初中數(shù)學(xué)中關(guān)于“圓”的解題策略

阿班

【摘要】在初中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的過程中，“圓”的解題特征具有較強的靈活性及多解性，致使學(xué)生在解題過程中容易出現(xiàn)錯誤.因此，為避免這一現(xiàn)象，教師可以從圓的基礎(chǔ)定理入手，啟發(fā)學(xué)生對圓的引申知識進行創(chuàng)新、探究和思考，激發(fā)學(xué)生對關(guān)于“圓”知識內(nèi)容的進一步學(xué)習(xí).同時，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生遵循數(shù)學(xué)知識的一般學(xué)習(xí)規(guī)律和解題習(xí)慣學(xué)習(xí)“圓”的內(nèi)容，讓學(xué)生學(xué)會對“圓”知識內(nèi)容的活學(xué)活用，提高學(xué)生的解題能力，本文就此展開論述.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);圓;解題策略

1 前言

作為初中數(shù)學(xué)中的一項主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，“圓”的知識點學(xué)習(xí)內(nèi)容能夠影響到學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是一種基礎(chǔ)性較強的知識內(nèi)容.為使學(xué)生對“圓”知識點的內(nèi)容高效理解，教師應(yīng)結(jié)合考試題型對學(xué)生開展“圓”知識內(nèi)容的教學(xué)引導(dǎo)，使學(xué)生能夠理解圓的對稱性、圓周角及圓的輔助線知識內(nèi)容，提高學(xué)生的解題能力，使枯燥內(nèi)容能夠變得形象易懂，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識核心素養(yǎng).

2 以圓的基本定理歸納題型

傳統(tǒng)層面的一題一分析學(xué)習(xí)模式，其教學(xué)效率不高，且難以提高學(xué)生的解題能力.所以，教師可以結(jié)合圓的基本定理，引導(dǎo)學(xué)生分析圓的知識內(nèi)容，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題思辨素養(yǎng).

圓周角的定理是指：在圓周的頂點上，且兩邊為圓的兩條弦的角，即圓上有圓周角的頂點，等弧或同弧對應(yīng)的圓周角，都與這條弧對應(yīng)的圓心角的一半相等.在關(guān)于圓周角的計算題、證明題解題方面，若從圓周角及圓心角方面開展思考，都可以便捷地找到解題思路，進而縮短學(xué)習(xí)時間.

在開展解題的過程中，以“圓的認(rèn)識與圓的對稱性”為例，本知識點的學(xué)習(xí)基本內(nèi)容為，理解圓的對稱性，圓是由無數(shù)條對稱軸組成的，每一條經(jīng)過圓心的直線都是其對稱軸.還應(yīng)學(xué)習(xí)垂徑定理內(nèi)容，與弦的直徑平分且垂直，且弦對應(yīng)的兩條弧平分.

在對此問題進行解決的過程中，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生先思考圓周角定理，并要求學(xué)生掌握圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，掌握垂徑定理并以定理進展證明，對圓的旋轉(zhuǎn)不變性進行理解.

例如 在⊙O中，AB是弦，直徑為CD，假如AB⊥CD于E，那么AC=BC，AD=BD.（見圖1）

通過本案例推論垂徑定理，對于一條直線及一個圓而言，只要具備五條定理中的兩條，就能將其他三條定理推導(dǎo)出來，五條定理分別為：與弦垂直、過圓心、平分弦、平分弦所對的劣弧、平分弦所對優(yōu)弧.結(jié)合教材層面的定義進行推論，平分弦（非直徑）的直徑與弦垂直，且將弦所對應(yīng)的弧平分.同時，圓也是中心對稱圖形，圓心是其對稱中心，圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性.

例1 在⊙O中，AB與⊙O相交于C、D，且BD=AC，那么，OB=OA嗎？說出理由.

在這道例題中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，過點O作AB⊥OE于E，所以DE=CE，又因為BD=AC，所以BE=AE，因此，OE是AB的中垂線，而根據(jù)圓的垂線定理可知，中垂線上的任意一點，到線段兩端的距離相等，所以O(shè)B=OA.

例2? 有兩個同心圓以O(shè)為圓心，大圓的弦AB與小圓相交于兩點C、D，求證，AC=BD.（見圖2）

證明 過O作AB⊥OE，結(jié)合垂徑定理進行分析，垂直于弦的直徑不僅能將弦平分，也能將這條弦所對應(yīng)的兩條弧平分，則AB被OE平分，CD也被OE平分，因此，DE=CE、BE=AE.又因為BE-DE=BD、AE-CE=AC，所以BE-DE=AE-CE，即BD=AC.

例3 ⊙O的弦CD和直徑AB在E點相交，∠CEA=30°，EB=2cm，AE=6cm，求CD的長度.（見圖3）

在解決本題的過程中，需要明確此題是利用垂徑定理開展的計算問題，在求相關(guān)的半徑、弦長、弦心距等問題的過程中，通常都會對半徑和弦心距構(gòu)成的直角三角形問題進行求解，而單純應(yīng)用“相交弦”定理解決此題會存在一定的難度.

因此，應(yīng)充分利用已知條件∠BED =30°，構(gòu)造出一個以半弦、半徑、弦心距組成的直角三角形，在對直角三角形問題進行求解后，能夠求出未知量[2].

解析 過O作CD⊥OF于點F，將OF、CO連接，因為EB=2，AE=6，所以AB=8，所以O(shè)E=AE-OA=2，OC=OA=12AB=4，

又因為在Rt△OEF中，∠AEC=30°，所以O(shè)F=12OE=1.

又因為在Rt△COF中，OF=1，OC=4，所以CF=x= 15，又因為CD⊥OF，所以DF=CF，所以CD=2 15.

3 以圓周角開展題型練習(xí)

通過案例分析圓形的解題步驟，深入地幫助學(xué)生理解圓形問題，提高學(xué)生的解題能力.在相關(guān)圓的知識點學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)明確的是其中還包括圓周角計算題目，在實際進行解題的過程中，這類題目多以填空題、選擇題的形式出現(xiàn).在解決此類問題的過程中，學(xué)生可以通過一定的解題技巧解決問題，盡量以最短的時間完成解題內(nèi)容，以此提高解題效率.

在進行解題環(huán)節(jié)，學(xué)生可以結(jié)合題目中圓周角以及其所對應(yīng)的圓心角、弦、弧進行解題，可以通過典型案例講解法，并通過讓學(xué)生完成大量練習(xí)的方式，增加對本知識內(nèi)容的記憶.

教師可以啟發(fā)學(xué)生先分析例題，再開展練習(xí)，使學(xué)生能夠在教師指導(dǎo)的方法下做題，使學(xué)生的解題熟悉度得以增加.學(xué)生在掌握了基本學(xué)習(xí)方法后，教師應(yīng)對學(xué)生進行深入引導(dǎo)，要求學(xué)生模擬教師的計算方法，并嘗試將題目的答案在練習(xí)紙上進行分析、演練.

例4 在⊙O上分別有點A、B、C，∠AOB=72°，則∠ACB等于（? ）

（A）36°. ?（B）18°. ?（C）54°. ?（D）28°.

解析 根據(jù)圓周角定理可以對這一問題進行解題，圓周角定理反映的是圓心角與圓周角的關(guān)系，指的是一條弧所對應(yīng)的圓周角，與它所對應(yīng)的圓心角的一半相等，且等弧或同弧對應(yīng)的圓周角相等[3].根據(jù)圓周角定理進行確定，當(dāng)∠AOB=72°的時候，∠ACB=36°，因此，這道填空題的答案為（A）（見圖4）

例5 若⊙O的直徑為AB，AC=AB，∠ABE=45°，AC在⊙O的E點上相交，BC在⊙O的D點上相交.需要對∠EBC的度數(shù)進行計算，以及對CD=BD進行求證.（見圖5）

本題考查的是等腰三角形三線合一定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵點是應(yīng)對相對應(yīng)角的度數(shù)問題進行解答.

解析 本題中圓的直徑為AB，由于∠AEB=90°，∠ABE=45°，AC=AB，進而∠ACB=∠ABC，而這些已知條件是求∠EBC的關(guān)鍵點.將AD連接，由于∠ADB=90°，AC=AB，根據(jù)等腰三角形三線合一定義可知CD=BD.

解問題1，將AD連接，因為⊙O的直徑為AB，所以AC⊥BE，BC⊥AD，因為∠ABE=45°，∠A=45°，又AB=AC，所以∠CAD=∠BAD=22.5°，所以∠CAD=∠EBC=22.5°.

解問題2，因為BC⊥AD，AC=AB，所以CD=BD.

例6 （見圖6）已知△ABC，以AB為直徑的⊙O分別交BC于E，交AC于D，連接ED，若EC=ED.

（1）求證：AB=AC;

（2）若AB=4，BC=23，求CD的長.

本題考查的是學(xué)生是否能夠以圓周角定理及勾股定理分析問題，以此提高學(xué)生的圓形知識應(yīng)用能力.

解 將BD連接，因為AB為直徑，所以AC⊥BD，設(shè)CD=a，由于AB=AC=4，則AD=4-a，可以通過勾股定理分析此題，將半徑、弦心距、半弦三者在同一個直角三角形中進行分析，比如，Rt△CBD中，BD2=BC2-CD2=（23）2-a2，所以（23）2-a2=42-（4-a）2，整理可得，a=32，即CD=32.

4 以圓的輔助線開展題型交流

圓的知識涉及到的知識點較多，且關(guān)于圓的題目涵蓋基礎(chǔ)題、綜合題等.學(xué)生在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)題目的過程中，大都能輕松地完成試題內(nèi)容，但進入綜合題學(xué)習(xí)階段，學(xué)生的學(xué)習(xí)不足就會凸顯出來.為突破這一現(xiàn)象，教師可有計劃對對學(xué)生進行教學(xué)引導(dǎo)，圓類的知識點中涵蓋函數(shù)、直線與圓等知識，這類知識點問題復(fù)雜，需要輔助線進行輔助教學(xué)，但學(xué)生大都對輔助線類的知識存在學(xué)習(xí)難度.教師可以通過題型交流的方式，總結(jié)出輔助線的添加方式，以此提高學(xué)生的解題能力.

比如，在解決弦的問題過程中，通常需要作出圓心到弦的垂線段，這是一種輔助線即弦心距，主要是為了通過垂徑定理，獲得平分弦的條件，也是為了通過對直角三角形的構(gòu)造，結(jié)合勾股定理的方式解題.

再比如，在解決同弧或等弧問題的環(huán)節(jié)，常連等弧對應(yīng)的圓心角.在解決上述數(shù)學(xué)問題的過程中，可以通過輔助線的方式完成.

再比如，在學(xué)習(xí)已知弦中點時常連弦心距的過程中，也應(yīng)通過輔助線的方式開展教學(xué).

5 結(jié)語

綜上所述，雖然圓形是一筆形成的圖形，貌似很簡單，實則卻蘊含了豐富的內(nèi)容.而圓也是一種最基本的平面圖形，關(guān)于圓的題目，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過學(xué)習(xí)圓的基本定理、圓周角及畫輔助線的方式啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)，這會簡化學(xué)習(xí)難度.同時，“圓”知識點的教學(xué)目的還在于提高學(xué)生的邏輯思維素養(yǎng)及數(shù)學(xué)知識的綜合運用能力，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生解題的方式，幫助學(xué)生對更多的關(guān)于圓的圖形問題進行練習(xí)，在完成習(xí)題的過程中，理解圓的定理，從而實現(xiàn)逐步提高數(shù)學(xué)綜合能力的目的.

參考文獻：

[1]張長新.九年級數(shù)學(xué)中關(guān)于“圓”的解題策略教學(xué)[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2020（08）：279.

[2]藍奇靈.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何畫板的應(yīng)用[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2020（06）：273.