經(jīng)典重現(xiàn)，追蹤溯源

藍(lán)云波

通過(guò)對(duì)2022年新高考數(shù)學(xué)全國(guó)II卷的深入研究，筆者發(fā)現(xiàn)今年的很多高考試題都具有較強(qiáng)的創(chuàng)新性，同時(shí)又具有深刻的背景，并突出了對(duì)考生綜合素養(yǎng)的考查.2022年新高考全國(guó)II卷的壓軸題就是這樣的一道好題.為幫助考生們更高效地備考，下面通過(guò)對(duì)2022年全國(guó)II卷壓軸題的分析，談?wù)勗擃}的試題賞析、解法探究、題源分析與教學(xué)反思，以期對(duì)廣大師生有所幫助.現(xiàn)分析如下.

2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)壓軸題如下：

【試題】（2022年新高考全國(guó)II卷22）已知函數(shù)f（x）=xeax-ex.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<-1，求a的取值范圍;

一、試題賞析

2022年新高考數(shù)學(xué)全國(guó)II卷壓軸題具有以下的鮮明特點(diǎn)：

首先，試題的敘述較為簡(jiǎn)潔，直抵問(wèn)題的核心，使考生較為容易進(jìn)入答題狀態(tài)，為考生的平穩(wěn)發(fā)揮奠定一定的基礎(chǔ).第一問(wèn)較為基礎(chǔ)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性這一核心考點(diǎn)，由于第一問(wèn)沒(méi)有參數(shù)，難度不大，起點(diǎn)較低，只要具有一定的基礎(chǔ)即可做出來(lái).第二問(wèn)考查了較為熱門(mén)的不等式恒成立問(wèn)題，但卻不落俗套.第二問(wèn)入口較寬，為考生的發(fā)揮提供了各種可能，對(duì)考生的能力要求較高，體現(xiàn)出了高考?jí)狠S試題的選拔能力.第三問(wèn)則是經(jīng)典的數(shù)列型不等式問(wèn)題，解答的核心是通項(xiàng)比較法，在證明此不等式前，先要證明一個(gè)不等式，而這個(gè)不等式具有深刻的背景，即是經(jīng)典的對(duì)數(shù)平均不等式.體現(xiàn)出命題者高屋建瓴的命題技藝，使試題具有較強(qiáng)的典型性.

其次，2022年全國(guó)II卷的壓軸題面目溫和、表述簡(jiǎn)潔、設(shè)問(wèn)層層遞進(jìn)，易于入手而深入較難.后兩問(wèn)的解題的視角與切入點(diǎn)較多，能夠?yàn)榫哂幸欢芰Φ目忌罱ㄒ粋€(gè)適合自己發(fā)揮的平臺(tái)，只要基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，具有較強(qiáng)的分析問(wèn)題的能力，則可結(jié)合自己的實(shí)際，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行解答的.可以說(shuō)，今年的新高考全國(guó)II卷壓軸題是一道能甄別出考生能力與水平的一道好題.

再次，2022年全國(guó)II卷壓軸題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的主干知識(shí)與基本思想方法.注重學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.試題以超越函數(shù)為載體，綜合考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式恒成立問(wèn)題、數(shù)列型不等式的證明等考點(diǎn).體現(xiàn)出高考重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考查的原則，對(duì)考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力的要求特別高.是一道能很好地甄別出考生知識(shí)能力水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一道好題，并具有很強(qiáng)的選拔能力.

二、解法探究

在近年的全國(guó)卷高考試題中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題常常以超越函數(shù)為載體，命題呈現(xiàn)入口較寬，深入較難的特征.解答常有多個(gè)切入點(diǎn)，為考生的發(fā)揮提供了較多的可能性.一直以來(lái)，壓軸題都是讓廣大考生十分畏懼的考題，甚至有談之色變的恐懼心理.因此解題常常陷入困境.下面筆者將就2022年新高考全國(guó)II卷的考題的解法作較為細(xì)致深入的探究.

1. 第一問(wèn)的解答

【解析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x-1）ex，則f′（x）=xex，

當(dāng)x<0時(shí)，f′（x）<0，當(dāng)x>0時(shí)，f′（x）>0，

故f（x）的減區(qū)間為（-∞，0），增區(qū)間為（0，+∞）.

【點(diǎn)評(píng)】本題由于當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)不含參數(shù)，因此難度不大，較為基礎(chǔ)，只要具備一定的基礎(chǔ)知識(shí)與能力即可準(zhǔn)確求解.是較為平和的問(wèn)題，但卻平復(fù)了考生的緊張情緒，為后面考生的穩(wěn)定發(fā)揮奠定了基礎(chǔ)，體現(xiàn)出命題者人性化的關(guān)懷.

2. 第二問(wèn)的解答

【點(diǎn)評(píng)】直接構(gòu)造函數(shù)求解不等式恒成立問(wèn)題，是解答此類(lèi)問(wèn)題的最常見(jiàn)的方法，難點(diǎn)在于通過(guò)分類(lèi)討論求得函數(shù)的最值再解相關(guān)不等式，或找出矛盾區(qū)間，排除不適合題意的參數(shù)范圍.結(jié)合本題，難點(diǎn)在于對(duì)函數(shù)求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)還是一個(gè)超越函數(shù)，如果繼續(xù)進(jìn)行二次求導(dǎo)或多次求導(dǎo)也會(huì)陷入相同的境地，不利于問(wèn)題的求解，這也是本題的一大創(chuàng)新之處.如果從函數(shù)的端點(diǎn)值進(jìn)行分析，則可找到解題的切入點(diǎn)，也奠定了解題的基礎(chǔ).在解題過(guò)程中，這里給出的解法使用了一定的放縮技巧，優(yōu)化了解題過(guò)程.

題源1與2022年新高考全國(guó)II卷的命題方式可以說(shuō)是如出一轍，解答的方式與技巧也是相通的. 題源2第二問(wèn)則考查的是對(duì)數(shù)平均不等式，與2022年新高考全國(guó)II卷第三問(wèn)的背景是一致的. 讀者不妨嘗試解答下這兩題，以提高自己的能力與水平.

四、反思

通過(guò)對(duì)2022年新高考全國(guó)II卷壓軸題的分析，筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)解題中，教師與考生應(yīng)注意到：

1. 教師在引導(dǎo)學(xué)生的復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，不能讓學(xué)生一味盲目刷題，新高考特別注重考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，學(xué)生只有親歷了這些過(guò)程，才能更好地理解數(shù)學(xué)并愛(ài)上數(shù)學(xué). 在講解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要揭示問(wèn)題背景，揭示各種解法的來(lái)龍去脈，并讓學(xué)生親歷解題過(guò)程，找出解題瓶頸，找到合理的化解矛盾的良策. 在此基礎(chǔ)上在輔以一定量的具有針對(duì)性的練習(xí)，提高學(xué)生的認(rèn)知與解題水平.

2. 教師要重視學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在教學(xué)中要重視學(xué)生各種能力培養(yǎng). 如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的化歸與轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力、抽象概括能力的培養(yǎng)，這些都不是一朝一夕可以速成的. 教師不可急功近利，對(duì)各種解題方法與技巧的解決，重在揭示解題過(guò)程中的發(fā)生與升華過(guò)程，不能越俎代庖，不講原理，包辦一切解題過(guò)程.

3. 注重歷年高考真題的價(jià)值，發(fā)揮高考真題的育人價(jià)值.如2022年新高考全國(guó)II卷壓軸題，雖然總體難度較大，但并非高不可攀. 在歷年的很多考題中也能找到很多相關(guān)的題源，只要我們注重歷年經(jīng)典的高考真題與相關(guān)題根的教學(xué)與學(xué)習(xí)，就能跳出題海，提高解題能力，并在高考中取得好成績(jī).

4. 面對(duì)新高考面臨的各種挑戰(zhàn)，要做到心中有數(shù)，不要有畏懼心態(tài)，要有迎難而上的魄力. 只要學(xué)生的綜合素養(yǎng)提升了，就能有效應(yīng)對(duì)各種挑戰(zhàn). 因此，教師在平時(shí)的教育教學(xué)過(guò)程中，要灌輸以不變應(yīng)萬(wàn)變的觀念，不被各種口號(hào)所誤導(dǎo). 只要踏踏實(shí)實(shí)落在以培養(yǎng)學(xué)生的素養(yǎng)與能力這一實(shí)處，就一定會(huì)獲得成功.

【本文系廣東省十三五規(guī)劃立項(xiàng)課題“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的實(shí)踐與研究”（課題編號(hào)：2019YQJK272）階段性研究成果】

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)