建坐標(biāo)系法解一類中考題
2022-05-30 10:48:04沈建新
數(shù)理天地(初中版) 2022年11期
沈建新
【摘要】 同一類型的題雖然從表面上看，條件、結(jié)論都不同，但其有共同的解題思路、技巧與方法，我們把這樣一類題歸并在一起講解，可以提高學(xué)生的綜合與歸納能力，并使知識(shí)系統(tǒng)化.本文以建直角坐標(biāo)系法為例，多題一法，試用2021年浙江省若干中考題來(lái)進(jìn)行闡釋，與大家分享.
【關(guān)鍵詞】 建直角坐標(biāo)系;多題一法;平面上兩點(diǎn)間的距離公式
例1 如圖1，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=3.若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為（? ）
（A）33.?? （B）32.
（C） 1.（D）62.
解 如圖2，以D為原點(diǎn)建直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中信息分析可得
AD=BD=3，CD=1，
所以可得A（0，3），B（-3，0），C（1，0），
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式可得E-32，32，F(xiàn)-3+12，0，再根據(jù)平面上兩點(diǎn)間的距離公式得
EF=-3+12--322+0-322
=14+34=1，
故選（C）.
例2 如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，點(diǎn)D在AC上，且AD=2，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F，G分別是BC和DE的中點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，當(dāng)AG=FG時(shí)，線段DE長(zhǎng)為（? ）
（A）13.? （B）522.（C）412.（D） 4.
解 如圖4，以A為原點(diǎn)建直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中信息分析可得B（5，0），C（0，5），D（0，2），設(shè)E（x，0），因?yàn)辄c(diǎn)F，G分別是BC和DE的中點(diǎn)，所以可得
F52，52，Gx2，1.
因?yàn)锳G=FG，
所以可列方程
x2-02+（1-0）2
=x2-522+1-522，
解得x=3，
所以E（3，0），易得DE=22+32=13，
故選（A）.
例3 由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形ABCD如圖5所示.過(guò)點(diǎn)D作DF的垂線交小正方形對(duì)角線EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接CG，延長(zhǎng)BE交CG于點(diǎn)H.若AE=2BE，則CGBH的值為（? ）
（A）32.??? （B）2.
（C）3107.（D）355.
解 如圖6，以B為原點(diǎn)建直角坐標(biāo)系，由題意可設(shè)BE=x，則AE=2x，AB=5x，易得BE=AP=DF=CN=x，小正方形PENF邊長(zhǎng)也等于x，大正方形ABCD邊長(zhǎng)為5x.因?yàn)椤螾FE=∠DFG=45°，易得△DFG為等腰直角三角形，所以DG=DF=x.過(guò)點(diǎn)G作GM⊥CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
易得∠GDM=∠ADP，
且∠M=∠APD=90°，
所以△GDM∽△ADP，
得DGAD=GMAP=DMDP，
即x5x=GMx=DM2x，
求得GM=5x5，DM=25x5，
故可得G45x5，75x5，
因?yàn)镃（5x，0），
所以CG=45x5-5x2+75x52
=10x.
因?yàn)镕N=CN=x，
所以N為CF中點(diǎn)，
又因?yàn)镻Q∥EH，
易得NH為△CFQ中位線，
所以FQ=2NH，
又因?yàn)镕G=EF=2x，
即F為EG中點(diǎn)，
且FQ∥EH，
所以FQ為△EGH中位線，
所以EH=2FQ，
得EH=4NH，
所以EN=3NH，
即NH=13x，
所以BH=73x，
所以CGBH=10x73x=3107，
故選（C）.
例4 由沈康身教授所著，數(shù)學(xué)家吳文俊作序的《數(shù)學(xué)的魅力》一書中記載了這樣一個(gè)故事：如圖7，三姐妹為了平分一塊邊長(zhǎng)為1的祖?zhèn)髡叫蔚靥海葘⒌靥悍指畛善邏K，再拼成三個(gè)小正方形（陰影部分），則圖中AB的長(zhǎng)應(yīng)是.
解 如圖8，建直角坐標(biāo)系，由題意得三個(gè)小正方形（陰影部分）的面積為1，則每個(gè)小正方形的面積為13，可得ED=33.
在Rt△ODE中，由勾股定理可得
OE=63.
易得△ODE∽△OCD，
所以O(shè)EOD=DECD，
即631=33CD，
求得CD=22，
所以C1，22，
易得直線OC解析式為y=22x，
所以可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1），繼而可求得
AB=2-1.
