滲透數學思想凸顯數學核心素養(yǎng)

李敏

【摘?要】??數學核心素養(yǎng)是數學學習的精髓，是學生通過數學學習而逐步獲得的數學思維方式、數學關鍵能力及通過數學活動養(yǎng)成的健全人格.數學素養(yǎng)的核心是數學思維，而數學思想是數學思維的先導和工具，孕育在數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)之中.本文以2021年高考三角函數試題為例，介紹數學思想在三角函數中的運用及數學核心素養(yǎng)的體現，希望對該部分的復習備考有一定的幫助.

【關鍵詞】??數學思想;數學核心素養(yǎng);高考

1?轉化與化歸思想

運用轉化與化歸思想可以起到鞏固舊知理解新知的效果，其本質是轉化矛盾，變更問題.也就是把一個不太熟悉的未知問題通過某種手段變成可用自己所學知識解決問題的過程.常見的三角函數的轉化有：抽象函數向具體函數的轉化、特殊函數向一般函數的轉化、多個三角函數向同一函數的轉化、等價轉化. 此外，像由未知角向已知角、統一三角函數名、降低三角函數公式的次數等也都是對三角恒等變換化簡求值常用的處理手段.

例1???（北京卷·14）.若點P（?cos?θ，?sin?θ）與點Q（?cos?（θ+??π??6?），?sin?（θ+??π??6?））關于y軸對稱，寫出一個符合題意的θ=?.

解析???由題意可得?cos?θ=-?cos?（θ+??π??6?），?sin?θ=?sin?（θ+??π??6?），

所以?cos?θ=-?cos?θ?cos???π??6?+?sin?θ?sin???π??6?，?sin?θ=?sin?θ?cos???π??6?+?cos?θ?sin???π??6?，

兩式相加得：?cos?θ+?sin?θ=（?cos?θ+?sin?θ）?sin???π??6?+（?sin?θ-?cos?θ）?cos???π??6?，

得??sin?θ+?cos?θ??sin?θ-?cos?θ?=?3?，即?1+?tan?θ?1-?tan?θ?=?tan?（??π??4?+θ）=?tan?（-??π??3?），

所以??π??4?+θ=-??π??3?+k?π?，k∈?Ζ?.可令k=1，則θ=?5?12??π?.

點睛???本題還可以從三角函數定義的角度結合兩點關于y軸對稱這個條件得到直接兩個角之間的關系，即θ+θ+??π??6?=?π?+2k?π?，k∈?Z?;解答本題時需進行巧妙的轉化，數學運算和邏輯推理這兩種數學素養(yǎng)的考查不言而喻.

2?數形結合思想

數與形是對立統一的兩個方面.數形結合思想是通過數形轉化實現抽象數量關系與圖形、抽象思維與形象思維有機結合的一種思想方法.比如，我們常常用三角函數線求解三角等式問題;在涉及到三角函數與某一初等函數交點問題時，常將其性質和圖象特征與函數的圖形聯系起來，進而將形的問題和代數問題巧妙結合.

例2???（全國甲卷·文15）已知函數f（x）=2?cos?（ωx+φ）的部分圖像如圖所示，則f（??π??2?）=?.

解析???由題意可得：?3?4?T=?13?π??12?-??π??3?=?3?π??4?，所以T=?π?，ω=?2?π??T?=2，

當x=?13?π??12?時，ωx+φ=2×?13?π??12?+φ=2k?π?，所以φ=2k?π?-?13?π??6?（k∈?Z?），

令k=1，可得φ=-??π??6?，

所以f（x）=2?cos?（2x-??π??6?），

所以f（??π??2?）=2?cos?（2×??π??2?-??π??6?）

=2?cos??5?π??6?=-?3?.

點睛 ??此題難度不高，主要考查了直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)，牢牢記住解析式的求法是關鍵.

3?函數與方程思想

三角函數的本質是圓函數，其性質是圓函數的代表.因此，通過函數觀點來分析三角函數的相關問題有助于抓住主變量，把握問題的本質.其中，該思想最直接的應用體現就是通過消元法求解三角函數的值.此外，對于含參三角函數的方程問題也可以通過該思想轉化為函數的最值問題.函數也是連接方程與不等式的關鍵一環(huán)，在高考試題中函數與方程思想在主客觀題中都有考查.

例3???（北京卷·7） .已知函數f（x）=?cos?x-?cos?2x，則該函數（??）

（?A?）奇函數，最大值為2.

（?B?）偶函數，最大值為2.

（?C?）奇函數，最大值為?9?8?.

（?D?） 偶函數，最大值為?9?8?.

解析???因為f（-x）=?cos?（-x）-?cos?（-2x）=?cos?x-?cos?2x=f（x），所以f（x）是偶函數.

因為?cos?2x=2??cos???2x-1，所以f（x）=-2??cos???2x+?cos?x+1，

令?cos?x=t，則f（t）=-2t?2+t+1，t∈[-1，1]，當且僅當t=?1?4?，f（x）取得最大值，故選?D?.

點睛???本題建立在余弦函數為背景的基礎上側重考查函數的奇偶性和最值.其中在判斷奇偶性時，可直接利用偶函數的性質：偶+偶=偶;在求函數最值時一定要考慮自變量的取值范圍，這里?cos?x∈[-1，1].

例4???（上海卷·15）已知f（x）=3?sin?x+2，對任意的x?1∈[0，??π??2?]都存在x?2∈[0，??π??2?]使得f（x?1）+2f（x?2+θ）=3成立，則θ的可能取值為（??）

（?A?） ?3?π??5?.??（?B?） ?4?π??5?.???（?C?） ?6?π??5?.?（?D?） ?7?π??5?.

點睛???這道題實質是在求三角函數的值域，通過關鍵詞“任意”“存在”與方程構建了以集合間關系為解題的“切入點”.原問題可結合f（x?1）的取值等價轉化成：當x?2∈[0，??π??2?]時，即x?2+θ∈[θ，θ+??π??2?]，?sin?（x?2+θ）取遍[-1，-?1?2?]上所有的數，所以一定存在整數k，

使得：[2k?π?+?7?6??π?，2k?π?+?3?2??π?][θ，θ+??π??2?]或者[2k?π?+?3?2??π?，2k?π?+?11?6??π?][θ，θ+??π??2?].

最后根據求解的θ的范圍發(fā)現只有?D?符合要求.

4?整體思想和分類討論思想

整體思想在三角函數問題應用最多的是整體換元，比如可利用同角三角函數的關系式進行降次或萬能代換公式轉化為代數運算. 在研究正弦型函數時，常把它看做一個整體進行處理.分類討論是通過將相似問題分類，實現縮小解題范圍和化繁為簡解決問題的目的.其中在分類時應做到：不發(fā)生遺漏、不重復分類、標準統一且在所給范圍內分類，在分完類討論各種情況后要注意整合，即有分有合，先分后合.

例5???（新高考Ⅰ卷·19）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b?2=ac，點D在邊AC上， BD?sin?∠ABC=a?sin?C.

（1）證明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求?cos?∠ABC·

解析???（1）因為BD?sin?∠ABC=a?sin?C，所以由正弦定理得，BD·b=ac，

又因為b?2=ac，所以BD·b=b?2，又b>0，所以BD=b.

（2）由題知，AD=?2?3?b，CD=?1?3?b，BD=b，

所以?cos?∠ADB=??4?9?b?2+b?2-c?2?2·?2?3?b·b?=??13?9?b?2-c?2??4?3?b?2?，?cos?∠BDC=??1?9?b?2+b?2-a?2?2·?1?3?b·b?=??10?9?b?2-a?2??2?3?b?2?.

因為?cos?∠ADB+?cos?∠BDC=0，所以化簡整理得13b?2-9c?2+20b?2-18a?2=0，

即3c?2+6a?2-11ac=0，方程兩邊同時除以a?2，得3?（?c?a?）??2-11（?c?a?）+6=0，

解得?c?a?=?2?3?或?c?a?=3.

當?c?a?=?2?3?，即c=?2?3?a時， ?cos?∠ABC=?a?2+c?2-b?2?2ac?=?a?2+c?2-ac?2ac?=?7?12?，

當?c?a?=3，即c=3a時， ?cos?∠ABC=?a?2+c?2-b?2?2ac?=?a?2+c?2-ac?2ac?=?7?6?>1 （舍去）.

綜上：?cos?∠ABC=?7?12?.

點睛???第（1）問考查正弦定理中的“角化邊”的應用，第（2）問考查余弦定理，突破點在于：?cos?∠ADB+?cos?∠BDC=0，化簡得出關于a，c的式子，然后構造?c?a?并把它看作一個整體，進而得出兩者之間的關系，最后根據情況討論.

5?建模思想

建模思想簡言之就是運用數學知識和思想方法，通過建立相關數學模型將現實問題不斷抽象化的過程，進而實現問題求解的思想.三角函數問題的解決，同樣可以通過建模來完成.運用建模思想，可以把具體數據轉化在圖形上，分析解決圖形的過程就能夠解決三角函數的問題.

例6????（全國甲卷·理8） 2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投A′，B′，C′滿足∠A′C′B′=45?°?，∠A′B′C′=60?°?.由C點測得B點的仰角為15?°?，BB′與CC′的差為100;由A點測得B點的仰角為45?°?，則A，C兩點到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′約為（??）（?3?≈1.732）.

（?A?） 346.?（?B?）373.?（?C?）446.?（?D?）473.

解析???過C作CH⊥BB′，過B作BD⊥AA′;故AA′-CC′=AA′-（BB′-BH）=AA′-BB′+100，

由題易知△ADB為等腰直角三角形，所以AD=DBAA′-CC′=DB+100=A′B′+100，

因為∠BCH=15?°?，所以CH=C′B′=?100??tan?45?°??.

在△A′B′C′ 中，由正弦定理得： ?A′B′??sin?45?°??=?C′B′??sin?75?°??=?100??tan?15?°??cos?15?°??=?100??sin?15?°??，

而?sin?15?°?=?sin?（45?°?-30?°?）

=?sin?45?°??cos?30?°?-?cos?45?°??sin?30?°?=??6?-?2??4??，

所以A′B′=?100×4×??2??2???6?-?2??=100（?3?+1）≈273，所以AA′-CC′=A′B′+100≈373.

點睛???本題以生活實踐情境—三角高量程測量法為載體，以正余弦定理為工具，還原了解三角形知識的綜合應用過程.成功作答突破口在于將AA′-CC′的長度通過作相關輔助線的方式轉化為A′B′+100，進而放到一個三角形中來解答.通過這道來源于生活的數學問題顯示了對數學運算、數學建模等素養(yǎng)的考查.

以上這六種思想都是三角函數學習過程中需掌握的，且是高考考查的熱點.數學思想滲透在三角函數解題的方方面面，只有在實踐中多練多想，結合三角函數自身總結相應的解題技巧或解題模式，才能進一步提高自己的數學思維水平和關鍵能力，形成終生受益的學科素養(yǎng).也只有在反復的實際運用中才能使數學核心素養(yǎng)才在數學思想的沃土中生根，收到事半功倍的效果.

參考文獻：

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