一元一次方程“解”的探索

張虎

【摘要】 一元一次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要模型，根據(jù)實(shí)際背景建立方程關(guān)系，求解，并應(yīng)用于實(shí)際的過程，是具體問題‘?dāng)?shù)學(xué)化的體現(xiàn). 本文通過求解一元一次方程及“解”的探索活動，引導(dǎo)學(xué)生多角度，多策略思考問題;針對方程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活選擇解方程的步驟，或采用不同的方法求解，提高學(xué)生思維的靈活性，感受分類討論，換元等重要的數(shù)學(xué)思想方法的獨(dú)特魅力.

【關(guān)鍵詞】 分類討論;整體思想;恒成立;新定義方程

著名荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說過：“與其說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，倒不如說學(xué)習(xí)‘?dāng)?shù)學(xué)化”.方程就是將眾多實(shí)際問題“數(shù)學(xué)化”的一個重要模型.

一元一次方程問題是我們進(jìn)入初中學(xué)習(xí)的第一個方程問題，一元一次方程的結(jié)構(gòu)和解的深入研究，不僅對學(xué)生的思維層次有較高的提升，而且會影響我們對數(shù)學(xué)抽象化過程的領(lǐng)悟更進(jìn)一步.同時，數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化方法和整體思想在解一元一次方程的過程中得到詮釋.本文將對一元一次方程的解法，解的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析和探討.

關(guān)于x的方程ax=b的解可分為三種情況：

（1）當(dāng)a≠0時，x=ba;

（2）當(dāng)a=0，b=0時，x為任意實(shí)數(shù);

（3）當(dāng)a=0，b≠0時，無解.

解一元一次方程的步驟：去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1.

注意事項(xiàng)：隱藏括號，如：

2x-43-1+x6=1.

解 去分母得

2（2x-4）-（1+x）=6，

去括號得4x-8-1-x=6，

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得

3x=15，

未知數(shù)的系數(shù)化為1，得

x=5.

一元一次方程常見解的類型

1 同解方程

例1 若x=3是關(guān)于x的方程2x-k+1=0的解，則k的值為（? ）

（A） -7. （B） 4. （C） 7. （D） 5.

解 直接代入法：將x=3帶入方程

2x-k+1=0得，k=7.

故選（C）.

例2 已知關(guān)于y的方程4y+2n=3y+2和方程3y+2n=6y-1的解相同，則n=.

解 分別求解，建立方程：解方程

4y+2n=3y+2，得y=2-2n，

解方程3y+2n=6y-1，得y=2n+13，

由兩方程的解相同，得

2-2n=2n+13，

解得n=58.

2 “特征”解類

例3 關(guān)于x的方程x-4m=-3x+4與m-2=x的解互為相反數(shù).求m的值.

解 解方程x-4m=-3x+4，得

x=m+1，

解方程m-2+m+1=0，得 m=12.

例4 方程6-3（x-1）=0的解與關(guān)于x的方程k+x2=k-x的解互為倒數(shù)，求k的值.

解 解方程6-3（x-1）=0，得x=3.

解方程k+x2=k-x，得x=k3，

由兩方程的解互為倒數(shù)，得

3×k3=1，

解得k=1.

例5 關(guān)于x的方程ax+3=4x+1的解為正整數(shù)，則整數(shù)a的值為（? ）

（A） 2.???? （B） 3.

（C） 1或2.（D） 2或3.

解 解關(guān)于x的方程ax+3=4x+1，得

x=24-a，

因?yàn)榉匠痰慕鉃檎麛?shù)，所以4-a是2的正因數(shù)，可得

4-a=1或4-a=2，

解得a=3或a=2.

故選（D）.

例6 若a，b為定值，關(guān)于x的一元一次方程2kx+a3-x-bk6=1，無論k為何值時，它的解總是x=1，則2a+b=.

解 將x=1，代入方程2kx+a3-x-bk6=1，得（4+b）k=7-2a，因?yàn)闊o論k為何值時，x=1恒成立.

因此4+b=0且7-2a=0，

因此2a+b=3.

例7 若關(guān)于x的方程ax-3=2x+b的解為任意數(shù)，則a+2b=.

解 化簡得（a-2）x=b+3，因?yàn)殛P(guān)于x的方程的解集為任意數(shù)，

所以a-2=0，b+3=0，

得a+2b=-4.

3 “整體思想，換元法”類

整體思想及換元法，是在代數(shù)學(xué)習(xí)體系中重要的思想和方法.

例8 已知關(guān)于x的一元一次方程kx+b=0的解為x=2，則k（x-2）+b=0的解為.

解 設(shè)y=x-2，則ky+b=0，

因?yàn)閗x+b=0與ky+b=0為同解方程，

所以y=2，

解得x=4.

例9 已知關(guān)于x的一元一次方程x2020+3=2020x+m的解為x=2，那么關(guān)于y的一元一次方程1-y2020+3=2020（1-y）+m的解y=.

解 利用整體思想及換元法得x=1-y，得

y=-1.

改編 已知關(guān)于x的一元一次方程x2020+3=2020x+m的解為x=2，那么關(guān)于y的一元一次方程1-y2020-3=2020（1-y）-m的解y=.

解 根據(jù)等式的基本性質(zhì)，方程1-y2020-3=2020（1-y）-m兩邊同時乘以（-1），得

y-12020+3=2020（y-1）+m，

可解得y=3.

4 新定義方程類

例10 我們規(guī)定，若關(guān)于x的一元一次方程ax=b的解為x=b-a，則稱該方程為“差解方程”，例如：2x=4的解為x=2，且2=4-2，則該方程2x=4是差解方程.

請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：

（1）判斷3x=45是否是“差解方程”;

（2）若關(guān)于x的一元一次方程6x=m+2是“差解方程”，求m的值.

解 （1）因?yàn)?x=45的解為x=15，且

45-3=15，

所以方程3x=45是“差解方程”.

（2）由題意得方程6x=m+2的解為x=（m+2）-6=m-4，代入得6（m-4）=m+2，

解得m=265.

5 可化為一元一次方程的特殊方程解問題

例11 方程|2x+1|=5，的解是（? ）

（A）x=-3.??? （B）x=2.

（C）x=3或-2.（D）x=-3或2.

解 根據(jù)絕對值的意義可知，方程|2x+1|=5，等價于2x+1=5或2x+1=-5，

解得x=2或x=-3.

故選（D）.

練習(xí)

1.當(dāng)整數(shù)a=時，關(guān)于x的方程x-46-ax-13=13有正整數(shù)解.

2.關(guān)于x的方程（m+2）x=6解為自然數(shù)，當(dāng)m為整數(shù)時，則m的值為.

3.已知關(guān)于x的方程m+x3=4的解是關(guān)于x的方程x-m3-2x-44=x6-1的解的2倍，求m的值.

4.已知關(guān)于x的方程2x-a=1與方程2x-12=x+a3-a的解的和為114，求a的值.

5.定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個方程為“兄弟方程”.如方程2x=4和3x+6=0為“兄弟方程”.

（1）若關(guān)于x的方程5x+m=0與方程2x-4=x+1是“兄弟方程”，求m的值;

（2）若兩個“兄弟方程”的兩個解的差為8，其中一個解為n，求n的值;

（3）若關(guān)于x的方程2x+3m-2=0和3x-5m+4=0是“兄弟方程”，求這兩個方程的解.

答案

1.0.

2.-1或0或1或4.

3. 0.

4.-3.

5.（1）m=25;（2）n=4或n=-4;（3）-2和2.