關(guān)于提高初中生運(yùn)算能力的若干思考

鄭明娥

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是最基礎(chǔ)又應(yīng)用最廣泛的一種能力，運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合。計算能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)和保障。不論是數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)中的哪一科，始終都需以計算為前提。從近三年的福建省中考數(shù)學(xué)試卷來看，有40%的內(nèi)容需要運(yùn)算來進(jìn)行解題，而且65%的題目都需要直接或間接通過計算來解決相應(yīng)的問題，運(yùn)算量有逐年增加的趨勢。當(dāng)前初中生運(yùn)算能力整體偏弱，一些學(xué)生因計算出錯與高分失之交臂，導(dǎo)致自信心嚴(yán)重不足，甚至出現(xiàn)心理障礙。提高學(xué)生的運(yùn)算能力已是亟待解決的問題。

一、理解算理，夯實運(yùn)算根基

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理”。當(dāng)下很多老師認(rèn)為運(yùn)算教學(xué)關(guān)鍵是掌握算法，將公式法則教學(xué)為“告知執(zhí)行”，將“記公式法則，用公式法則”作為手段，通過做大量的練習(xí)來提高學(xué)生的運(yùn)算能力，忽略公式法則的形成過程。事實上，有些學(xué)生運(yùn)算出錯的重要原因是“法則混淆，記憶出錯”，究其原因是沒有經(jīng)歷公式法則的獲得過程。因此在運(yùn)算教學(xué)中，公式法則的由來是核心，它能幫助學(xué)生理解算理，掌握算法。因此在實際教學(xué)中，教師要給學(xué)生充足的時間和空間進(jìn)行探索，獲得公式法則的形成過程。

例如，在“整式的乘法”這一章的完全平方公式有兩個（a±b）2=a2±2ab+b2在具體應(yīng)用時很多學(xué)生直接寫成兩數(shù)的平方和（差）或者出現(xiàn)了項的概念不明確漏掉系數(shù)。出現(xiàn)以上錯誤的原因是教師把教學(xué)過程的重心放在了對公式的運(yùn)用上。為了避免出現(xiàn)以上錯誤，本節(jié)課可以這樣設(shè)計。

在（x+6），（x+6），（x-6），（2y+8）（2y-8），（2y-8）這些多項式中任意取兩個相乘（寫在黑板上）

問題1：哪個算式你能快且準(zhǔn)地計算？（追問：為什么能“秒殺”？）

問題2：其他算式你是怎樣計算的？

問題3：哪些算式在形式上比較特殊？具有怎樣的特征？（具有共性特征的等式往往具有研究價值）

問題4：觀察（a+b）2=a2+2ab+b2，（2a+1）2=4a2+4a+1， （a+6）2=a2+12a+36，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（讓學(xué)生獨立思考，歸納、總結(jié)出完全平方公式，并用文字語言敘述）

問題5：你能從多個角度說明完全平方公式的特征嗎？

①用多項式乘以多項式進(jìn)行驗證（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

②帶入數(shù)字驗算

③利用圖形驗證完全平方公式a

問題6：我們要怎樣記憶完全平方公式？①用字母表示（a+b）2=a2+2ab+b2

②用形象的符號代替字母表達(dá)完全平方公式：

③采用完全平方公式口訣進(jìn)行教學(xué)（首平方，尾平方，首尾2倍在中間）

通過問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察與思考，找出特征，再用類比的方法推導(dǎo)出完全平方公式。通過幾何圖形驗證公式，再一次深層次地領(lǐng)悟公式中a、b所表示的意義，2ab的產(chǎn)生過程。也讓學(xué)生體驗到了由特殊到一般的研究方法，數(shù)形結(jié)合的思想，為今后用數(shù)學(xué)思想解決問題提供了思維模式和空間。

二、規(guī)范表達(dá)，固化運(yùn)算技能

學(xué)生運(yùn)算的準(zhǔn)確率和速度很大程度上取決于學(xué)生的運(yùn)算習(xí)慣，在初學(xué)法則鞏固運(yùn)算法則的過程中，規(guī)范表達(dá)顯得尤為重要。規(guī)范表達(dá)就是嚴(yán)格要求學(xué)生按照必要解題步驟進(jìn)行敘述和書寫，這種規(guī)范表達(dá)的過程就是強(qiáng)化運(yùn)用法則的過程，也是使學(xué)生的思維系統(tǒng)化、嚴(yán)謹(jǐn)化的過程。如“完全平方公式”一課中完全平方公式推導(dǎo)驗證后，緊接著就是例題教學(xué)了。在這個過程中不僅要嚴(yán)格套用公式，還要標(biāo)注好公式中的a、b。

如解：（2x+1）2=（2x）2+2x2x+1+12 ！

說明：學(xué)生在學(xué)習(xí)了平方差和完全平方公式后，很多學(xué)生就把（2x+1）2=（2x）2+1或者等于 2x+2x+1，這里讓學(xué)生標(biāo)注a，先審題確定是利用完全平方公式進(jìn)行計算，再在頭腦中背出公式，最后確定公式中的a、b對應(yīng)的具體數(shù)字，讓自己的思維可視化。強(qiáng)化訓(xùn)練到基本無誤后，就不必標(biāo)a、b，但在用公式時仍需要學(xué)生默背公式。

又如，在解不等式21x=215-1+1

解：去分母得2+x6≤2131x6+1x6（不等號方向不變）

（1） （2+x）≤2（2x-1）+6

去括號得6+3x≤4x-2+6（2）

移項得3x-4x≤-2+6-6（3）

合并同類項（4）

系數(shù)化為1得（不等號方向改變）（5）

x≥2

說明：在學(xué)生初解不等式時，以上步驟最好都體現(xiàn)出來，不能出現(xiàn)跳步。而且對運(yùn)算能力較弱的學(xué)生要求體現(xiàn)第一步，防止學(xué)生對方程右邊整數(shù)項沒有同時乘以公分母，導(dǎo)致最終計算結(jié)果出錯。第五步也需強(qiáng)化，這樣書寫不但強(qiáng)化算法，還避免出現(xiàn)—2沒有除以—1的現(xiàn)象。這種規(guī)范讓學(xué)生進(jìn)一步明白每一步的算理和算法，當(dāng)然在達(dá)到一定的熟練程度后可優(yōu)化解題步驟，如（1）和（5）兩步就可省略了。

要讓學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范的表達(dá)習(xí)慣，不僅需要教師例題的板書示范，還需要教師對學(xué)生嚴(yán)格要求和持之以恒地貫徹落實。讓學(xué)生在運(yùn)用法則的過程中體驗規(guī)則意識，學(xué)會按規(guī)則計算，按步驟書寫，對提升學(xué)生的運(yùn)算能力效果顯著。同時能幫助學(xué)生養(yǎng)成按規(guī)定辦事、有序思考的辦事習(xí)慣，這些習(xí)慣對學(xué)生的終身發(fā)展起重要作用。

三、巧用錯題，提高思辨能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》總目標(biāo)提出“學(xué)生應(yīng)初步形成評價與反思意識”，俗話說“失敗乃成功之母”，從錯誤中吸取經(jīng)驗和智慧應(yīng)該是它的內(nèi)涵。學(xué)生在計算過程中總是會出現(xiàn)各種各樣的錯誤，且防不勝防，教師不能對學(xué)生一味地指責(zé)。我們要變廢為寶，挖掘錯誤的價值運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中。

首先，教師要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行錯因分析。有些學(xué)生計算中出現(xiàn)了錯誤，老師讓其訂正后，他在考試中做同類題目時，又出現(xiàn)同一知識點錯誤，而這個錯誤只要一點出來，學(xué)生就會恍然大悟，甚至捶胸頓足。原因就是學(xué)生根本就沒有認(rèn)真反思錯誤的原因，只是單純地把題目重做一遍。針對這種現(xiàn)象，老師一定要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行錯因分析，到底錯在哪一步，為什么錯？學(xué)生改正錯誤后，再給學(xué)生一個變式的訓(xùn)練，他們才能完成正確的求解過程，做到橫向突破。

其次，典型錯誤案例展示。老師在長期的教學(xué)過程中都有一套糾正錯誤的思路，但同一個錯誤背后的原因可能有所不同。在課堂中可以收集一些錯誤典例展示到黑板上，讓全體學(xué)生共同辨析錯在哪兒，為什么錯，怎樣預(yù)防錯誤?？梢越柚渌麑W(xué)生的錯誤算法警示，讓錯誤變成資源并加以有效利用，提高學(xué)生的運(yùn)算能力。

最后，建立學(xué)生錯題本。鼓勵學(xué)生把做錯的題目收集起來，經(jīng)過分類、歸納、整理逐步內(nèi)化成自己所需的東西。錯題本的解題整理，要用正確的解法，在易錯點旁邊標(biāo)注法則、方法、注意點，考試之前蓋住答案重新做，可提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確性。

四、綜合訓(xùn)練，提升心理素養(yǎng)

心理因素也是影響學(xué)生運(yùn)算能力的重要因素。首先，張冠李戴。初中生的感知能力不強(qiáng)，注意力分配能力不足，缺乏對信息深入的分析和加工處理。計算中學(xué)生把數(shù)字、符號看錯或抄錯，如—24x5，學(xué)生一看題目就寫上100。其次，僥幸心理。把計算出錯歸因為“粗心”，每次計算錯誤都可以原諒，老師在評價學(xué)生時也說這孩子太粗心、不認(rèn)真，學(xué)生自身沒認(rèn)識到計算的重要性、出錯的嚴(yán)重性，沒沉下心分析“出錯”的原因和采取補(bǔ)救措施。最后，畏難情緒。有些學(xué)生常因計算題繁雜難解而產(chǎn)生消極情緒，表現(xiàn)為沒有信心，不能認(rèn)真地審題，沒有耐心去選擇合理的算法。

教師要利用科學(xué)、有效的訓(xùn)練模式來提高學(xué)生的運(yùn)算水平，提升心理素養(yǎng)。以有理數(shù)的混合運(yùn)算的訓(xùn)練為例，首先，讓程度好的學(xué)生自編、改編計算題目，要有足夠的量，剛開始可以全是整數(shù)計算。其次，進(jìn)行“正負(fù)24點”游戲比賽。最后，限時讓學(xué)生訓(xùn)練，做到不打草稿、不跳步、不允許檢查，訓(xùn)練時量務(wù)必要大，爭取做到每一題混合運(yùn)算的試題都能“秒殺”。通過這樣的強(qiáng)化訓(xùn)練不僅能提高學(xué)生的心理素質(zhì)，還可糾正學(xué)生不良的計算習(xí)慣，形成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。

總之，提高學(xué)生的運(yùn)算能力是一項艱巨、長期的教學(xué)任務(wù)，我們要從思想上高度重視運(yùn)算能力的培養(yǎng)和提高，通過讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算算理和算法，規(guī)范解題步驟，利用錯題辨析，提升心理素養(yǎng)，幫助學(xué)生打好數(shù)學(xué)計算基礎(chǔ)，提升計算速度與準(zhǔn)確率，全面促進(jìn)學(xué)生整體學(xué)習(xí)能力的提升。

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注：本文系大田縣2020年基礎(chǔ)教育研究立項課題“核心素養(yǎng)視域下提高初中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的實踐研究”（TKTZ—2060）研究成果。