關(guān)于圓中函數(shù)關(guān)系問題構(gòu)建的策略

吳俊

【摘要】圓中函數(shù)關(guān)系問題在中考和模擬考中十分常見，該類問題以幾何圓為背景，探索函數(shù)關(guān)系，充分將幾何與函數(shù)相串聯(lián)，是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).該類問題突破的關(guān)鍵是實(shí)現(xiàn)幾何特性向函數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，故充分應(yīng)用定理，掌握轉(zhuǎn)化策略十分重要，下面舉例探究.

【關(guān)鍵詞】圓中函數(shù)關(guān)系;數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化策略

1 三角函數(shù)關(guān)系構(gòu)建

方法解讀 三角函數(shù)知識(shí)在初中數(shù)學(xué)中較為特殊，在直角三角形中構(gòu)建三邊長(zhǎng)與角度關(guān)系，也是形與數(shù)相綜合的重要體現(xiàn).實(shí)際應(yīng)用時(shí)有兩種思路：一是直接在直角三角形中，利用三角函數(shù)值求解線段長(zhǎng)，構(gòu)建線段的函數(shù)關(guān)系;二是利用等角的三角函數(shù)值相等，間接構(gòu)建線段的函數(shù)關(guān)系.

例1 如圖1所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AD=3，AB=4，點(diǎn)P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)以點(diǎn)P為圓心，BP長(zhǎng)為半徑作⊙P，與射線BC的交點(diǎn)設(shè)為Q，連接BD、AQ，設(shè)交點(diǎn)為G，⊙P與線段BD，AQ的交點(diǎn)分別為E和F.

（1）若BE=FQ，試求⊙P的半徑;

（2）設(shè)BP=x，F(xiàn)Q=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.

解析 （1）通過角度推導(dǎo)，可得∠EBP=∠FQP，因?yàn)锳D∥BC，所以∠ADB=∠EBP，則∠FQP=∠ADB，所以tan∠FQP=tan∠ADB=43.設(shè)⊙P的半徑為r，在△ABQ中使用三角函數(shù)，可得tan∠FQP=ABBQ=42r=43，可解得r=32，所以⊙P的半徑為32.

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，實(shí)則是構(gòu)建線段的函數(shù)關(guān)系.

過點(diǎn)P作PM⊥FQ，垂足為點(diǎn)M，如圖2所示.因?yàn)镻M⊥FQ，PF=PQ，所以FQ=2QM.

在Rt△ABQ中，cos∠AQB=BQAQ

=2BP （2BP）2+AB2=x x2+4x2+4;

在Rt△PQM中，

QM=PQcos∠AQB=x x2+4x2+4.

由于FQ=2QM，

所以y=2x x2+4x2+4.

當(dāng)圓與D相交時(shí)，x取得最大值，作DH⊥BC于H，如圖3所示，可推知PD=PB=x，PH=BP-BH=x-3，在Rt△PDH中，由勾股定理得：42+（x-3）2=x2，可解得x=256，所以x的取值范圍為0

2 勾股定理直角構(gòu)建

方法解讀 勾股定理直角構(gòu)建，即在直角三角形中，借助勾股定理對(duì)三角形三邊關(guān)系的串聯(lián)，將線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系.該方法較為簡(jiǎn)單直接，通常所涉線段均可以轉(zhuǎn)移到同一直角三角形中.

例2 如圖4所示，已知線段AB=10，點(diǎn)C在線段AB上，AC和BC分別為⊙A、⊙B的半徑，點(diǎn)D是⊙B上的一點(diǎn)，AD與⊙A于E，EC的延長(zhǎng)線交⊙B于F.

（1）求證BF∥AD;

（2）如果BD⊥AD，設(shè)AC=x，DF=y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系，并寫出對(duì)應(yīng)的定義域.

解析 （1）因?yàn)辄c(diǎn)E和C均在⊙A上，點(diǎn)F和C在⊙B上，所以AE=AC，BC=BF，則有∠AEC=∠ACE，∠BCF=∠BFC，進(jìn)而可得∠AEC=∠BFC，所以BF∥AD.

（2）該問求線段之間的函數(shù)關(guān)系，因?yàn)锽D⊥AD ，BF∥AD，所以∠ADB=∠DBF=90°.可推得BO=10-x，所以BD=BF=BO=10-x.

已知△BDF為等腰直角三角形，由勾股定理可得DF2=BD2+BF2，所以y2=2（10-x）2，整理可得，y= 2（10-x），其中0

3 面積模型綜合構(gòu)建

方法解讀 面積模型綜合構(gòu)建，即構(gòu)建面積模型，結(jié)合面積公式、相關(guān)線段轉(zhuǎn)換策略來構(gòu)建一種方式，該種策略主要適用于與面積相關(guān)的函數(shù)關(guān)系問題中.對(duì)于常規(guī)的圖形，可直接利用面積公式來構(gòu)建，不易求或不規(guī)則的圖形面積則可以先轉(zhuǎn)化分割，再構(gòu)建的方法.

例3 如圖5所示，扇形AOB的半徑為2，∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A和B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D和E.

（1）在△DOE中是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊？若存在，請(qǐng)指出并求長(zhǎng)度;若不存在，請(qǐng)說明理由.

（2）設(shè)BD=x，△DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出對(duì)應(yīng)的定義域.

解析 （1）簡(jiǎn)答，DE的長(zhǎng)度保持不變，且長(zhǎng)度為2.

（2）連接OC，過點(diǎn)D作OE的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)F，如圖6所示.

根據(jù)已知可推得∠BOD=∠COD，∠EOC=∠EOA，由角度代換可得∠DOE=∠EOC+∠DOC=45°.在Rt△DOB中，由勾股定理可得DO=OB2+BD2=4-x2.因?yàn)镈F⊥OE，∠DOE=45°，則DF=OF=224-x2，

所以EF=DE2+DF2=22x.

△DOE的面積可視為△ODF和△OEF的面積之和，

則y=12（OF+EF）·DF

=12224-x2+22x·224-x2，

整理可得y=4-x2+x4-x24（0

總之，圓中的函數(shù)關(guān)系問題總體上可分為線段和面積兩類，對(duì)于前者可利用三角函數(shù)關(guān)系、直角勾股定理、平行相似比例策略來構(gòu)建，面積類問題則可以立足面積公式，利用面積模型綜合構(gòu)建.探究學(xué)習(xí)中需深刻理解構(gòu)建策略的原理所在，掌握構(gòu)建思路，立足問題探索方法，積累解題經(jīng)驗(yàn).