二次函數(shù)中直角三角形存在性問(wèn)題探究

毛麗麗

考題在線

例 （2021·四川·巴中）如圖1，已知拋物線y = ax2 + bx + c與x軸交于A（-2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．

（1）求拋物線的表達(dá)式.

（2）點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，連接AP交BC于點(diǎn)M，當(dāng)[PMAM]最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及[PMAM]的最大值.

（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l，在l上是否存在點(diǎn)D，使△BCD是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

考點(diǎn)剖析

一、準(zhǔn)備步驟：二次函數(shù)點(diǎn)線定位問(wèn)題

1.利用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)解析式為[y=14x2-x-3].

2.利用相似三角形性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段比例問(wèn)題，利用二次函數(shù)助解最值問(wèn)題.

精析：如圖2，過(guò)點(diǎn)A，P分別作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，可得△AEM∽△PFM，∴[PMAM=PFAE]，則兩斜線段比轉(zhuǎn)化成兩直線段比，與點(diǎn)P的坐標(biāo)成功對(duì)接.利用待定系數(shù)法可求得[yBC=12x-3]，∴AE = 4. 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為[t， 14t2-t-3]，則點(diǎn)F坐標(biāo)為[t，? 12t-3]，

∴[PMAM=PFAE=12t-3-14t2-t-34] = [-116t2+38t] = [-116（t-3）2+916].

可得當(dāng)[PMAM]最大時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為[3，-154]，[PMAM]的最大值為[916].

二、核心步驟：Rt△BCD存在性問(wèn)題

（一）梳理題目：明確待求點(diǎn)滿足的全部條件，點(diǎn)D在定直線x = 3上，點(diǎn)D為直角三角形頂點(diǎn).

（二）分類討論：△BCD為直角三角形，未明確直角或斜邊，需分三種情況討論，即∠CBD = 90°，∠BCD = 90°，∠BDC = 90°.

（三）作圖探究：

1.如圖3，當(dāng)∠CBD = 90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作直線BC的垂線交直線x = 3于點(diǎn)D（記為D1），即可構(gòu)造出Rt△CBD1.

2.如圖4，當(dāng)∠BCD = 90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作直線BC的垂線交直線x = 3于點(diǎn)D（記為D2），即可構(gòu)造出Rt△BCD2.

3.根據(jù)“直徑所對(duì)圓周角為直角”這一推論可找到直角三角形的直角頂點(diǎn)，即∠BDC = 90°.如圖5，以邊BC中點(diǎn)為圓心，[12]BC長(zhǎng)為半徑作圓，與直線x = 3的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D，此時(shí)滿足條件的直角頂點(diǎn)有兩個(gè)（記為D3，D4），即可構(gòu)造出Rt△BD3C和Rt△BD4C.

[y][x][B][A][O][C][P][D2] [l][D4][B][x][y][l][D3][O][A][P][C] [O][A][C][P][B][x][y][l][D1][圖3][圖5][圖4]

以上作圖方法可總結(jié)為：已知直角邊作垂線得直角三角形；已知斜邊作圓得直角三角形，簡(jiǎn)稱“兩線一圓”.

（四）求解坐標(biāo)：設(shè)D（3，t）.

1.幾何法：利用直角三角形相似列比例式求解.

（1）如圖6，當(dāng)∠CBD1 = 90°時(shí)，構(gòu)造“一線三垂直”模型，則△BMC ∽ △D1NB.

∴[BMD1N=MCNB]，即[33=6t]，解得[t=6]，經(jīng)檢驗(yàn)[t=6]是所列方程的根，且符合題意，所以點(diǎn)D1的坐標(biāo)為（3，6）.本情況中由于邊長(zhǎng)的特殊性，相似三角形恰好全等，此時(shí)△BCD為等腰直角三角形.

（2）當(dāng)∠BCD2 = 90°時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們嘗試用上面學(xué)過(guò)的幾何法獨(dú)立完成. 相信你，一定行！

（3）如圖7，當(dāng)∠BD3C = 90°時(shí)，構(gòu)造“一線三垂直”模型，則△CSD3∽△D3TB.

∴[CSD3T=SD3TB]，即[3+t3=3t]，解得[t1=-3+352]，[t2=-3-352]，經(jīng)檢驗(yàn)[t1=-3+352]，[t2=-3-352]是所列方程的根，符合題意，由于圖7中點(diǎn)D3在第一象限，所以點(diǎn)D3的坐標(biāo)為[3，-3+352]. 但[t2=-3-352]真的就要被無(wú)情舍掉嗎？D3和D4有怎樣的關(guān)系呢？你能求出D4的坐標(biāo)嗎？勇敢地應(yīng)戰(zhàn)吧！

（特殊方法：由于l恰好過(guò)BC中點(diǎn)，也可以利用“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”求解.）

2.代數(shù)法：利用勾股定理列方程求解

如圖8，構(gòu)造△BCD三邊所在直角三角形，盲解盲算即可.

（1）表示出三邊平方：[BD2=32+t2]，[BC2=62+32]，[CD2=32+（3+t）2]. 分類討論列方程：

①當(dāng)∠DBC = 90°時(shí)，[BD2+BC2=CD2]，即[32+t2+62+32=32+（3+t）2]；

②當(dāng)∠BCD = 90°時(shí)，[CD2+BC2=BD2]，即[32+（3+t）2+62+32=32+t2]；

③當(dāng)∠CDB = 90°時(shí)，[CD2+BD2=BC2]，即[32+（3+t）2+32+t2=62+32].

（2）解方程并檢驗(yàn)：①解得[t=6]，②解得[t=-9]，③解得[t=-3±352]. 請(qǐng)同學(xué)們自己寫出每種情況下點(diǎn)D的坐標(biāo).

日積月累

解二次函數(shù)背景下的直角三角形存在性問(wèn)題，分類討論是前提，作圖探究是關(guān)鍵. 解決問(wèn)題有通法，選擇最優(yōu)方法有智慧.通用解題方法如下：

1.幾何法：構(gòu)造“一線三垂直”模型，根據(jù)相似三角形性質(zhì)列比例式求解.等腰直角三角形存在性問(wèn)題屬于直角三角形存在性問(wèn)題的特例，此時(shí)“一線三垂直”模型中的相似三角形為一對(duì)全等三角形.

2.代數(shù)法：先求出三邊長(zhǎng)或其平方，再根據(jù)勾股定理分類列方程，最后解方程并檢驗(yàn)．

3.解析法：利用兩垂直直線斜率積為-1，求直線關(guān)系式，再求解交點(diǎn)坐標(biāo).

（作者單位：沈陽(yáng)市于洪區(qū)教育研究中心）