內(nèi)角和定理的分層練習(xí)教學(xué)法初探

張淑華

[摘 要]內(nèi)角和定理的分層練習(xí)教學(xué)法主要是將練習(xí)分為基礎(chǔ)練習(xí)、拓展練習(xí)、深入練習(xí)，先通過運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理推算內(nèi)角，迅速回顧舊知，然后引進(jìn)外角的知識深化內(nèi)角和定理的應(yīng)用，最后用三角形內(nèi)角和研究多邊形的內(nèi)角和。

[關(guān)鍵詞]三角形;內(nèi)角和;定理;公式推導(dǎo)

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）08-0048-03

“自己有一桶水，才能給學(xué)生一瓢水。”教師必須知識淵博，見識不凡，同時(shí)具備優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計(jì)能力，只有這樣才能在教學(xué)中高屋建瓴，從大局出發(fā)，從細(xì)微處著眼，將精細(xì)的知識點(diǎn)合理巧妙地融合成知識體系，才能科學(xué)恰當(dāng)?shù)赝卣箤W(xué)生思維，做到點(diǎn)到即止，恰到好處。為了提高三角形內(nèi)角和專項(xiàng)練習(xí)的效率，筆者主要采取分層練習(xí)教學(xué)法，將單一的練習(xí)題做了延伸，使其覆蓋面更廣?，F(xiàn)將試教的成果整理如下，供各位同行參考。

一、基礎(chǔ)練習(xí)熱身

練習(xí)1.請判斷下面哪組的三個(gè)角能組成一個(gè)三角形。

①70°、60°、50°? ? ? ? ②65°、65°、50°

③37°、53°、100°? ? ? ④90°、40°、50°

（學(xué)生仔細(xì)分析研判每組角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)①②④三組角的和均為180°，判定它們可以組成三角形。與此同時(shí)，進(jìn)一步仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，②組組成的三角形實(shí)為一個(gè)等腰三角形，而④組組成的三角形則是一個(gè)直角三角形。）

師（追問）：能畫出④組數(shù)據(jù)所表示的三角形嗎？（學(xué)生畫圖）

師（挑出兩個(gè)大小不一的直角三角形投影到電子白板上）：為什么大小不一呢？

生1：因?yàn)檫呴L可以靈活伸縮。

師：換言之，三角形的三個(gè)角永恒不變時(shí)，什么可以千差萬別？

生2：面積大小以及各邊的長。

（教師利用投影儀，將兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角（40°）疊放在一起，然后沿水平方向平移較大三角形的直角邊，與另一個(gè)三角形的非平行邊相交形成一系列的組合直角三角形（如圖1）。）

師：仔細(xì)觀察這些組合而成的直角三角形，哪些元素發(fā)生了變化？哪些元素維持原樣？

生3：三角形的大小在變，但是三角形的三個(gè)內(nèi)角沒變。

練習(xí)2.推算圖2中各個(gè)三角形中∠B的大小。

（學(xué)生獨(dú)自列式計(jì)算后，教師組織交流活動(dòng)，并點(diǎn)撥學(xué)生根據(jù)②③④這三幅圖的形體特征歸納便捷算法。）

【評析】通過運(yùn)用“三角形內(nèi)角和”定理推算內(nèi)角，讓學(xué)生迅速回顧舊知。值得肯定的是，教師讓學(xué)生依據(jù)直角三角形的三個(gè)內(nèi)角大小畫出三角形圖案，這貌似一個(gè)不起眼的畫圖舉動(dòng)，實(shí)際上隱喻了“相似三角形”的概念。學(xué)生在畫圖、對比、反思中發(fā)現(xiàn)，雖然三個(gè)內(nèi)角始終恒定，但是邊長卻可以任意伸縮。通過投影顯現(xiàn)三角形的三條邊伸縮比例是同頻同步同比的，這也隱含了相似三角形對應(yīng)邊成比例的定理。之后推算內(nèi)角度數(shù)的練習(xí)，及時(shí)鞏固了內(nèi)角和定理，稍帶回顧了特殊三角形的內(nèi)角分布等知識。

二、拓展練習(xí)訓(xùn)練

1.利用內(nèi)角和定理推算外角

電子白板顯示一：內(nèi)外有別，用三角形內(nèi)角和定理可以推算它的外角，這叫內(nèi)外兼修。

師（出示圖3）：圖3中的∠1、∠2、∠3都是延長三角形一邊所得，稱為三角形的外角。請同學(xué)們按要求答題。①分別推算出每個(gè)三角形中指定角的大小。②觀察分析運(yùn)算結(jié)果和所有角的度數(shù)，看看有沒有什么規(guī)律可循。

（學(xué)生獨(dú)自思索、演算，組內(nèi)磋商，再交流反饋）

板書：圖形①，先計(jì)算∠1的鄰補(bǔ)角，180°-30°-30°=120°，再從平角中剪切得∠1=180°-120°=60°。圖形②直觀反映出∠2為直角，因此它的鄰角應(yīng)該是直角的補(bǔ)角90°，于是根據(jù)內(nèi)角和定理推知∠A=90°-30°=60°。圖形③，先根據(jù)外角求出內(nèi)角∠C的度數(shù)，180°-110°=70°，再運(yùn)用內(nèi)角和定理求值，∠A=180°-30°-70°=80°。

生：三角形的外角正好等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。

師：有根據(jù)嗎？敢肯定嗎？

（學(xué)生復(fù)核后確認(rèn)。教師用光標(biāo)點(diǎn)擊圖形①的C點(diǎn)，使其變成動(dòng)點(diǎn)（A、B仍為定點(diǎn)），并沿著BC所在直線向右平移，使學(xué)生親眼看見外角∠1由小到大的動(dòng)態(tài)變化過程，而不相鄰的內(nèi)角∠A也會(huì)隨之變化。）

【評析】教師引進(jìn)外角的真實(shí)用意是讓學(xué)生通過觀察、利用外角與鄰近內(nèi)角的互補(bǔ)性以及對三角形內(nèi)角分配的影響，掌握內(nèi)角和定理。學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角之和，這是自主探究的收獲。讓學(xué)生經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，有效歷練了學(xué)生的自主探究能力。

2.利用三角形內(nèi)角和研究多邊形的內(nèi)角和

師：三角形內(nèi)角和不但可以解決外角的問題，還能解決多邊形的內(nèi)角和問題。

電子白板顯示二：運(yùn)用三角形內(nèi)角和來推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和定理。

要求：①觀察表中各圖有幾個(gè)內(nèi)角;②請你想辦法求出各圖的內(nèi)角和;③尋找規(guī)律，探討計(jì)算公式;④組內(nèi)交流。

生：四邊形沿著一條對角線可分割成兩個(gè)三角形，因而它的內(nèi)角和是2×180°=360°;從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿著2條對角線可將其分割成三個(gè)三角形，因此它的內(nèi)角和是3×180°=540°;從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿著三條對角線可將其分割成四個(gè)三角形，因此它的內(nèi)角和是4×180°=720°……

師（在表中的圖上演示對角線連接法）：按規(guī)則把圖形分成幾個(gè)三角形后再計(jì)算，你們從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

（學(xué)生對比歸納類推，概括出“n邊形”的內(nèi)角和公式——（n-2）×180°。教師呈現(xiàn)“凹凸”兩種多邊形，以四邊形和五邊形為例（如圖4）。）

師：它們的內(nèi)角和是否還能沿用上述公式？? ? ? ? ? ?（教師用圖示法，使學(xué)生領(lǐng)悟這里的凹多邊形仍然可以沿用上述公式求內(nèi)角和（如圖5），只是分割時(shí)要從凹點(diǎn)引線。）

師：這個(gè)公式是否對任意凹多邊形都管用？（暗示學(xué)生課后繼續(xù)研究）

【評析】設(shè)計(jì)多邊形內(nèi)角和問題，用意是讓學(xué)生通過觀察、嘗試、計(jì)算、分析，發(fā)現(xiàn)共性，提煉公式，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。歸納凸多邊形的內(nèi)角和公式難度不大，但教師并沒有止步于此，觸角繼續(xù)延伸到凹多邊形，引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)提煉出的公式“凹凸”通用，唯一不同的是，將凹多邊形切分成三角形時(shí)，必須從凹點(diǎn)引線。教師用一個(gè)問題“這個(gè)公式是否對任意凹多邊形都管用？”將研究范圍延伸至課外。

三、由靜到動(dòng)，深化理解

1.研究頂角的變化

師：任意三角形的內(nèi)角和始終是180°。圖6是一個(gè)直角三角形。

師：現(xiàn)將頂點(diǎn)沿著高線上下平移，先后形成三角形AB1C和三角形AB2C（如圖7）。

師：觀察三角形AB1C和三角形AB2C，它們的內(nèi)角較之前有什么變動(dòng)？平移頂點(diǎn)后形成的兩個(gè)三角形是什么三角形？

（學(xué)生獨(dú)自思索，合作探討后匯報(bào)展示。）

生1：三角形AB1C的頂角縮小，底角變大。原圖演變成銳角三角形。

生2：三角形AB2C的頂角變大，底角縮小。原圖演變成鈍角三角形。

師：發(fā)揮想象，若繼續(xù)加大平移幅度，原三角形的頂角和底角會(huì)呈現(xiàn)什么變化趨勢？

生：頂點(diǎn)越往上移動(dòng)，頂角越小;頂點(diǎn)越往下移動(dòng)，頂角越大。

2.研究與圓有關(guān)的三角形內(nèi)角的變化

師：剛才頂點(diǎn)是沿著高豎直移動(dòng)，假如沿著圓弧移動(dòng)，會(huì)是怎樣呢？

師（先投影一個(gè)圓，再畫直徑AB，在圓弧上任意取點(diǎn)C，并連接CA、CB，組成一個(gè)三角形，如圖8）：這樣內(nèi)接在圓內(nèi)的三角形會(huì)是什么形狀？

（學(xué)生不斷畫圖試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)所畫的三角形均為直角三角形。）

師：在圓弧上隨意定點(diǎn)C，連接CA、CB，得出的三角形ABC仍是直角三角形嗎？

（學(xué)生探究核查）

師：對比這些直角三角形，直角對應(yīng)一條半圓弧，另外兩個(gè)銳角對應(yīng)的弧線合起來也是一條半圓弧，因?yàn)檫@兩個(gè)銳角的和也是90°。

師：在圓外隨意取點(diǎn)，再來連接三角形。此時(shí)的三角形又是什么形狀？是什么三角形？

（學(xué)生操作探究，發(fā)現(xiàn)所得的三角形都是銳角三角形，如圖9。）

師：請大家再在圓內(nèi)取點(diǎn)，所得的三角形會(huì)是什么形狀？

（學(xué)生又經(jīng)過反復(fù)操作探究，發(fā)現(xiàn)其形狀是鈍角三角形，如圖9。此時(shí)學(xué)生無比興奮。）

師：過一個(gè)鈍角三角形的鈍角頂點(diǎn)，到對邊畫出垂線，與圓弧相交于C點(diǎn)，這一點(diǎn)與A、B連接成的是一個(gè)直角三角形。

師：通過剛才的操作，你明白其中原委嗎？

【評析】在“圖形與幾何”教學(xué)中做到化靜為動(dòng)頗費(fèi)功力。一般在展示動(dòng)圖之前，應(yīng)先讓學(xué)生對靜態(tài)圖形進(jìn)行觀察和想象，再來演示，這樣就能使演示的圖形與學(xué)生的設(shè)想形成對應(yīng)。教師先讓學(xué)生觀察探究三個(gè)靜態(tài)的三角形，再動(dòng)態(tài)演示頂點(diǎn)上下平移，讓學(xué)生直觀感知頂角變化帶來底角變化的過程，然后讓學(xué)生想象加大平移幅度后的情景，為研究圓與三角形的相關(guān)知識進(jìn)行了預(yù)熱。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 李新，張明紅.聚焦學(xué)情調(diào)研 站穩(wěn)兒童立場：以蘇教版教材四年級下冊“三角形的內(nèi)角和”為例[J].小學(xué)教學(xué)參考，2021（8）：4-7.

[2] 喬璽卉.創(chuàng)新路徑：讓數(shù)學(xué)思維可視化[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（4）：31-32.

[3] 劉亞東.莫讓“未卜先知”架空操作效力：“三角形的內(nèi)角和定理”的教學(xué)改進(jìn)[J].小學(xué)教學(xué)參考，2021（5）：21-22.

[4] 李志軍.用教學(xué)“反綁”技術(shù)：《三角形的內(nèi)角和》一課思考與教學(xué)[J].教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2020（12）：87-90.

（責(zé)編 羅 艷）