求解含參二次函數(shù)最值問題的步驟

李令軍

含參二次函數(shù)最值問題比較常見，通常要求求含參二次函數(shù)在給定區(qū)間或?qū)崝?shù)集R上的最值.由于問題中涉及參數(shù)，所以解答此類問題通常需要利用分類討論思想來對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.

而對(duì)于含參二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，需要討論函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與定義域的位置關(guān)系，以便利用二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.

求二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）在區(qū)間[m，n]上的最值的步驟如下：

3.畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象尋找取得最值的點(diǎn)，并求得最值.

（1）若a>0，則函數(shù)圖象的開口向上，

（1）若a<0，則函數(shù)圖象的開口向下，

下面舉例說明.

例1.求f（x）=ax²-2x在0≤x≤1上的最小值.

解（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x為一次函數(shù)，在[0，1]上單調(diào)遞減，

所以f（x）_min=f（1）=-2，即函數(shù)的最小值為-2.

所以f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，

所以f（x）_min=f（1）=a-2，即函數(shù)的最小值為a-2.

所以f（x）=ax²-2x在[0，1]上單調(diào)遞減，

所以f（x）_min=f（1）=a-2，即函數(shù)的最小值為a-2.

本題中a為參數(shù)，需利用分類討論思想，分a=0、a>0、a<0三種情況進(jìn)行討論.尤其要注意a=0的情形，此時(shí)函數(shù)為一次函數(shù)，需利用一次函數(shù)的單調(diào)性來求最值.當(dāng)a>0、a<0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，再利用分類討論思想討論對(duì)稱軸與定義域[0，1]的位置關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，即可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性便能求得函數(shù)的最值.

例2.已知函數(shù)f（x）=ax²+2ax+1在區(qū)間[-1，2]上有最大值4，求實(shí)數(shù)a的值.

解：f（x）=ax²+2ax+1=a（x+1）²+1-a.

可知其圖象的對(duì)稱軸為x=-1，在[-1，2]的左側(cè)，

（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=1，函數(shù)無最大值，

所以a=0不符合題意，舍去;

（2）當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f（x）圖象的開口向上，在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的最大值為f（2）=8a+1=4

（3）當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f（x）圖象的開口向下，在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f（x）最大值為f（-1）=1-a=4，解得a=-3.

本題中函數(shù)的對(duì)稱軸和定義域固定，而函數(shù)的開口方向不確定，所以只需討論a>0，a<0時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，即可解題.若函數(shù)的定義域中含有參數(shù)，則需根據(jù)參數(shù)的取值確定定義域端點(diǎn)值的大小，進(jìn)而將其與函數(shù)圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行比較，以確定定義域與函數(shù)圖象的對(duì)稱軸的位置關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

可見，解答含參二次函數(shù)最值問題，往往要靈活運(yùn)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，這樣能有效地提升解題的效率.在運(yùn)用分類討論思想解題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：一是對(duì)二次項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行討論;二是要對(duì)對(duì)稱軸與定義域的位置關(guān)系進(jìn)行討論.而結(jié)合二次函數(shù)的圖象來分析函數(shù)的對(duì)稱軸與所給區(qū)間之間的位置關(guān)系，往往能達(dá)到事半功倍的效果.