以生為本，數(shù)形結(jié)合領(lǐng)悟深層算理

楊雪芬

[摘要] 在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”一課的教學(xué)中，教師可以通過(guò)課前的調(diào)查與分析，把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，找到教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)，如消除學(xué)生對(duì)點(diǎn)子圖的陌生感及有效運(yùn)用點(diǎn)子圖幫助學(xué)生理解算理。在教學(xué)的過(guò)程中，教師則需要以生為本，通過(guò)回顧舊知、用圖形探究數(shù)學(xué)規(guī)律、利用數(shù)形結(jié)合找到數(shù)學(xué)算理等策略，幫助學(xué)生轉(zhuǎn)新為舊、循理入法、以理取法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

[關(guān)鍵詞] 兩位數(shù)乘兩位數(shù);數(shù)形結(jié)合;乘法運(yùn)算;小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

一、課前思考

數(shù)與形是數(shù)學(xué)學(xué)科中兩個(gè)常見(jiàn)的研究對(duì)象，借助一定的手段，可以使數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合將直觀的圖形與抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言相結(jié)合，把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以促進(jìn)新舊知識(shí)間的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)與問(wèn)題解決?！皟晌粩?shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”這節(jié)課是人教版教材三年級(jí)下冊(cè)課本中的內(nèi)容，在這之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算及兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘整十整百數(shù)的口算。對(duì)于三年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算是一次較大的飛躍，因?yàn)檫@一單元是小學(xué)階段四則運(yùn)算的重要內(nèi)容之一，不僅是本單元的重點(diǎn)，同時(shí)也是今后學(xué)生學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)及小數(shù)乘法的必備基礎(chǔ)知識(shí)。因此，如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理是這節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。但在之前的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生難以把豎式和點(diǎn)子圖中的四部分很好地聯(lián)系起來(lái)，更不用說(shuō)真正運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)理解豎式中的每一步算理。為了引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)結(jié)先備知識(shí)，輔以圖形表征進(jìn)行溝通，達(dá)到理解算理、突破難點(diǎn)的教學(xué)目標(biāo)，我們課題組進(jìn)行了課前的分析與調(diào)查。

其一，學(xué)生在此之前學(xué)習(xí)筆算的經(jīng)歷大多是借助擺小棒來(lái)理解算理，且在這個(gè)單元的口算學(xué)習(xí)中也是通過(guò)擺小正方體或?qū)嵨飯D的方式來(lái)幫助理解。而在本節(jié)課中，教材安排了借助點(diǎn)子圖的方式幫助學(xué)生理解算理、探究算法，進(jìn)而得到乘法算式的過(guò)程。點(diǎn)子圖相較于擺小棒和實(shí)物圖要更加抽象，對(duì)學(xué)生的思維能力要求更高。雖然對(duì)于點(diǎn)子圖而言，學(xué)生以前也接觸過(guò)，但并不熟悉，所以理解起來(lái)會(huì)有一定的困難。

其二，為了解學(xué)生是否會(huì)計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的乘法，教師讓一個(gè)班級(jí)的學(xué)生（37人）在學(xué)習(xí)本節(jié)課前進(jìn)行了課前小測(cè)，以檢測(cè)學(xué)生對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的算理、算法、豎式計(jì)算的掌握情況。

通過(guò)前測(cè)，教師了解到，學(xué)生中有19人能正確寫(xiě)出測(cè)試題中23×13的筆算過(guò)程，占總?cè)藬?shù)的51.35%。其中，考查算理的一題只有4個(gè)學(xué)生會(huì)填，這說(shuō)明在上課前有相當(dāng)一部分學(xué)生已經(jīng)通過(guò)各種方式掌握了筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的方法，但大部分學(xué)生對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理知其然而不知所以然。

通過(guò)對(duì)教材和學(xué)生知識(shí)起點(diǎn)的分析，教師發(fā)現(xiàn)，學(xué)生第一次接觸需要乘兩次的情況，部分學(xué)生對(duì)算法也有一定認(rèn)識(shí)，但對(duì)算理并不理解。另外，學(xué)生對(duì)點(diǎn)子圖也不熟悉，對(duì)把點(diǎn)子圖分成四部分以理解筆算的過(guò)程難以接受，教學(xué)不容易達(dá)到通過(guò)數(shù)形結(jié)合使學(xué)生變模糊接受為清晰理解的效果。因此，本節(jié)課需要重點(diǎn)研究如何解決以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）如何消除學(xué)生對(duì)點(diǎn)子圖的陌生感;（2）如何有效運(yùn)用點(diǎn)子圖幫助學(xué)生理解算理。

二、教學(xué)過(guò)程

基于上文的分析，教師做了以下處理與調(diào)整。首先，為了消除學(xué)生對(duì)點(diǎn)子圖的陌生感，更好地利用點(diǎn)子圖理解筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，教師在前面的“兩位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)”口算教學(xué)中除了使用實(shí)物圖外，還有意識(shí)地逐步過(guò)渡到用點(diǎn)子圖幫助學(xué)生理解口算的算理。其次，教師對(duì)運(yùn)用點(diǎn)子圖理解筆算過(guò)程的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行了分層處理，以降低理解的難度。

【教學(xué)片段一】回顧舊知，引出新知

師：你會(huì)口算2×12嗎？（課件出示：口算2×12）請(qǐng)進(jìn)行口算，并與同桌說(shuō)說(shuō)你的口算結(jié)果和過(guò)程。

師：我們?cè)趯W(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)的過(guò)程中借助了點(diǎn)子圖，把12個(gè)點(diǎn)分成10個(gè)點(diǎn)和2個(gè)點(diǎn)，先算2個(gè)2，再算2個(gè)10，再把他們合起來(lái)，也就是先分后合（板書(shū)如圖1），為什么要先分后合呢？

生：因?yàn)橐研聦W(xué)的知識(shí)嘗試用舊知識(shí)來(lái)解決。

在教學(xué)本單元的乘法口算時(shí)，教師有意識(shí)地讓學(xué)生利用點(diǎn)子圖來(lái)理解口算過(guò)程，消除了學(xué)生對(duì)點(diǎn)子圖的陌生感。所以，在復(fù)習(xí)鋪墊環(huán)節(jié)，教師再次安排用點(diǎn)子圖回顧“2×12”的口算過(guò)程，此復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)很流暢，節(jié)省了重新學(xué)習(xí)點(diǎn)子圖的時(shí)間，同時(shí)也為學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課中利用點(diǎn)子圖理解筆算過(guò)程的新知打下了基礎(chǔ)。

【教學(xué)片段二】用點(diǎn)子圖探究14×12的口算

師：我們通過(guò)先分后合的方法把新知識(shí)轉(zhuǎn)化成舊知識(shí)，那么我們?cè)趯W(xué)習(xí)今天這些新知識(shí)時(shí)能不能也利用這些方法呢？（事先用課件把書(shū)本轉(zhuǎn)化成電子圖）

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出學(xué)習(xí)單，找到點(diǎn)子圖（如圖2），思考：可以把12套書(shū)分成幾套和幾套？提示一下，為的是能轉(zhuǎn)化成我們已學(xué)過(guò)的知識(shí)哦。

師：哪個(gè)同學(xué)能拿著你的學(xué)習(xí)單上來(lái)展示一下想法？

生1：先把12套分成6套和6套，再用14×6=84（本），2個(gè)84，84+84=168（本）。

生2：我是先把12套分成10套和2套，10×14=

140（本），2×14=28（本），再把兩份合起來(lái)。

師：還有其他想法嗎？老師收集了一些同學(xué)的方法，我們一起來(lái)看看。第一種方法把12套分成了10套和2套，第二種方法把12套分成6×2套，第三種方法把12套分成3×4套，第四種方法把12套分成4套和8套。這些方法五花八門(mén)，但他們的方法都用到了先分后合，那這樣分的目的是什么？

生：要達(dá)到口算的目的。

師：這也是把新知識(shí)轉(zhuǎn)化成舊知識(shí)。這些都是口算的方法，那兩位數(shù)乘兩位數(shù)能不能筆算呢？（板書(shū)課題）

教學(xué)過(guò)程中教師提供給學(xué)生直觀的點(diǎn)子圖作為研究素材，讓學(xué)生嘗試?yán)靡延械闹R(shí)解決新問(wèn)題，并要求學(xué)生用點(diǎn)子圖把自己的方法表示出來(lái)，這是讓學(xué)生經(jīng)歷用圖示表征并解釋算法的過(guò)程。在復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)中強(qiáng)調(diào)運(yùn)用“先分后合”把新知轉(zhuǎn)化成舊知的數(shù)學(xué)思想，這為接下來(lái)學(xué)生嘗試解決本節(jié)課新知計(jì)算“14×12”提供了思考方向。所以，當(dāng)學(xué)生遇到“14×12”這種兩位數(shù)乘兩位數(shù)的新問(wèn)題時(shí)，就能自然而然地聯(lián)想到運(yùn)用這種方法來(lái)解決。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法雖然有很多種，且這些方法還都不完全相同，但歸根結(jié)底，它們實(shí)際上都是運(yùn)用了“先分后合”“新舊知識(shí)轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。

【教學(xué)片段三】數(shù)圖結(jié)合，理解計(jì)算方法背后的算理

師：兩位數(shù)乘兩位數(shù)該怎樣筆算呢？可以繼續(xù)借助點(diǎn)子圖幫我們想一想怎樣筆算。筆算列豎式和一位數(shù)那會(huì)兒是一樣的，相同數(shù)位對(duì)齊。例如，在筆算14×12時(shí)，你認(rèn)為應(yīng)該先算什么，再算什么？和同桌討論一下。

生1：我認(rèn)為應(yīng)該先算個(gè)位即14×2，再算14×10。

生2：我認(rèn)為應(yīng)該先算2×14，再算10×14。

師：大家都是把12分成了10和2，先算14×2?，F(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們拿出點(diǎn)子圖，像老師這樣分一分，把 12 套分成10套和2套，再用算式表示出來(lái)。（課件演示把12套分為10套和2套，如圖3）

通過(guò)課件和讓學(xué)生再分一分、圈一圈，直觀而完整地呈現(xiàn)出把圖中12套分成10套和2套的過(guò)程，并對(duì)應(yīng)是哪個(gè)算式。基于此，學(xué)生對(duì)點(diǎn)子圖與算式的聯(lián)系就能建立起來(lái)，而不是分開(kāi)而獨(dú)立地理解。

師：這是我們的口算過(guò)程，那現(xiàn)在同學(xué)們嘗試著用豎式把口算過(guò)程記錄下來(lái)。注意，豎式的記錄要體現(xiàn)第一步算2套的，第二步算10套的，第三步再合并起來(lái)（過(guò)程略）。

師：我們來(lái)分析一下這位同學(xué)寫(xiě)的豎式是否體現(xiàn)了我們剛剛的口算過(guò)程。比如，28是怎么來(lái)的？

生：14×2，也就是2套書(shū)的。

師：那140又是怎么得來(lái)的，是圖中的哪一部分？

師：第一步先算2套書(shū)的本數(shù)，第二步算10套書(shū)的本數(shù)，第三步把兩部分合并起來(lái)。也就是說(shuō)這兩道豎式都對(duì)了。

師：下面我們?cè)賮?lái)仔細(xì)看下每一步算的是什么。第一步算2套的，14×2，大家還記得14×2 是怎么算的？

生：以前學(xué)過(guò)，是把14分成10和4，先算4×2=8，

再算10×2=20，最后算8+20=28。

師：先算4×2=8，是圖里的哪一部分？再算 10×2=20，又指的是圖里的哪一部分？

師：再算10套書(shū)的，也就是14×10，14×10我們又是把什么分成的？

生：把14分成10和4。

師：先算10套，每套4本書(shū)的總本數(shù)，也就4×10，誰(shuí)來(lái)指一下？4個(gè)10是40，4寫(xiě)在十位，個(gè)位這個(gè)“0”是否可以不寫(xiě)？為什么？

生：可以不寫(xiě)，應(yīng)該4寫(xiě)在十位上表示40。

師：再算10套10本的，10個(gè)10本是多少？所以百位寫(xiě)“1”，再把兩部分合起來(lái)，8+0=8，2+4=6，把“1”拉下來(lái)，所以14×12=168（本）?，F(xiàn)在同學(xué)們明白筆算怎么算了嗎？請(qǐng)大家一起來(lái)說(shuō)一說(shuō)筆算過(guò)程。

在過(guò)往的教學(xué)實(shí)踐中教師發(fā)現(xiàn)，如果一口氣把點(diǎn)子圖劃分成四部分來(lái)理解算理，學(xué)生學(xué)起來(lái)相當(dāng)吃力，且多數(shù)學(xué)生吸收不了。所以，這節(jié)課我們進(jìn)行了分層處理，利用點(diǎn)子圖與數(shù)形結(jié)合思想來(lái)幫助學(xué)生理解算

理。即：

第一，引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算12套書(shū)總本數(shù)。教師先把12套書(shū)分成10套和2套，再引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)點(diǎn)子圖分一分，為的是理解在計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，可以通過(guò)先分后合的方法轉(zhuǎn)化成兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)，也就是把 14×12分成14×2和14×10，最后把兩次的乘積加起來(lái)。由于有前面“2×12”口算過(guò)程的鋪墊，學(xué)生理解這一層不難。接著，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用豎式來(lái)記錄口算過(guò)程，提示豎式要體現(xiàn)口算的三步。這樣，學(xué)生就可以初步把豎式計(jì)算過(guò)程同口算過(guò)程、點(diǎn)子圖緊密聯(lián)系起來(lái)，再通過(guò)圖形表征、算式表征與計(jì)算方法之間的聯(lián)系來(lái)理解14×12的結(jié)果。

第二，利用前面點(diǎn)子圖與口算過(guò)程的關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)把點(diǎn)子圖和14×2 的筆算過(guò)程聯(lián)系起來(lái)以理解算理。具體為，把2套點(diǎn)子圖再分成兩份，就是把14本分成10本和4本，也就是用2分別與4和10相乘。在教學(xué)這部分時(shí)，圖中的10套虛化處理，為的是突出2套，豎式中12的1也遮擋住，這樣也就是與口算的算理及計(jì)算過(guò)程一致，學(xué)生就很容易理解。同時(shí)，在教學(xué)“14×10”時(shí)也一樣，兩層的處理都需要教師緊密聯(lián)系口算、點(diǎn)子圖與計(jì)算過(guò)程之間的關(guān)系，化新為舊，讓學(xué)生在操作中從“形”的方面進(jìn)行具體思考，并漸漸過(guò)渡到對(duì)“數(shù)”的理解，再上升為理解算理的層次。最后，教師需要在點(diǎn)子圖中尋找豎式計(jì)算的足跡，幫助學(xué)生還原最簡(jiǎn)單、最直觀的道理和方法，使算法和算理有機(jī)地融為一體。

三、思考與啟示

數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)中的一種重要的思想與方法，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化及配合來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往能達(dá)到把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題形象化的效果。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際，以學(xué)生為本，充分利用這種思想進(jìn)行課程教學(xué)的改進(jìn)與優(yōu)化。

第一，關(guān)注學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、促進(jìn)新舊知識(shí)間的關(guān)聯(lián)、把握好學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)是設(shè)計(jì)適合學(xué)生自主學(xué)習(xí)的教學(xué)過(guò)程的基本立足點(diǎn)。教師通過(guò)了解學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，充分利用已有知識(shí)為學(xué)習(xí)新的知識(shí)而服務(wù)，化新為舊，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

第二，教師應(yīng)以生為本，適時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。計(jì)算教學(xué)不僅是要教給學(xué)生計(jì)算方法，更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生掌握算理并提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，小學(xué)生的思維能力處于從直觀到抽象發(fā)展的階段。三年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，需要借助較多的動(dòng)手操作實(shí)踐和直觀表象展示作為支撐。利用數(shù)形結(jié)合的方法，教師可以有效地將“冰冷”的算法和“神秘”的算理進(jìn)行深層次融合，啟發(fā)學(xué)生“循理入法，以理取法”，通過(guò)道理的引領(lǐng)讓法則的建立有根基，通過(guò)算理的支持讓枯燥的算法豐潤(rùn)起來(lái)。例如，教師可以通過(guò)借助直觀手段（如點(diǎn)子圖）與算式相對(duì)應(yīng)，產(chǎn)生數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生親歷建構(gòu)兩位數(shù)乘兩位數(shù)數(shù)學(xué)模型這一過(guò)程。而這個(gè)過(guò)程必須以生為本，教師除了要全盤(pán)考慮知識(shí)體系外，還要站在學(xué)生的思維角度去思考問(wèn)題，從學(xué)生的實(shí)際水平出發(fā)，正確把握好教學(xué)內(nèi)容的難易程度，并根據(jù)學(xué)生的知識(shí)水平進(jìn)行教學(xué)策略調(diào)整，引領(lǐng)學(xué)生厘清數(shù)形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，以此把握數(shù)學(xué)問(wèn)題中的諸多內(nèi)隱道理與方法，從而達(dá)到化難為易和化繁為簡(jiǎn)的目的。

總之，在計(jì)算教學(xué)中，教師應(yīng)該以學(xué)生為中心，以最大限度地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力為重，在此基礎(chǔ)上打造數(shù)形結(jié)合的高效數(shù)學(xué)課堂。

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