促進小學生數(shù)學核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力發(fā)展的教材習題研究

蘭贈連

摘要：小學數(shù)學學習需要讓學生在一定量的練習、實踐中掌握數(shù)學知識與技能，經(jīng)歷數(shù)學學習過程與方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，體會數(shù)學情感態(tài)度與價值觀，進而促進數(shù)學思維的發(fā)展。教師要重視數(shù)學教材中的例題、做一做、練習等，特別是對有關(guān)聯(lián)的習題，要持續(xù)跟進研究，引導學生在思考、對比中獲得對某類問題的遞進式理解，不斷擴大認知范圍。

關(guān)鍵詞：小學數(shù)學;教材習題;跟進策略

小學數(shù)學學習需要一定量的練習、實踐，讓學生在其中掌握數(shù)學知識與技能，經(jīng)歷數(shù)學學習過程與方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，體會數(shù)學情感態(tài)度與價值觀，進而促進數(shù)學思維的發(fā)展。練習、實踐要通過一定的載體進行，對數(shù)學學習來說，其最好的載體就是數(shù)學作業(yè)?！半p減”政策出臺，激發(fā)了教師研究數(shù)學作業(yè)的熱情，但是也存在“種研究作業(yè)之‘田，荒教材習題之‘地”的現(xiàn)象——教師把目光投向教材之外尋找，卻忽略了在教材內(nèi)部挖掘。實際上，教材內(nèi)部的例題、做一做、練習等本身就是作業(yè)的最重要來源，研究、用好這些習題，往往能收到事半功倍的效果。特別是教材中有一些習題之間存在著前后關(guān)聯(lián)，對某類問題的解決起著重要作用，需要教師持之以恒地持續(xù)跟進研究。

在某學校六年級一次數(shù)學期末考試中，有這么一道題：王大爺家有一塊空地，他想在這塊空地上用籬笆圍出一塊周長是24米且面積最大的長方形地用來種蔬菜。請你幫王大爺按1：100的比例尺畫出這個長方形。這道題涵蓋的知識點包括“兩個數(shù)的和一定時，什么情況下這兩個數(shù)的積最大”，這是三年級上冊周長、三年級下冊面積以及六年級下冊比例尺的內(nèi)容，考查學生的分析、聯(lián)通和作圖等多項能力。學生的答題情況很不理想，準確率只有30%。畫錯的學生基本上畫出的是長7厘米、寬5厘米的長方形。之所以會這樣，一個原因是這部分學生只考慮到了自然數(shù)的情況，沒有考慮到小數(shù)或分數(shù)的情況，比如“6.1×5.9>7×5”;另一個原因是這樣畫的學生把長方形和正方形當成毫不相關(guān)的兩種圖形，沒有考慮到正方形是特殊的長方形。

要讓學生正確解答上述題目，需聚焦于兩個核心問題：一是周長相同的長方形，什么情況下面積最大？二是長方形和正方形是什么關(guān)系？其中，第一個核心問題還涉及一個隱藏著的前知識，即兩個數(shù)的和一定時，什么情況下這兩個數(shù)的積最大？要突破第一個核心問題，教師就要對教材中關(guān)于“長方形的周長和面積關(guān)系”的相關(guān)習題進行持續(xù)跟進研究。

一、設計前知識習題

任何一個數(shù)學知識都不是憑空產(chǎn)生的，而是基于前期學習的某個或某些知識?！伴L方形的周長和面積關(guān)系”問題有一個與之密切相關(guān)的前知識，即“兩個數(shù)的和一定，它們的差越小，積就越大;當它們的差為0時，積最大”。這個知識點在哪里學習過呢？我查閱了三年級下冊“面積”單元以及一、二年級的教材內(nèi)容，沒有找到明確的答案。只有二年級上冊第63頁“表內(nèi)乘法（一）”單元例7及后面第64頁練習十四中第5題、第65頁第9題的內(nèi)容與之關(guān)系最近——在實際情境中分別理解5與4、6與3、5與3的和及積的意義的不同。

二年級上冊第63頁“表內(nèi)乘法（一）”單元例7為：比較下面兩道題，選擇合適的方法解答。

（1） 有4排桌子，每排5張，一共有多少張？

（2） 有2排桌子，一排5張，另一排4張，一共有多少張？

二年級上冊第64頁練習十四中第5題為：劉奶奶家養(yǎng)了兩種不同的雞，一種有3只，另一種有6只。還養(yǎng)了3種不同的鴨子，每種有6只。

（1） 劉奶奶家養(yǎng)了多少只雞？

（2） 劉奶奶家養(yǎng)了多少只鴨子？

（3） 你還能提出其他數(shù)學問題并解答嗎？

二年級上冊第65頁第9題為：有3種丁香花，花瓣分別是3瓣、4瓣和5瓣。

（1）5朵3瓣的花共有多少個花瓣？

（2）1朵3瓣的和1朵5瓣的花共有多少個花瓣？

（3）3朵4瓣的和1朵5瓣的花共有多少個花瓣？

（4）你還能提出其他數(shù)學問題并解答嗎？

有了以上3道習題的練習基礎(chǔ)，教師不妨在學生完成對“表內(nèi)乘法（二）”中“9的乘法口訣”的學習后，設計一道這樣的題目：“兩個數(shù)的和等于10，這兩個數(shù)的差、積分別是多少？你發(fā)現(xiàn)了什么？”讓學生去思考、解答。學生嘗試思考、列式，然后全班交流。教師整理學生列出的算式，使之有序、有條理：

1+9=10 9-1=8 1×9=9

2+8=10 8-2=6 2×8=16

3+7=10 7-3=4 3×7=21

4+6=10 6-4=2 4×6=24

5+5=10 5-5=0 5×5=25

據(jù)此就可以得出顯而易見的結(jié)論：兩個數(shù)的和等于10，這兩個數(shù)的差越小，它們的積就越大;當“5-5=0”時，“5×5=25”的積最大。

到了三年級上冊學習“多位數(shù)乘一位數(shù)”時，教師可把兩個數(shù)的和變大，讓學生多練習幾組類似的題目，進而得出更一般的結(jié)論：兩個數(shù)的和一定，它們的差越小，積就越大;當它們的差為0時，積最大。

二、比較教材中的關(guān)聯(lián)習題

教材在三年級下冊“面積”單元中，關(guān)于“長方形的周長和面積關(guān)系”問題有3道前后關(guān)聯(lián)的習題。在教學時，教師要重視讓學生通過畫一畫、觀察和思考，比較這3道題所得出結(jié)論的聯(lián)系和區(qū)別。

（一）面積相等的圖形，正方形的周長最短

第一道題是三年級下冊第65頁第6題：用4個1平方厘米的正方形拼成下面的圖形。它們的面積各是多少？它們的周長呢？

為了便于分析和比較，教師可引導學生從左至右給4個圖形依次編上序號（如圖1），并用表格表示出四個圖形的面積和周長（如下頁表1）。教師可引導學生先描出各個圖形的一周邊線，然后或者用數(shù)的方法，依次數(shù)出各個圖形的周長;或者用算的方法：一是直接計算，比如③號圖形的周長是“2×4=8（厘米）”;二是間接計算，比如①號圖形，1個小正方形有4條邊，4個就有16條邊，減去內(nèi)部的邊數(shù)6，這個圖形的周長是10厘米。由此可得出，①號圖形、②號圖形、③號圖形、④號圖形的周長分別是10厘米、10厘米、8厘米、10厘米。學生比較4個圖形的周長，可得出結(jié)論：面積相等的圖形，周長不一定相等;面積相等的圖形，正方形的周長最短。學生比較①號圖形、②號圖形和④號圖形的周長，可得出結(jié)論：面積相等的圖形，周長也可能相等。

（二）周長相等的長方形，正方形的面積最大

第二道題是三年級下冊第65頁第7題：在方格紙上畫幾個長方形或正方形，使它們的周長都相等，然后比較一下它們的面積。你能發(fā)現(xiàn)什么？

這道題比前面的第6題提高了一個思維層次，就是沒有規(guī)定方格的邊長是多少以及單位名稱是什么，給學生留下了自由發(fā)揮的空間。教師引導學生思考時可以把它默認成方格的邊長是1。如以周長24為例，可以讓學生理解成周長是24厘米、24分米、24米等。周長24，長加寬的和是12。對于三年級的學生來說，長和寬的長度僅限于自然數(shù)，那么就有以下幾種情況：①長11，寬1，面積是“11×1=11”;②長10，寬2，面積是“10×2=20”;③長9，寬3，面積是“9×3=27”;④長8，寬4，面積是“8×4=32”;⑤長7，寬5，面積是“5×7=35”;⑥長6，寬6，面積是“6×6=36”（如圖2）。

由此可得出結(jié)論：周長相等的長方形，面積不一定相等;周長相等的長方形，正方形的面積最大。如果僅滿足于得出這個結(jié)論還不夠，教師還要引導學生繼續(xù)思考：為什么正方形的面積最大？從圖2中的①號長方形到②號長方形，可以知道長減少1格（1個單位面積），寬就增加了10格（10個單位面積），也就是增加了1行;②號長方形的面積也可以從①號長方形的面積推導出來，即“（11-1）×2=20”;③號長方形的面積從②號長方形的面積推導出來，長減少1格（1個單位面積），寬就增加9格（9個單位面積），即增加了1行，列式是“（10-1）×3=27”。依此類推，④號長方形的面積是“（9-1）×4=32”，⑤號長方形的面積是“（8-1）×5=35”，⑥號長方形的面積是“（7-1）×6=36”。綜合觀察圖2右邊的算式②到算式⑥這5個算式，學生可以知道：第一個因數(shù)越來越小，第二個因數(shù)越來越大，兩個因數(shù)的差越來越小，直到兩個因數(shù)的差為0時，也就是正方形時，它的面積就最大。

完成第7題后，教師還要將其與前面的第6題進行比較，使學生進一步體會到：面積相等的圖形，周長不一定相等;面積相等的圖形，正方形的周長最短;周長相等的長方形，面積不一定相等;周長相等的長方形，正方形的面積最大。

（三）面積相等的長方形，正方形的周長最短

第三道題是三年級下冊第75頁第11題：下面每個□代表1平方厘米。在方格紙上，畫出面積是16平方厘米的長方形，你能畫幾個？算出它們的周長，填入表中。后面小精靈還提出了問題“你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？”

對于三年級的學生來說，長、寬的長度都是自然數(shù)，這時存在3種情形：第1種情形是長16厘米，寬1厘米，面積是16平方厘米，周長是“（16+1）×2=34（厘米）”;第2種情形是長8厘米，寬2厘米，面積是16平方厘米，周長是“（8+2）×2=20（厘米）”;第3種情形是長4厘米，寬4厘米，面積是“4×4=16（平方厘米）”，周長是“4×4=16（厘米）”。這個題目要根據(jù)面積來確定長、寬的長度，培養(yǎng)學生的逆向思維能力。從上述的分析中可知道，面積相等的長方形中，正方形周長最短。因為長和寬的長度相差越小，中間部分重合不算的邊數(shù)就越多。

在完成第11題后，教師還要回頭將其與前面的第7題進行比較，使學生進一步體會周長相等的長方形，正方形的面積最大;面積相等的長方形，正方形的周長最短。教師再將第11題與前面的第6題比較，使學生明白，這兩題的規(guī)律基本相同，只是第6題包括不規(guī)則圖形，第11題僅指長方形。從第6題到第11題，學生不但經(jīng)歷了從“不規(guī)則圖形的周長和面積關(guān)系”問題到“長方形的周長和面積關(guān)系”問題，也就是從一般到特殊的思維過程，還經(jīng)歷了從描給定圖形的一周邊線，再數(shù)或算出各個圖形的周長，進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程;此外，學生還經(jīng)歷了根據(jù)面積自己算出長、寬后，再畫出圖形，進而算出周長，在觀察、思考中得出規(guī)律的從直觀到抽象的思維過程。

三、設計后知識習題

任何一個數(shù)學知識，都不是孤零零的獨立存在，而是有著它的產(chǎn)生、發(fā)展和結(jié)果?！伴L方形的周長和面積關(guān)系”問題也不例外，其可延伸到其他由直線圍成的規(guī)則平面圖形，甚至延伸到由曲線圍成的平面圖形。

如學生在五年級上冊學習了多邊形的面積后，教師首先可改編三年級下冊第65頁第6題，將其變成：在方格圖上，分別畫出面積是16的長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形，然后比較一下它們的周長。你能發(fā)現(xiàn)什么？學生通過畫圖、思考會發(fā)現(xiàn)：面積相等的長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形，正方形的周長最短。

其次，教師可改編三年級下冊第65頁的第7題，把長方形、正方形擴展到平行四邊形、三角形、梯形：在方格紙上畫長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形，使它們的周長都相等，然后比較一下它們的面積。你能發(fā)現(xiàn)什么？學生通過畫圖、思考會發(fā)現(xiàn)：周長相等的長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形，正方形的面積最大。

當學生在六年級上冊學習了圓的周長和面積之后，還要讓學生做相應的習題，使他們對“由直線圍成的規(guī)則平面圖形的周長和面積關(guān)系”問題的認識提升到對“由直線、曲線圍成的平面圖形的周長和面積關(guān)系”問題的層次。

如該冊第74頁第16題為：有一根繩子長31.4 m，小紅、小東和小林分別想用這根繩子在操場上圍出一塊地。怎樣圍面積最大？這個題目探討的是當周長相等時，圍成什么圖形的面積最大。教師可讓學生通過實驗的方法，假設用這根繩子分別圍成長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓等，分別計算出它們的面積，學生就會發(fā)現(xiàn)圍出的圖形中圓的面積最大。雖然這題是*號題，并不要求全體學生掌握，但是根據(jù)《教育部辦公廳關(guān)于加強義務教育學校作業(yè)管理的通知》中提出的“鼓勵布置分層作業(yè)、彈性作業(yè)和個性化作業(yè)，科學設計探究性作業(yè)和實踐性作業(yè)，探索跨學科綜合性作業(yè)”的要求，有必要讓學生去探究。況且這道題是對三年級下冊第65頁第7題的拓展，將圖形由長方形和正方形擴展到由直線、曲線圍成的平面圖形，而且使學生對該類問題的認識擴展到小數(shù)、分數(shù)領(lǐng)域（31.4用分數(shù)表示是31[2/5]）。

教師可先讓學生獨立完成這道題目，然后小組交流想法，最后全班分享思考過程。

★圍成長方形

（1）長加寬的和：31.4÷2=15.7（m）;

（2）S長：1×14.7=14.7（m2）。

★圍成正方形

（1）邊長：31.4÷4=7.85（m）;

（2）S正：7.85×7.85=61.6225（m2）。

圍成平行四邊形的情形可從圍成長方形的情形推導得出：把長方形拉成平行四邊形，周長不變，高縮短，面積變小。因為長加寬的和等于15.7米的加法算式有無數(shù)個，所以圍成的長方形也有無數(shù)個。直到圍成正方形時，面積最大。

★圍成三角形

以圍成等腰三角形為例，邊分別為10 m、10 m、11.4 m，假設以11.4 m為底，高肯定小于10 m，面積小于57 m2（11.4×10÷2=57）。

圍成梯形的情形與三角形的情形類似。

★圍成圓

（1）r：31.4÷3.14÷2=5（m）;

（2）S圓：52×3.14=78.5（m2）。

通過實際圍的實驗、計算以及推理，學生不難得出“周長相等的平面圖形，圓的面積最大”的結(jié)論。

到了六年級下冊總復習時，該冊第89頁第5題為：在方格紙上畫出與給定的平行四邊形面積相等的圖形，你能畫幾個？你發(fā)現(xiàn)了什么？這個題目因為沒有明確畫怎樣的圖形，所以學生畫出的圖形可能是規(guī)則的，也可能是不規(guī)則的;可能是直線圖形，也可能是曲線圖形。據(jù)此，教師可以再一次聚焦于“面積相等的圖形，誰的周長最短”的問題，讓學生通過畫一畫、比一比，得出更為一般性的結(jié)論：面積相等的圖形，形狀不一定相同;面積相等的圖形，圓的周長最短。接著，教師可讓學生再次思考“周長相等的圖形，誰的面積最大”的問題，進而也得出更為一般性的結(jié)論：周長相等的圖形，圓的面積最大。

“長方形的周長和面積關(guān)系”問題，是一個不斷生發(fā)、鏈接的過程，學生的后一次探究都是對前一次認知的升華，從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的知識擴展到“圖形與幾何”領(lǐng)域，從規(guī)則圖形延伸到不規(guī)則圖形，從特殊結(jié)論回歸到一般性的結(jié)論，其知識網(wǎng)絡可以用如下思維導圖表示（如圖3）。

總之，教師需要做有心人，深入研究教材中彼此關(guān)聯(lián)的習題，加以設計、分析和有效利用，進而引導學生持續(xù)跟進，不斷提升認識層次，提高解決某類問題的能力。

參考文獻：

[1]吳金鵬. 小學數(shù)學習題的二次開發(fā)策略研究[J]. 教學月刊：小學版（數(shù)學）， 2022（5）.

[2]劉芳. 小學數(shù)學教材利用與開發(fā)策略——以蘇教版教材為例[J]. 小學數(shù)學教育， 2020（23）.

（責任編輯：楊強）