一道課本習(xí)題與高考題引發(fā)的變式探究

程廣安

人教A版高中數(shù)學(xué)新教材習(xí)題是在原先人教版舊教材習(xí)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了完善，適合不同層次的學(xué)生，教材習(xí)題具有典型性、代表性、滲透性、延續(xù)性的特點，它能幫助師生更好掌握課本知識。研究教材習(xí)題是教師備課教學(xué)中不可缺少的一個重要部分。

一、問題引出

教材原題（人教A版高中數(shù)學(xué)新教材第二冊第54頁22題）已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC+asinC-

b-c=0，（1）求A;（2）若a=2，則△ABC的面積為，求b，c。

題目評析：第（1）題求角A，條件中只給了一個等式，那么我們就要把這個等式化簡，通常有兩種方法，一是全部化成邊，二是全部化成角，而這道題很明顯，采用化角的方法，把等式中的邊全部通過正弦定理化成角的正弦的形式，化簡求出結(jié)果;第（2）題通過面積公式及余弦定理可以求出b+c的和，又由bc的積可以求出b，c的值。

這道題第（1）小題有點難度，如果沒把B轉(zhuǎn)化成用A+C表示，那么這道題后面就無法化簡求值，但是我們?yōu)榱藨?yīng)對高考，不能就題論題，而應(yīng)該對題目加與研究，特別是要將題目進(jìn)行變式思考、變式探究，以實現(xiàn)對知識的透徹理解。

問題的變式1：如果把這道題第（2）題條件換成，若a=2，求△ABC的面積的取值范圍，那該如何求解。

問題的變式2：如果把這道題第（2）題條件換成，若a=2，求△ABC周長的取值范圍，那該如何求解。

通過不斷更換條件，實現(xiàn)對正余弦定理充分理解，以便把教材內(nèi)容吃透。帶著這些問題，我們研究如何做到對題目進(jìn)行變式思考。

二、考題鏈接

（2020年浙江卷18題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2bsinA-a=0;（1）求B角;（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍。

題目評析：（1）通過把邊化為角的形式，化簡后得出sinB=，因為題目中說的△ABC是銳角，所以角B=;（2）實際上B=已經(jīng)知道，

因此cosA+cosB+cosC = +cosA+

cosC，含有兩個變量，想辦法轉(zhuǎn)化成單變量進(jìn)行求解。這里要注意的是三角形為銳角三角形，注意角的取值范圍。

這道題從題目結(jié)構(gòu)看沒什么特殊之處，但是從研究高考方向考慮，我們必須對題目進(jìn)一步深入探究，以更好地讓學(xué)生掌握知識的規(guī)律與方法。

三、變式探究

從教材習(xí)題與高考習(xí)題引發(fā)思考，如何對題目進(jìn)行變式探究呢？對解三角形這部分知識，可以從以下方面進(jìn)行深入思考。

1.從三角函數(shù)的名稱角度進(jìn)行變式

思考1：既然高考題可以考查兩個角余弦的和的取值范圍，那是否也會考查兩個角正弦的和的取值范圍呢？

題目1：在銳角△ABC中，已知角B=，求sinA+sinC的取值范圍。

解：sinA+sinC=sin（B+C）+sinC

=sincosC+cossinC+sinC

=cosC+sinC

=sin（C+）

因為

評析：從三角函數(shù)名稱上進(jìn)行變式，進(jìn)一步探究問題本質(zhì)。

2.從三角函數(shù)的運算角度進(jìn)行變式（差，積，商）

思考2：既然可以考查兩個角正弦的和的取值范圍，那是否也可以考查它們的差、積、商的取值范圍呢？

題目2：在銳角△ABC中，已知角B=，求sinA-sinC的取值范圍。

解：sinA-sinC=sin（B+C）-sinC

=cosC-sinC=-sin（C-）

因為

故有sinA-sinC∈（-，）。

評析：從上面兩個角的正弦之和做變式求兩個角的正弦之差的取值范圍，方法上還是一樣，把雙變量轉(zhuǎn)化到單變量上來。

總結(jié)：通過把雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，再利用角域進(jìn)行求解范圍。

3.從三角形中邊的角度進(jìn)行變式

思考3：從邊的角度進(jìn)行變式，實際上就回到上述教材習(xí)題的變式上，如果探究邊的范圍，又該如何解決？

題目3：在△ABC中，已知角B=，b=3，求a+c的取值范圍。

解：由于求的是兩個變量的和的取值范圍，可以考慮利用基本不等式求解，因為cosB=，所以ac=a2+c2-9，故有（a+c）2-9?? ? ?3（）2;從而可以得到a+c?6，又因為a+c>3;故a+c∈（3，6]。

評析：求兩邊之和的取值范圍，可以將邊的取值范圍轉(zhuǎn)化到角的取值范圍，另外也可以從基本不等式與三角形的性質(zhì)角度入手，得到兩邊之和的取值范圍。

思考4：上面變式是求兩邊之和范圍，那三角形的邊是否也可以通過減法，乘除求取值范圍呢？

題目4：在△ABC中，已知角B=，b=3，求a-c的取值范圍。

題目5：在△ABC中，已知角B=，b=3，求ac的取值范圍。

題目6：在△ABC中，已知角B=，b=3，求的取值范圍。

題目4至題目6顯然都可以化成對應(yīng)角的正弦求解，轉(zhuǎn)化成前面熟悉的問題，對于題目6還可以用基本不等式求解。

4.從三角形邊的幾何意義進(jìn)行變式

思考5：從教材習(xí)題變式1、變式2我們可以考慮三角形的邊角之間關(guān)系，由正弦定理我們知道若三角形的一角與一角的對邊為已知時，我們可以得到此三角形的外接圓，由三角形的外接圓特殊的幾何意義可以快速地解決三角形周長或者面積的取值范圍。

題目7：在△ABC中，已知角B=，b=3，求△ABC周長的取值范圍。

題目8：在△ABC中，已知角B=，b=3，求△ABC面積的取值范圍。

題目評析：題目8利用幾何意義進(jìn)行求解：因為=2R是一個定值，而R是三角形外接圓的半徑，我們就可以把三角形的外接圓畫出來，把邊b當(dāng)成底，當(dāng)邊b上的高最大時，△ABC的面積最大，顯然，邊b上的高過圓心時最大，此時△ABC的面積最大，當(dāng)邊b上的高接近0時，△ABC的面積趨于0。

在平時的教學(xué)中，教師應(yīng)該充分利用教材習(xí)題與歷年高考題，通過對教材習(xí)題的變式探究，培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散能力，最后促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

責(zé)任編輯 羅 峰