含有參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題

張小華

【摘要】含有參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題是高中數(shù)學(xué)的一類重點(diǎn)問題，這類題型經(jīng)常與函數(shù)、方程，圖象等相關(guān)知識(shí)綜合.在此，我結(jié)合以下實(shí)例，談?wù)劷鉀Q含有參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題的幾種方法.

【關(guān)鍵詞】子集法;值域法;降次法

含有參數(shù)的一元二次不等式的恒成立問題把“三個(gè)二次”有機(jī)地結(jié)合起來，在解決這類問題的過程中，我們經(jīng)常會(huì)讓一元二次函數(shù)，一元二次方程，一元二次不等式相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化過程中又要涉及到一元二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，二元二次方程的圖象等問題.本文就探討這類問題的幾種求解方法.

1 二次函數(shù)圖象法

含有參數(shù)的一元二次不等式在R上的恒成立問題，可以轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)圖象與橫軸沒有交點(diǎn)的問題來求解.這個(gè)方法我們可稱之為二次函數(shù)圖象法.

（1）ax2+bx+c>0（a≠0）恒成立的充要條件是a>0，Δ=b2-4ac<0.

（1）ax2+bx+c<0（a≠0）恒成立的充要條件是a<0，Δ=b2-4ac<0.

例1 若不等式（a-3）x2+2（a-3）x-5<0對(duì)一切x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 當(dāng)a-3=0即a=3時(shí)，不等式為-5<0對(duì)一切x∈R恒成立.

當(dāng)a≠3時(shí)，y=（a-3）x2+2（a-3）x-5的圖象開口向下，且與x軸沒有交點(diǎn)

則a-3<0Δ=4（a-3）2+20（a-3）<0

即a<3-2

所以 實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，3]

現(xiàn)在我們利用二次函數(shù)圖象來解決一個(gè)不等式在實(shí)數(shù)集上的恒成立問題

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式mx2+mx+1>0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

解析 當(dāng)m=0時(shí)，不等式為1>0對(duì)一切x∈R恒成立.

當(dāng)m≠0時(shí)，y=mx2+mx+1的圖象開口向上，且與x軸沒有交點(diǎn)

由m>0Δ=m2-4m<0，解得0

綜上，m的取值范圍是[0，4）

2 分類討論求二次函數(shù)最值

一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題，由于含有參數(shù)，不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸往往不固定，這個(gè)時(shí)候我們可以分類討論，利用函數(shù)最值求參數(shù)的取值范圍.

其一般類型是f（x）=ax2+bx+c（a>0）

f（x）≥m（m為具體實(shí)數(shù)）恒成立f（x）min≥m

例2 g（x）=x2+2ax+12，當(dāng)x∈[-2，3]時(shí)，g（x）≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范

解析 對(duì)于任意x∈[-2，3]，g（x）≥a恒成立.

即x2+2ax+12-a≥0對(duì)任意x∈[-2，3]恒成立，

令f（x）=x2+2ax+12-a.f（x）圖象的對(duì)稱軸是x=-a

則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[-2，3]，f（x）min≥0

則有①-a≤-2f（x）min=f（-2）=16-5a≥0

或②-2<-a<3f（x）min=f（-a）=-a2-a+12≥0

或③-a≥3f（x）min=f（3）=5a+21≥0

解①得2≤a≤165

解② 得-3

解③ 得-215≤a≤-3

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-215，165]

現(xiàn)在我們用分類討論求二次函數(shù)最值的方法來解決一個(gè)給定區(qū)間上的恒成立問題

若x∈[-3，2]時(shí)，不等式x2+ax+8≥a恒成立，求參數(shù)a的取值范圍

解析 令f（x）=x2+ax+8-a， f（x）圖象的對(duì)稱軸是x=-a2

則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[-3，2]時(shí)，f（x）min≥0

則有

①-a2≤-3f（x）min=f（-3）=17-4a≥0

或②

-3<-a2<2f（x）min=f（-a2）=-a24-a+8≥0

或③

-a2≥2f（x）min=f（2）=a+12≥0

解① 得a不存在

解② 得-4

解③ 得-12≤a≤-4

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-12，4]

3 子集法

f（x）=ax2+bx+c（a>0），若f（x）<0在給定區(qū)間（m，n）上恒成立，則區(qū)間（m，n）是不等式 f（x）<0的解集的子集，則有f（m）<0f（n）<0，這個(gè)方法我們可稱之為子集法.

例3 若對(duì)任意的x∈[-2，6]，都有x2-3x+a≤0（a為常數(shù)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 令f（x）=x2-3x+a，則由題意得，

f（-2）=（-2）2-3×（-2）+a≤0f（6）=62-3×6+a≤0，

解得a≤-18

現(xiàn)在我們用子集法來解決一個(gè)給定區(qū)間上的恒成立問題

已知函數(shù)f（x）=x2-3ax-2+a，a∈R.對(duì)于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 因?yàn)閒（x）-a=x2-3ax-2，則x∈[0，2]，f（x）≤a成立，

只要x2-3ax-2≤0在[0，2]上恒成立

令g（x）=x2-3ax-2，則只要g（x）≤0在[0，2]上恒成立即可.

所以g（0）≤0，g（2）≤0，即0-0-2≤0，4-6a-2≤0，

解得a≥13.

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[13，+∞）.

4 值域法

所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與不含參數(shù)的二次函數(shù)分離于不等式兩端，問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域，然后求出參數(shù)范圍，這個(gè)方法可稱之為值域法.

一般地有：①a>f（x）（a為參數(shù)）恒成立a>f（x）max

② a

例4 已知函數(shù)f（x）=lg（x+ax-3），若對(duì)任意x∈[3，+∞）恒有f（x）>0，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 f（x）>0即f（x）=lg（x+ax-3）>lg1，則x+ax-3>1，

對(duì)任意x∈[3，+∞）恒有f（x）>0可等價(jià)轉(zhuǎn)化為x+ax-3>1在x∈[3，+∞）上恒成立，

即 a>-x2+4x在x∈[3，+∞）上恒成立，

設(shè)g（x）=-x2+4x，則g（x）=-（x-2）2+4，

當(dāng)x=3時(shí)，g（x）max=3，所以a>3

現(xiàn)在我們用值域法求解例3中的參數(shù)取值范圍.

若對(duì)任意的x∈[-2，6]，都有x2-3x+a≤0（a為常數(shù)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 當(dāng)x∈[-2，6]時(shí)，不等式x2-3x+a≤0恒成立等價(jià)于a≤-x2+3x恒成立，則由題意得a≤（-x2+3x）min（x∈[-2，6]）.而-x2+3x=-（x-32）2+94，則當(dāng)x=6時(shí)，

（-x2+3x）min=-18，所以a≤-18

5 降次法

當(dāng)不等式是關(guān)于a，x的二次不等式，所求的變量x在給出的不等式中最高次數(shù)也是二次，變量a在給出的不等式中最高次數(shù)是一次且其范圍已知，此時(shí)可以把不等式當(dāng)作關(guān)于a的一次不等式，使問題降次，轉(zhuǎn)化為一次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題.一次不等式恒成立問題又可轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的問題.這個(gè)方法可稱之為降次法.

關(guān)于a的一次函數(shù)f（a）=ka+b（k≠0）在[m，n]上恒有f（a）>0的充要條件為f（m）>0f（n）>0

關(guān)于a的一次函數(shù)f（a）=ka+b（k≠0）在[m，n]上恒有f（a）<0的充要條件為f（m）<0f（n）<0

例5 對(duì)任意a∈[-1，1]，不等式x2+（a-5）x+5-3a>0，求x的取值范圍.

分析 題中的不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，問題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一次不等式（x-3）a+x2-5x+5>0在a∈[-1，1]上恒成立的問題.

解析 令f（a）=（x-3）a+x2-5x+5，則原問題轉(zhuǎn)化為f（a）>0恒成立（a∈[-1，1]）.

當(dāng)x=3時(shí)，可得f（a）<0，不合題意.

當(dāng)x≠3時(shí)，應(yīng)有f（1）>0f（-1）>0

解之得x<2-2或x>4

所以x的取值范圍為（-∞，2-2）∪（4，+∞）

現(xiàn)在我們用降次法求解一元二次不等式的恒成立問題.

若不等式5x-2>a（3x2-1）對(duì)滿足a≤2的所有a都成立，求x的取值范圍.

解析 原不等式可轉(zhuǎn)化為a（3x2-1）-（5x-2）<0

令f（a）=a（3x2-1）-（5x-2），對(duì)滿足a≤2的a，f（a）<0恒成立，

當(dāng)x=-33時(shí)，可得f（a）>0 不合題意.

當(dāng)x=33時(shí)，可得f（a）<0 合題意.

當(dāng)x≠±33應(yīng)有 f（-2）<0f（2）<0

所以-2（3x2-1）-（5x-2）<02（3x2-1）-（5x-2）<0

解得12

綜上 x的取值范圍是（12，56）

6 函數(shù)圖象位置關(guān)系法

有的時(shí)候給出的不等式帶有二次根號(hào)，被開方式是一個(gè)關(guān)于x的二次式，用代數(shù)方法解決這類恒成立問題行不通，這個(gè)時(shí)候我們可以考慮不等式相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)函數(shù)，通過函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系得出參數(shù)的取值范圍.用得較多的位置關(guān)系是直線與半圓的位置關(guān)系.

直線與半圓相切圓心到直線的距離d=r

直線與半圓相離圓心到直線的距離d>r

例6 關(guān)于x的不等式-x2-4x≤512x+1-a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析 令 f（x）=-x2-4x，g（x）=512x+1-a，則問題轉(zhuǎn)化為f（x）≤g（x）恒成立

結(jié)合函數(shù)圖象，如圖1所示，

f（x）的圖象是半圓（x+2）2+y2=4（y≥0）

g（x）的圖象是直線5x-12y+12-12a=0，

當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離

d=5×（-2）+12-12a52+（-12）2=2，

解得a=-2或a=73

因?yàn)閒（x）≤g（x）恒成立，所以直線在半圓的上方或直線與半圓相切，所以a≤-2，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]

現(xiàn)在我們用函數(shù)圖象位置關(guān)系法來解決一個(gè)與二次不等式有關(guān)的恒成立問題.

關(guān)于x的不等式4-x2<3x+b恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍

解析 令 f（x）=4-x2，g（x）=3x+b

結(jié)合函數(shù)圖象，如圖2所示，

f（x）的圖象是半圓x2+y2=4（y≥0）

g（x）的圖象是直線3x-y+b=0

當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離d=b32+（-1）2=2 解得b=±210.

因?yàn)間（x）>f（x）恒成立，所以直線在半圓的上方，所以b>210，

即實(shí)數(shù)b的取值范圍是（210，+∞）

總之，含有參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題涉及不等式，方程，函數(shù)，以及函數(shù)圖象等知識(shí)點(diǎn)，解決方法因題而異，各種方法之間有一個(gè)共同的特點(diǎn)，那就是將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，使含參數(shù)的不等式問題明朗化，進(jìn)而得到解決.