初中數(shù)學(xué)教學(xué)中論分類討論法思想的滲透

石永昌

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師經(jīng)常使用分類討論法帶領(lǐng)學(xué)生感受新知。同時(shí)，此也是行之有效的解題策略，作為一種常用的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生在使用的時(shí)候可以深入分析數(shù)學(xué)問題，將復(fù)雜的問題，通過(guò)分類討論法轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的問題，更快速地解答出來(lái)。滲透分類討論法思想，能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題，更快地解答數(shù)學(xué)問題。分類討論法思想是數(shù)學(xué)問題過(guò)程中，經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)思維。如果分析的數(shù)學(xué)問題不是單一性的，就可以分門別類，然后使用分類討論思想，解決問題。實(shí)際上分類討論思想一直貫穿在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，蘊(yùn)含更多的數(shù)學(xué)內(nèi)容，然后圖形討論，都會(huì)滲透數(shù)學(xué)思想，分類討論思想的運(yùn)用更是常見。下面以知識(shí)點(diǎn)“圓周角”為例，闡述如何在數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用分類討論思想：

一、分析教學(xué)背景

本次教學(xué)是在學(xué)生掌握?qǐng)A心角、圓的對(duì)稱與圓的概念基礎(chǔ)上進(jìn)行的，主要分析圓周角的概念與定理，讓學(xué)生知道圓周角與角的相關(guān)計(jì)算、與圓心角的關(guān)系、研究圓內(nèi)接四邊形、證明角弦弧相等、判定相似三角形等有密切的關(guān)系，特別是探究借助完全歸納法，探究圓周角定理過(guò)程的時(shí)候，對(duì)學(xué)生分類討論能力的提升有促進(jìn)作用。

二、教學(xué)中分類討論思想的運(yùn)用

（一）創(chuàng)建情境，引入新課

在教學(xué)開始，引入舊的知識(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考，如什么是圓心角，然后展示多媒體圖片，讓學(xué)生思考圓O中，圓心角的定義是什么？有什么性質(zhì)？讓學(xué)生結(jié)合自己的已有認(rèn)知，思考圓心角的概念與性質(zhì)。其他同學(xué)與教師再糾正評(píng)價(jià)。通過(guò)此，明確圓心角的概念，了解圓心角的特點(diǎn)，如“圓心角的頂點(diǎn)在圓心”“等圓或者同圓中，圓心角若是相等，那么其對(duì)應(yīng)的弧與弦也是相等的”在學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)后，教師再借助信息技術(shù)，為學(xué)生創(chuàng)建情境，展示在海洋館中，觀光者在借助圓弧形的玻璃，觀看里面神奇海底世界的圖片，如圖1，同學(xué)們分別站在O、C、D、E的位置，那哪個(gè)位置是最佳的觀賞角度？

本環(huán)節(jié)教師借助多媒體讓學(xué)生觀察，然后結(jié)合圖形，大膽想象，同時(shí)思考猜想是否正確。教師不給出明確的答案，而是通過(guò)設(shè)計(jì)懸念的形式，引出新的知識(shí)點(diǎn)——圓周角。

（二）合作探究，獲得新知

結(jié)合圖1，教師先帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)知什么是圓周角。提出問題1：圖1中，∠AOB的頂點(diǎn)O在圓心上，那么∠AOB就是圓心角。請(qǐng)問∠ACB、∠ADB和∠AEB這三個(gè)角有什么關(guān)系？讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后與同伴交流討論，回答問題，最終確定這三個(gè)角的共同特點(diǎn)，即所有角的頂點(diǎn)在圓周上、兩邊都和圓相交。問題2：請(qǐng)你根據(jù)探究，總結(jié)出圓周角的概念。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比的方法，嘗試回答問題，然后與同伴溝通，再進(jìn)行補(bǔ)充與修改，最后得到圓周角的概念。問題3：同學(xué)們，你知道圓周角、圓心角有什么性質(zhì)，它們的區(qū)別和聯(lián)系是什么？此讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后補(bǔ)充圖形，利用多媒體課件，全面呈現(xiàn)圓心角與圓周角兩者的區(qū)別與聯(lián)系，通過(guò)列表格的形式，以圖形、角的頂點(diǎn)、角的兩邊三方面分別闡述圓心角與圓周角的不同。問題4：出示小練習(xí)，如圖2，讓學(xué)生判斷圖中哪些是圓周角，哪些不是圓周角，并說(shuō)明理由。學(xué)生在思考后，答到圖（3）、（6）、（8）為圓周角，都符合頂點(diǎn)在圓上、兩邊都與圓相交的特點(diǎn)。在學(xué)生觀察圖片的時(shí)候，教師順勢(shì)提出問題5：你知道同圓中，相同的弧對(duì)應(yīng)的圓周角與圓心角有什么位置關(guān)系嗎？

這五個(gè)問題的設(shè)計(jì)，以學(xué)生為主體引導(dǎo)其自主思考或者小組內(nèi)討論，然后使用幾何畫板為學(xué)生在展示，以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)促使學(xué)生深入觀察，歸納知識(shí)點(diǎn)。最后總結(jié)圓心角與圓周角存在的三種位置關(guān)系，通過(guò)此為后期講解圓周角定理的分類做鋪墊，滲透分類討論思想。

（三）實(shí)踐觀察，測(cè)量比較

以研究圓周角的性質(zhì)為本環(huán)節(jié)教學(xué)的目標(biāo)。在此，可以將學(xué)生分組，讓其在白紙上任意畫出一個(gè)圓，然后確定一條弧AB，作出對(duì)應(yīng)的圓周角與圓心角，然后用量角器分別測(cè)出這兩個(gè)角，記錄下來(lái)，比較這些角的度數(shù)有什么關(guān)系？以此探究出圓心角與圓周角大小的關(guān)系，滲透分類討論思想，讓同學(xué)們?cè)诒容^與測(cè)量的時(shí)候，快速總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生更深入地感受分類討論思想。

（四）提出猜想，完成驗(yàn)證

小組學(xué)生在完成實(shí)驗(yàn)觀察、測(cè)量比較、記錄討論的基礎(chǔ)上，就可派出代表總結(jié)圓心角和圓周角角度的關(guān)系。在學(xué)生提出猜想之后，就可利用幾何畫板，采用直觀演示的方法，驗(yàn)證猜想。使用幾何畫板操作的過(guò)程為：在圓O中，∠AOB為圓心角，∠ACB為圓周角，先拖動(dòng)點(diǎn)C，觀察幾何畫板中弧AB對(duì)應(yīng)圓周角雖然有無(wú)數(shù)個(gè)，但是弧AB，對(duì)應(yīng)的所有的圓周角，角度都是相同的。然后再度量對(duì)應(yīng)圓心角，發(fā)現(xiàn)圓周角是圓心角度數(shù)的一半;再拖動(dòng)點(diǎn)A，轉(zhuǎn)變弧AB的大小，發(fā)現(xiàn)圓心角和圓周角關(guān)系變化沒有變化，∠ACB=∠AOB。通過(guò)幾何畫板的運(yùn)用，讓學(xué)生能夠推導(dǎo)自己的猜想。學(xué)生在積極參與小組活動(dòng)后，教師提出問題，推進(jìn)學(xué)生反思，并思考本次的證明都使用了哪些數(shù)學(xué)思想。讓學(xué)生在直觀觀察下，嘗試寫出已知，完成求證。可以從三種情況進(jìn)行分類討論：第一，圓心在角的一邊上;第二，圓心在角的內(nèi)部;第三，圓心在角的外部。讓其有足夠的時(shí)間進(jìn)行討論，然后針對(duì)學(xué)生討論出的結(jié)果教師做知識(shí)整合，對(duì)三種情況進(jìn)行完整證明。引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)文字與數(shù)學(xué)圖形三種形式，加強(qiáng)對(duì)圓周角定理的理解。本環(huán)節(jié)的證明，借助運(yùn)用完全歸納法，引導(dǎo)學(xué)生在分類討論與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想下，完成對(duì)圓周角從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。

（五）解決問題，加強(qiáng)反思

待學(xué)生正確理解圓周角定理后，就可解決在課前提出的實(shí)際問題了，讓學(xué)生們解答問題，圖1中，∠AEB、∠ADB、∠ACB是弧AB對(duì)應(yīng)的圓周角，而∠AOB則是弧AB對(duì)應(yīng)的圓心角，可以得到對(duì)應(yīng)圓心角與圓周角的關(guān)系。所以可以得到站在點(diǎn)O的位置，觀察的角度更大，視角越好。關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理。

三、數(shù)學(xué)課堂中分類討論思想運(yùn)用的具體策略

上述案例的教學(xué)重點(diǎn)是研究圓周角的概念與其定理，使用自主與合作探究的形式，引導(dǎo)學(xué)生探究圓周角與圓心角的三種位置關(guān)系，在此就是通過(guò)分類討論思想，對(duì)圖形的形狀與對(duì)應(yīng)位置，進(jìn)行分類討論。除此之外，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論法還可運(yùn)用在下面幾點(diǎn)進(jìn)行：第一，數(shù)學(xué)概念與定理、公式受條件限制進(jìn)行的討論;第二，分類討論數(shù)學(xué)問題中，字母的多種取值;第三，做計(jì)算問題時(shí)，受實(shí)施條件的限制而引發(fā)的討論。由此可知，分類討論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的廣泛運(yùn)用，并且從這節(jié)課中獲得的啟示為：在教學(xué)中滲透分類討論，將不同層次的學(xué)生組成小組，完成探究。在小組交互中，完成學(xué)習(xí)任務(wù)，積極調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提升學(xué)習(xí)效率。

再如在習(xí)題課中，滲透分類討論思想，可以引導(dǎo)學(xué)生形成一種常態(tài)的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決問題。在解答習(xí)題的時(shí)候，教師就可在不經(jīng)意間，引入數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生自己根據(jù)已有認(rèn)知，挖掘有效信息，然后在數(shù)學(xué)思想的指引下，想到解決問題的思路，順利解決問題。以幾何知識(shí)為例，可多通過(guò)經(jīng)典例題，提升學(xué)生的數(shù)與形的轉(zhuǎn)換能力。如果有的題目沒有確定的結(jié)合圖形定量，就可使用結(jié)合圖形的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)換成數(shù)，進(jìn)一步計(jì)算。如問題，一次函數(shù)? y=kx + b的自變量x在2和6之間，y在-11和9之間，求此函數(shù)解析式。此問題就是使用待定系數(shù)法求解。需要學(xué)生對(duì)函數(shù)的形式有深刻的了解之后，就可使用分類討論法，對(duì)于函數(shù)解析式的解答就迎刃而解了。

四、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想的建議

教師作為數(shù)學(xué)課堂的主要組織者與引導(dǎo)者，要重視對(duì)學(xué)生思想觀念的影響。但是經(jīng)過(guò)問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)已經(jīng)有更多的教師意識(shí)到，數(shù)學(xué)課堂中滲透分類討論法的重要性，但是在具體實(shí)踐中，卻很少在班級(jí)中貫徹分類討論思想，而更多的教師也受多種原因影響，經(jīng)?！皳Q湯不換藥”，運(yùn)用傳統(tǒng)的“重知識(shí)，輕思維”的教學(xué)方式。產(chǎn)生這一問題的原因，是教師還是不能深刻認(rèn)知到教學(xué)中該如何滲透分類討論思想。在此學(xué)校要對(duì)教師開展培訓(xùn)，提升其數(shù)學(xué)思想運(yùn)用的意識(shí)，提升師資隊(duì)伍的學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)教師的專業(yè)素養(yǎng)?；诖颂岢鱿旅鎺c(diǎn)建議：第一，初中數(shù)學(xué)教師要建立終身學(xué)習(xí)的觀念，為滲透分類討論法保駕護(hù)航;第二，數(shù)學(xué)教師要深入分析教材，探究數(shù)學(xué)分類討論思想，設(shè)計(jì)適合的教案;第三，教師要積累更多的數(shù)學(xué)思想教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，樹立一套完整的數(shù)學(xué)思想滲透教育機(jī)制;第四，學(xué)校要多為教師進(jìn)行教育培訓(xùn)，獲得適合的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，還可為教師提供專業(yè)化的教育期刊，幫助教師在定期交流討論中建立樂教樂研的校園文化氛圍。教育，作為長(zhǎng)期發(fā)展的事業(yè)，需要教師一直提升自己的專業(yè)素養(yǎng)，才能更好地滲透數(shù)學(xué)思想。

另一方面，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用分類討論思想解題。新時(shí)期，數(shù)學(xué)教育，即是課堂中師生進(jìn)行有效的互動(dòng)，不能是教師對(duì)學(xué)生單方面的教育。數(shù)學(xué)分類討論思想在課堂中的滲透，需要以學(xué)生為主體，積極培養(yǎng)其探索性與積極性。在此，要想讓學(xué)生意識(shí)到，數(shù)學(xué)分類討論法在解題中的重要性，一定要轉(zhuǎn)變高分?jǐn)?shù)的畸形學(xué)習(xí)觀，就要從本質(zhì)上優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)的方式和學(xué)習(xí)思維，以良好的成就感提升學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

綜上，在教師有目的的引導(dǎo)下，可以幫助學(xué)生掌握分類討論思想，在解答復(fù)雜問題的時(shí)候，能夠注意分類討論思想的運(yùn)用，對(duì)學(xué)生后期學(xué)習(xí)更難的知識(shí)有所幫助，正確運(yùn)用分類思想，提升解題能力。