？

（學生列舉了6、12、9、30、45）

師：請觀察這些數(shù)，你有什么想說的？

生6：我認為之前的猜想都是錯的，3的倍數(shù)的特征不是只有個位上是3、6、9的數(shù)，也有個位是0和5的數(shù)。

生7：我認為3的倍數(shù)的特征跟2和5的倍數(shù)的特征不一樣，所以猜想也是錯的。

師：通過舉例子發(fā)現(xiàn)之前的猜想都是錯誤的，看來舉例子真的很有用，也很方便。

【設計意圖：使學生經(jīng)歷初次的猜想活動，此次猜想是學生根據(jù)原有的知識經(jīng)驗而提出的，并通過自主舉例子的方式加以驗證，這體現(xiàn)了知識遷移的重要性，同時也大大激發(fā)了學生的探究熱情。學生通過自己的探究驗證發(fā)現(xiàn)猜想是錯誤的，這為之后猜想的調(diào)整做好了鋪墊?！?/p>

三、第二次“猜想—驗證”，逐漸掌握本質(zhì)

師：仔細觀察這些數(shù)據(jù)的特征，你有什么新的猜想？

生1：我認為個位上是0、3、5、6、9的數(shù)才是3的倍數(shù)。

生2：我認為個位上不管是什么數(shù)都有可能。

生3：我也認為個位上不管是什么數(shù)都有可能，但是我想補充，把個位和十位上的數(shù)字加起來要能被3整除。

師：對于這些猜想，有同意的嗎？說一說你的理由。

生4：我同意生3的猜想，比如12，我們可以看成1+2=3，3能被3整除，6可以看成06，0+6=6，6也能被3整除，其他的數(shù)也可以類推。

生5：我也同意生3的猜想，個位有3的數(shù)，比如13就不能被3整除，所以生1錯了，生3講的比生2的更完整。

……

師：同學們既有用舉反例的方法來驗證猜想，也有用直接操作的方法來驗證猜想，真是太了不起了！你們都說生3的猜想是對的，那同意的同學請舉手。（絕大部分學生都舉手）

師：絕大部分同學都認可生3的猜想，我們現(xiàn)在就能說它是對的嗎？

生6：不能。這些例子太少了，有可能是碰巧的，我們還要舉更多的例子來驗證。

師：是的。確實需要更多更嚴謹?shù)臄?shù)據(jù)來驗證猜想。這樣吧，老師給你們提供一張百數(shù)表，你們研究一下1到100的數(shù)，看看100以內(nèi)有哪些數(shù)是3的倍數(shù)。

【設計意圖：讓學生在原來錯誤猜想的基礎上再次猜想，有了部分例子的支撐，學生開始思考原先猜想錯誤的原因，逐漸形成新的猜想，再用說理、舉例子等方式驗證猜想的正確性，使學生對“猜想—驗證”環(huán)節(jié)有了更多的自主思考與探究。】

四、第三次“猜想—驗證”，拓展延伸規(guī)律

教師先出示猜想“個位和十位上的數(shù)字加起來能被3整除的數(shù)是3的倍數(shù)”;然后下發(fā)百數(shù)表給學生，學生圈出所有是3的倍數(shù)的數(shù);最后展示學生作品。

教師出示標好3的倍數(shù)的百數(shù)表（如圖1）：

師：個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字相加，和是多少？（學生計算）

師：你有什么想說的？

生1：我發(fā)現(xiàn)它們的和都是3、6、9、12、15、18這幾個數(shù)，它們都能被3整除。

生2：我發(fā)現(xiàn)斜著的數(shù)字相加后得到的結(jié)果能被3整除。

生3：我發(fā)現(xiàn)相鄰的兩個3的倍數(shù)之間相差3。

師：你們說得都很好，那我們一起來看一下它們相加的和。（如圖2）

師：驗證后發(fā)現(xiàn)100以內(nèi)確實存在這樣的規(guī)律。那100以外呢？猜猜看。

生4：我猜把每個數(shù)位上的數(shù)字加起來能被3整除就行了。

師：那是不是這樣呢？我們舉一些比較大的數(shù)，將每個數(shù)位加起來，看看是不是能被3整除。

（學生列舉765、1020、3822、48726，教師記錄）

師：我們用除法來驗算它們是不是能被3整除。（學生計算）

師：你們的計算結(jié)果怎么樣？

生（齊）：都能被3整除。

師：看來這個結(jié)論同樣適用100以外的數(shù)。如果你有疑問，下課可以再多舉一些例子。那誰能來說一下3的倍數(shù)有什么特征呢？

生5：能被3整除。

生6：將每個數(shù)位上的數(shù)加起來，和能被3整除。

師：是的。我們將運用今天學到的知識進行練習闖關，同學們有沒有信心？

生（齊）：有。

【設計意圖：讓學生利用百數(shù)表驗證猜想，通過自主探究發(fā)現(xiàn)100以內(nèi)3的倍數(shù)的數(shù)的特征，再將猜想延伸至100以外的數(shù)。組織學生通過舉例子的方式驗證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)100以外的數(shù)同樣適用此規(guī)律。到此，學生運用“猜想—驗證”的方式經(jīng)歷了結(jié)果的生成過程，牢固掌握了3的倍數(shù)的規(guī)律?！?/p>

五、練習總結(jié)（略）

【教學反思】

一、關注學生的前測數(shù)據(jù)，教學更具針對性

“3的倍數(shù)的特征”是學生認識與掌握了2和5的倍數(shù)的特征之后所學習的內(nèi)容。對一個班的學生進行前測，并主要呈現(xiàn)三個問題，引導學生思考、回答。

問題1：你能從1～30中找到3的倍數(shù)的數(shù)嗎？能寫一寫你的理由嗎？

問題2：請你分別寫一個三位數(shù)、四位數(shù)、六位數(shù)、十位數(shù)，判斷一下是否為3的倍數(shù)。

問題3：你覺得3的倍數(shù)有沒有特征？說一說你的理由。

通過對前測數(shù)據(jù)的分析，筆者發(fā)現(xiàn)學生明白如何判斷是否是3的倍數(shù)，但是受2和5和倍數(shù)的特征的影響，未能正確發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征，并且學生喜歡猜測結(jié)果。對此，筆者抓住學生愛猜測的心理，本節(jié)課重點放在學生的自主探究，采用“猜想—驗證”的教學模式，分階段歸納出3的倍數(shù)的特征。

二、建構(gòu)“猜想—驗證”的實踐活動，發(fā)展學生的數(shù)學能力

1.猜想—驗證：方法從舊知遷至新知

孔子云：“溫故而知新，可以為師矣?！边@就體現(xiàn)出舊知對新知的重要性，在方法上亦是如此。本節(jié)課是在學生已經(jīng)學習了2和5的倍數(shù)的特征的探究方法與結(jié)論的基礎上進行教學的，學生經(jīng)歷的首次猜想并不是天馬行空的，而是依據(jù)原有的知識經(jīng)驗。學生能將舊知的結(jié)論快速地遷移到新知的猜想上，這是一種好的猜想，后兩次的猜想是學生在錯誤的猜想上建立的新猜想，是猜想的遷移。學生的三次猜想所運用的驗證方法都是舉例子，這也是探究2和5的倍數(shù)的特征時采用的方法，故方法間存在通用性。由此可見，在“猜想—驗證”活動的開展過程中，方法的靈活遷移很重要。通過舊知遷至新知是一個不錯的選擇。

2.猜想—驗證：教學從形式走向常態(tài)

教學的目的是讓學生提升知識、提高能力以及升華情感，但教師有時為了追求教學的進度，會使猜想流于形式，大大弱化了猜想在教學中的作用。本節(jié)課安排了三次猜想活動，使得學生整節(jié)課都處在“猜想—驗證”中，自己提出的猜想由自己驗證。經(jīng)歷多次“驗證、否定、重建、再驗證”的探究過程后，學生得到的不僅僅是學科知識，更是嚴謹?shù)乃季S能力以及積極的情感。故筆者認為“猜想—驗證”應該成為教學的常態(tài)，應在日常的教學中普遍運用，使其發(fā)揮更多的教學價值。

3.猜想—驗證：學生從被動變?yōu)橹鲃?/p>

學生是課堂的主體，傳統(tǒng)的課堂是通過“師問生答”或“滿堂灌”的方式展開教學的，這大大削弱了學生在課堂中的作用，使得學生常常處在被動的狀態(tài)，極大地降低了學生學習的興趣。本節(jié)課加入“猜想—驗證”環(huán)節(jié)，猜想給了學生在同一起跑線的機會，都是在對知識陌生的情況下表達自己的想法，所以猜想沒有好壞之分，也無須在意對錯，只要能表達自己想法的就是好猜想。正是營造了輕松的猜想氛圍，使得學生學習的熱情大增，學生都變得愿意去猜想、搶著去猜想，主動地參與教學活動，在之后的驗證過程中也更愿意表達想法，大大地增強了學生學習的主動性，真正使“猜想—驗證”成為教學的主旋律。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 馬艷芳.“3的倍數(shù)特征”教學探索與實踐[J].中小學數(shù)學（小學版），2021（3）：39-41.

（責編 黃春香）