例談初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合性題目的解題技巧

季峰

【摘要】與二次函數(shù)相關(guān)的認(rèn)知是人教版初中數(shù)學(xué)九年級上冊的重要內(nèi)容，二次函數(shù)綜合性題目更是各市區(qū)中考中常見的壓軸題.這類綜合性題目主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、抽象思維能力，通過題目的操練學(xué)生能有效地將零落的知識轉(zhuǎn)化為解決問題能力.問題是數(shù)學(xué)的心臟，對二次函數(shù)綜合性題目的研究能幫助學(xué)生挖掘題目中隱含的問題的本質(zhì)，提升他們的解題技巧，進而進入二次函數(shù)的“心臟”.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);綜合性題目;解題技巧

教師指導(dǎo)學(xué)生掌握二次函數(shù)綜合性題目的一些解題技巧能開闊他們的思路，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力，促進他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).當(dāng)學(xué)生能將二次函數(shù)中建構(gòu)的圖形遷移到平時積累的模型中，在生題中找尋舊題，在多次發(fā)散與聯(lián)想中生成思路，那么他們就形成一定的解題技巧，進而在具體解題時如囊中探物.

1 與最值、定值相關(guān)的二次函數(shù)綜合性題目的解題技巧

在解決與最值、定值相關(guān)的二次函數(shù)綜合性題目時，教師先要讓學(xué)生復(fù)習(xí)初中階段有關(guān)線段最值的問題.就是通過簡單的圖形展示讓他們說出兩點之間線段最短;垂線段最短;在三角形中兩邊之和大于第三邊，求第三邊的最小值;還有綜合一點的，就是利用二次函數(shù)及其自變量取值范圍來求最值.

例1 已知拋物線C：y=ax2-2ax+c經(jīng)過點C（1，2），與x軸交于A（-1，0）、B兩點，如圖1所示.

（1）求拋物線C的解析式;

（2）直線y=34x交拋物線C于S、T兩點，M為拋物線C上A、T之間的動點，過M點作ME⊥x軸于點E，MF⊥ST于點F，求ME+MF的最大值;

（3）如圖2，平移拋物線C的頂點到原點得拋物線C1，直線l：y=kx-2k-4交拋物線C1于P、Q兩點，在拋物線C1上存在一個定點D，使∠PDQ=90°，求點D的坐標(biāo).

對于第1問，利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論y=-12x2+x+32.

對于第2問，教師先讓學(xué)生討論，他們認(rèn)為先要確定出ME，MF與t的關(guān)系，再建立ME+MF與t的函數(shù)關(guān)系式.他們設(shè)直線OT交ME于G，設(shè)M（t，-12t2+t+32），則ME=-12t2+t+32，G（t，34t），OG=54t，MG=-12t2+14t+32，sin∠OGE=sin∠MGF=45，MF=45MG=-25t2+15t+65，ME+MF=-910t2+65t+2710=-910（t-23）2+3110，

由y=34xy=x22+x+32得x1=-32x2=3，所以xS=-32，xT=3，且-32<32<3，且a<0，當(dāng)t=23時，ME+MF的最大值為3110.對于第3問，如圖2所示：過D作E′F′∥x軸，作PE′⊥E′F′于E′，QF′⊥E′F′于F′，設(shè)D（a，b），P（x1，y1），Q（x2，y2），列方程組 y=kx-2k-4y=-12x2，得x2+2kx-4k-8=0進而求得x1+x2=-2k，x1x2=-4k-8.由題目中的平移條件，推出△PE′D∽△DF′Q，進而得，DE′·DF′=PE′·QF′，即，（a-x1）（x2-a）=（b-y1）（b-y2），所以，b=-12a2，y1=-12x21，y2=-12x22，最終求得（a+2）（a-2）-2k（a+2）=0.因為k為任意實數(shù)，所以a+2=0，a=-2，b=-2，最終D（-2，-2）.

2 與幾何動點相關(guān)的二次函數(shù)綜合性題目的解題技巧

動點問題可分為三個類型，動點問題、動線問題、動形問題，就動點問題而言，又可以分為單動點和雙動點.教師要讓學(xué)生在“動”中求“靜”， 進而化“動”為“靜”，把想知道的“量”用常量或含自變量的關(guān)系式表示出來.

例2 拋物線y=-x2+bx+c交x軸于點A（-4，0）和點B，交y軸于點C（0，4），如圖3所示.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）設(shè)點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，當(dāng)△ADC面積有最大值時，在拋物線對稱軸上找一點M，使DM+AM的值最小，求出此時M的坐標(biāo).

（3）點Q在直線AC上的運動過程中，是否存在點Q，使△BQC為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

對于第1問，學(xué)生可以用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式.學(xué)生由二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象交x軸于點A（-4，0）和點B，交y軸于點C（0，4），就能列出式子

-16-4b+c=0

c=4，進而解得b=-3

c=4，所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2-3x+4.對于第2問，教師先是引導(dǎo)學(xué)生分析解決這一問的要點是什么，學(xué)生發(fā)現(xiàn)要先求出直線AC的解析式，進而就可以求得由m表示的三角形ADC的面積.接著教師引導(dǎo)他們分析如何求得m的值.學(xué)生想到要先求D點坐標(biāo)，這個由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出.教師提醒學(xué)生可再求出關(guān)于對稱軸的對稱點的坐標(biāo)D1，求出直線AD1的解析式，進而求出M點的坐標(biāo).對于第3問，教師先是讓學(xué)生設(shè)出Q點的坐標(biāo)，然后指導(dǎo)他們就CQ=BQ，BC=BQ、BC=CQ這三種情況進而討論，從而求解.學(xué)生先是設(shè)Q（a，a+4），因為C（0，4），B（1，0），所以CQ2=a2+a2=2a2，BQ2=（a-1）2+（a+4）2，BC2=42+12=17.第一種情況，當(dāng)CQ=BQ時，a2+a2=（a-1）2+（a+4）2，即6a+17=0，解得a=-176，所以Q（-176，76）.第二種情況，當(dāng)BC=BQ時，17=（a-1）2+（a+4）2，整理得2a2+6a=0，解得a=-3或a=0（不合題意舍去），所以Q（-3，1）.第三種情況，當(dāng)BC=CQ時，2a2=1+16，整理得2a2=17，解得a=±342

，所以Q（342，4+342）或（-342，4342）.綜上所述，點Q的坐標(biāo)為Q（342，4+342）或（342，4-342）或（-3，1）或（-176，76）.可見基于幾何動點相關(guān)的二次函數(shù)綜合性題目需要學(xué)生掌握運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的能力;需要他們能夠熟悉函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征;需要他們能夠計算三角形的面積、兩點間的距離公式;同時還需要他們學(xué)會運用分類討論思想和方程思想方法.教師需要在指導(dǎo)技巧的過程中不斷地培養(yǎng)他們這方面的素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]許翠莉，王師森，于彬.“三會”視角下“二次函數(shù)與一元二次方程（1）”.教學(xué)實錄及評析[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊. 2021，（29）.

[2]王亞莉.核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)問題解決能力提升策略與實踐——以“二次函數(shù)的概念”教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.2021，（29）.