例談兩類圓錐曲線問題的解法

孫磊

圓錐曲線問題對(duì)同學(xué)們的思維能力和運(yùn)算能力有較高的要求，常見的圓錐曲線問題有：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、求圓錐曲線的方程、求直線的斜率、求參數(shù)的取值范圍、中點(diǎn)弦問題等.本文主要探討下列兩類圓錐曲線問題的解法.

一、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問題側(cè)重于考查圓錐曲線的方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的重要方法之一是直接法，即先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），必要時(shí)可多設(shè)幾個(gè)變量，找出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的幾何關(guān)系，根據(jù)題意建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式，通過化簡(jiǎn)、消元得到x與y的關(guān)系式，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例1.已知直線l：ax-y-（a+5）=0與拋物線y=（x+1）²相交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為M（x，y），

可知x₁+x₂=2x，

∵l：a（x-1）-（y+5）=0，

∵y₁=（x₁+1）²，y₂=（x₂+1）²，

∴y₁-y₂=（x₁+1）²-（x₂+1）²=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2），

∴弦中點(diǎn)的軌跡方程為y=2x²-7.

解答本題主要采用的是直接法，首先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，便可根據(jù)中點(diǎn)公式建立A、B與M的坐標(biāo)的關(guān)系式，再將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的方程中，通過作差，建立關(guān)于A、B與M的坐標(biāo)的關(guān)系式，消去參數(shù)A、B的坐標(biāo)，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法還有定義法，即根據(jù)圓錐曲線的定義來求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法.若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)其定義確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡的類型，再寫出其方程.

∴Q為線段PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN

運(yùn)用定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，關(guān)鍵在于理解解析幾何中圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，根據(jù)其定義建立關(guān)系式.在運(yùn)用定義法求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程后，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制.

二、求圓錐曲線的方程

求圓錐曲的方程問題側(cè)重于考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解答此類問題，需首先根據(jù)圓錐曲線的類型，引入?yún)?shù)，設(shè)出橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)已知條件列出關(guān)于參數(shù)a、b、c的方程組，解方程組即可求得圓錐曲線的方程.

圓錐曲線問題的難度一般較大，且運(yùn)算量較大.同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中，要熟悉并掌握一些圓錐曲線問題中的常見題型及其解法，加深對(duì)圓錐曲線問題的認(rèn)識(shí)，以達(dá)到提升解題效率的目的.