一道中考圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的探索與思考

張行軍

“圖形的旋轉(zhuǎn)”是“新課程標(biāo)準(zhǔn)”中明確規(guī)定的重要內(nèi)容之一.近年來(lái)，在各地的中考試卷中，圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題都放在了重要的位置上.對(duì)于這類問(wèn)題，學(xué)生思考時(shí)通常有些困難，對(duì)于教師而言，如何在解題實(shí)踐中合理、有效地利用圖形旋轉(zhuǎn)來(lái)教學(xué)，都是需要探索與思考的問(wèn)題.下面以2021年蘇州的一道中考題填空壓軸題為例談?wù)剮追N解決圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的探索與思考.

原題呈現(xiàn)如圖1，射線OM，ON互相垂直，OA=8，點(diǎn)B位于射線OM的上方，且在線段OA的垂直平分線l上，連接AB，AB=5.將線段AB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段A′B′，若點(diǎn)B′恰好落在射線ON上，則點(diǎn)A′到射線ON的距離d=.

1 利用點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形

分析 問(wèn)題要求點(diǎn)A′到射線ON的距離d？從點(diǎn)的角度來(lái)思考，求出點(diǎn)A′到射線ON的垂線段的長(zhǎng)度即可.因此可以過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥ON交ON于點(diǎn)H，求線段A′H的長(zhǎng).如何求A′H的長(zhǎng)呢？容易想到勾股定理，那就要尋找或構(gòu)造直角三角形，可發(fā)現(xiàn)Rt△A′OH和Rt△A′B′H.結(jié)合題目點(diǎn)A′是由點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)而來(lái)的，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA′=OA，從而連接OA′、OB，利用雙勾股定理即可求解.

解 過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥ON交ON于點(diǎn)H，連接OA′、OB.

因?yàn)镺A=8，AB=5，

BC是OA的垂直平分線，

所以O(shè)B=AB=5，

因?yàn)榫€段AB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段A′B′，

所以O(shè)A′=OA=8，

OB′=OB=5.

設(shè) B′H= x，則OH=5+x，

在Rt△OA′H和Rt△B′A′H中，

A′H2=A′O2-OH2=A′B′2-B′H2，

即82-（5+x）2=52-x2.

解得x=75，

所以A′H=52-752=245，

即點(diǎn)A′到射線ON的距離為245.

注 此類解法關(guān)鍵抓住點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)來(lái)思考.圖形的旋轉(zhuǎn)把條件弱化就是點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，然后根據(jù)點(diǎn)的位置特征，來(lái)求點(diǎn)到直線的距離.

2 利用線段轉(zhuǎn)化，構(gòu)造相似三角形

分析 問(wèn)題要求點(diǎn)A′到射線ON的距離d，從線段來(lái)思考，線段AB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段A′B′，要求距離就是求線段A′H的長(zhǎng).根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知圖形上的每個(gè)點(diǎn)同時(shí)都按相同方式轉(zhuǎn)動(dòng)相同的角度，即任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的夾角都是旋轉(zhuǎn)角，圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度.利用角度相等可構(gòu)造相似三角形來(lái)解決，即

△OA′H∽△OBC.

解 過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥ON交ON于點(diǎn)H，連接OA′、OB.

因?yàn)镺A=8，AB=5，

OA的垂直平分線記為BC，其中C是BC與OA的交點(diǎn)，

所以O(shè)B=AB=5，

OC=OA=4，

所以BC=3，

因?yàn)榫€段AB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段A′B′，

所以O(shè)A′=OA=8，

∠AOA′=∠BOB′，

所以∠HOA′=∠COB，

因?yàn)椤螼HA′=∠OCB，

所以△OA′H∽△OBC.

所以A′HBC=OA′OB，

即A′H3=85，

所以A′H =245，

即點(diǎn)A′到射線ON的距離為245.

注 此類解法關(guān)鍵抓住線段的旋轉(zhuǎn)來(lái)思考.圖形的旋轉(zhuǎn)看成線段的旋轉(zhuǎn)，從而從線段的角度進(jìn)行思考，利用旋轉(zhuǎn)角度相等，構(gòu)造相似三角形或利用三角函數(shù)都可求得線段的長(zhǎng).

3 利用面的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造全等三角形

分析 問(wèn)題要求點(diǎn)A′到射線ON的距離d，從面的角度來(lái)思考，即整體思考，不難發(fā)現(xiàn)△OA′B′≌△OAB.求線段A′H的長(zhǎng)，這時(shí)發(fā)現(xiàn)A′H為△OA′B′的高，由于△OAB的面積已經(jīng)確定，由此可利用等積法求得線段A′H的長(zhǎng).

解 過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥ON交ON于點(diǎn)H，連接OA′，OB.

因?yàn)镺A=8，AB=5，

OA的垂直平分線記為BC，其中C是BC與OA的交點(diǎn)，所以O(shè)B=AB=5，

OC=OA=4，

所以BC=3，

因?yàn)榫€段AB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段A′B′，

所以△OA′B′由△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到.

所以△OA′B′≌△OAB，

所以S△OA′B′=S△OAB.

因?yàn)镾△OA′B′=12×OA×BC=12×8×3=12，

所以S△OAB=12×OB′×A′H=12×5×A′H=12，

所以A′H=245，

即點(diǎn)A′到射線ON的距離為245.

注 此類解法關(guān)鍵抓住圖像的整體旋轉(zhuǎn)來(lái)思考.圖形的旋轉(zhuǎn)看成面的整體旋轉(zhuǎn)，從而利用旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀（即旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形是全等圖形），利用全等圖形的面積相等來(lái)解決問(wèn)題.

4 利用整體觀察，構(gòu)造矩形

分析 問(wèn)題要求點(diǎn)A′到射線ON的距離d，從整體的角度來(lái)思考，求線段A′H的長(zhǎng)，可以通過(guò)轉(zhuǎn)化線段A′H來(lái)實(shí)現(xiàn).此可想整體圖形的旋轉(zhuǎn)應(yīng)該處處全等，利用三角函數(shù)，構(gòu)造矩形可得線段A′H的長(zhǎng).

解 設(shè)OA的垂直平分線與OA交于C，將線段AB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段A′B′，C隨之旋轉(zhuǎn)到C′，過(guò)A′作A′H⊥ON于H，過(guò)C′作C′D⊥ON于D，過(guò)A′作A′E⊥DC′于E，如圖3.

因?yàn)镺A=8，AB=5，

BC是OA的垂直平分線，

所以O(shè)B=5，

OC=AC=4，BC=3，

cos∠BOC=OCOB=45，

sin∠BOC=BCOB=35，

因?yàn)榫€段AB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段A′B′，C隨之旋轉(zhuǎn)到C′，

所以B′C′=BC=3，

A′C′=AC=4，

∠BOC=∠B′OC′，

因?yàn)椤螧′C′D=∠B′C′O-∠DC′O

=90°-∠DC′O

=∠B′OC′=∠BOC，

所以cos∠B′C′D=45，

Rt△B′C′D中，C′DB′C′=45，

即C′D3=45，

所以C′D=125，

因?yàn)锳E∥ON，

所以∠B′OC′=∠C′A′E，

所以sin∠C′AE=sin∠B′OC′=sin∠BOC=35，

Rt△A′C′E中，C′EA′C′=35，

即C′E4=35，

所以C′E=125，

所以DE=C′D+C′E=245，

而A′H⊥ON，C′D⊥ON，A′E⊥DC′，

所以四邊形A′EDH是矩形，

所以A′H=DE，

即A′到ON的距離是245.

注 這類解法綜合性比較強(qiáng)，需要用到圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)來(lái)思考，從整體角度來(lái)思考.抓住旋轉(zhuǎn)的特征，線段的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新的圖形來(lái)解決.

5 反思與收獲

通過(guò)上面的幾種解法，我們不難發(fā)現(xiàn)幾種解法各有千秋，關(guān)鍵是思考的角度不同帶來(lái)的解法不同.對(duì)于圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題我們可以試著從微觀點(diǎn)的方向開始思考，再到宏觀整體思考來(lái)解決問(wèn)題，思考方向是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的突破口.在教學(xué)過(guò)程中，教師要善于抓住圖形旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)特征，幫助學(xué)生尋找突破口，掌握正確的解題方法和途徑.充分利用變式訓(xùn)練，挖掘圖形旋轉(zhuǎn)的不變性，培養(yǎng)學(xué)生類比遷移、觸類旁通的數(shù)學(xué)能力、拓展學(xué)生的思維空間，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神.