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    重本夯基追本溯源固本開新

    2022-05-30 18:07:40石先兵
    新課程·上旬 2022年23期
    關(guān)鍵詞:尺規(guī)格點(diǎn)直尺

    石先兵

    筆者近期參與了本地區(qū)九年級(jí)多校聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷的閱卷工作,批改的是一道幾何解答題,共兩小問。第(1)問源于課本,考查用“邊邊邊”證明兩個(gè)三角形全等,第(2)問考查用無刻度直尺作圖。兩小問的組合考查基于核心素養(yǎng),全方位考查學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用能力,引起筆者強(qiáng)烈的研究興趣。

    一、題目呈現(xiàn)

    (1)圖1是一個(gè)測(cè)角儀器,其中MA=NA,MC=NC?,F(xiàn)將點(diǎn)A與角的頂點(diǎn)重合,AM和AN沿角的兩邊放下,沿AC畫出射線AP,試證明射線AP是這個(gè)角的平分線。

    (2)圖2是10×7的方格紙,紙中每個(gè)小方格都是完全相同的正方形,∠EOF(點(diǎn)O在格點(diǎn)上)畫在方格紙上,請(qǐng)利用格點(diǎn)和無刻度直尺作出∠EOF的角平分線。

    二、特色解讀

    (一)源于教材,高于教材

    本題第(1)問源于人教版八年級(jí)上冊(cè)第十二章全等三角形中12.3“角平分線的性質(zhì)”的思考,由角平分儀的工作原理引入作一個(gè)已知角的角平分線的依據(jù):由“邊邊邊”判定兩個(gè)三角形全等從而得到角平分線,也為第(2)問用無刻度直尺作圖提供了方向——通過構(gòu)造全等三角形(邊邊邊)尋找角平分線。第(2)問是要求在方格紙中用無刻度直尺作出角平分線,考查學(xué)生的遷移能力和應(yīng)用意識(shí),除了要知道格子中隱含的幾何元素的關(guān)系:線段的位置關(guān)系(平行或垂直)和數(shù)量關(guān)系(相等),還要從已有的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)積累中找到解決問題的源頭。最后的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中第(1)問的得分率達(dá)到了95%,第(2)問的得分率不到30%,可以看出第(2)問對(duì)學(xué)生的思維能力提出了挑戰(zhàn),這也恰恰是目前作圖題的命題趨勢(shì)。

    (二)打破傳統(tǒng),考查素養(yǎng)

    直尺是用來作直線,而圓規(guī)是用來作等長(zhǎng)的線段,尺規(guī)作圖就是通過作等長(zhǎng)的線段來達(dá)成目的。而用無刻度直尺作圖實(shí)際上是進(jìn)一步約束條件:只用直尺作圖,雖然失去了圓規(guī)的助力,卻把尺規(guī)作圖中的操作與思維結(jié)合起來,把幾何直觀和邏輯推理融合。用無刻度直尺作圖是基于尺規(guī)作圖,除了考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力,也需要學(xué)生在已有的知識(shí)、方法基礎(chǔ)上,在自己思維的最近發(fā)展區(qū),通過聯(lián)想建構(gòu)達(dá)到解決問題的目的。在整個(gè)解決問題的過程中,第(1)問考查了幾何直觀、空間觀念、推理能力等核心素養(yǎng),第(2)問更是全面考查了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

    (三)升華題型,凸顯本質(zhì)

    第(1)問到第(2)問是從常規(guī)的幾何證明題到用無刻度直尺作圖,也要求學(xué)生從明確解題目標(biāo)到明確解題方向過渡。傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖往往明確要求只需用一種或多種基本作圖就可以作出圖形。而用無刻度直尺作圖,需要學(xué)生根據(jù)題中已知信息結(jié)合圖形的幾何特征來確定兩個(gè)點(diǎn)或一個(gè)點(diǎn)(另一個(gè)點(diǎn)已知),再利用“兩點(diǎn)確定一條直線”這一基本事實(shí)用直尺畫出圖形。雖說平時(shí)的教學(xué)中不要求學(xué)生寫出作圖過程,但學(xué)生只有對(duì)作圖原理了然于心,才能順利解決問題。因此在教學(xué)中,教師除了要教會(huì)學(xué)生如何尺規(guī)作圖,還要教會(huì)學(xué)生論證為什么這樣尺規(guī)作圖。這樣學(xué)生才會(huì)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和原理,提升思維能力,才能深入思考,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。

    三、思路分析及解法

    如圖3,方格中角的兩邊上有P1、P2、P3、P4、P5、O和Q這7個(gè)格點(diǎn),特別是點(diǎn)Q是方格中OF邊上唯一的格點(diǎn),利用直角三角形可知OQ和OP1的長(zhǎng)度都是5個(gè)單位長(zhǎng)度。第(2)問用無刻度直尺作角平分線,在點(diǎn)O的基礎(chǔ)上需要再找到一個(gè)到點(diǎn)Q和點(diǎn)P1距離相等的格點(diǎn)就可以了。但如何從表格中眾多的格點(diǎn)找到適合條件的格點(diǎn)呢?

    不妨先動(dòng)手畫出角平分線的草圖(鉛筆畫出),以縮小探究的范圍,結(jié)合得到的條件OQ=OP1,鎖定目標(biāo)格點(diǎn),再結(jié)合已有的知識(shí)加以驗(yàn)證。有哪些與角平分線有關(guān)的知識(shí)或方法呢?追本溯源,可知:①利用尺規(guī)作圖中作一個(gè)已知角的角平分線的依據(jù):構(gòu)造三角形全等;②等腰三角形“三線合一”的性質(zhì);③菱形的對(duì)角線性質(zhì);④等腰三角形和平行四邊形的組合可以得到角平分線;等等。

    基于以上的分析,第(2)問生成了多種解法。

    解法1:考慮到OQ=OP1且OP1是水平的線段,取水平線段CQ=OP1,如圖4,用無刻度直尺作出射線OC即可。這里利用CQ=OQ且CQ//OP1得到∠QCO=∠QOC,∠QCO=∠COP1,從而∠QOC=∠COP1,即射線OC為∠EOF的角平分線。也可以如圖構(gòu)造菱形OQCP1,根據(jù)菱形對(duì)角線的性質(zhì)也可以得到射線OC為∠EOF的角平分線。

    解法2:考慮到OQ=OP1,可知△OQP1為等腰三角形,利用等腰三角形“三線合一”找出底邊的中點(diǎn)即可得到頂角的角平分線。利用格子中的平行線和相等線段可以構(gòu)造平行四邊形,也可以通過平行線構(gòu)造相似找到QP1的中點(diǎn)。

    利用相似,構(gòu)造基本圖形和I是線段QH的中點(diǎn)得到線段QP1的中點(diǎn)D。射線OD即為∠EOF的角平分線。

    解法3:利用格子中水平豎直的線段構(gòu)造全等的三角形,得到∠EOF的角平分線。

    四、教學(xué)思考

    (一)注重教材,夯實(shí)基礎(chǔ),掌握基本技能

    作為教學(xué)和學(xué)習(xí)的第一手材料,教材應(yīng)引起教師和學(xué)生的高度重視。尺規(guī)作圖作為中考??嫉念}型,年年中考試題雖各不相同,但考查的主要內(nèi)容基本一致。除了要求掌握的五種基本作圖外,教材在部分幾何內(nèi)容中也有涉及尺規(guī)作圖,如三角形全等判定中的探究活動(dòng),求作等腰三角形,作一些特殊的正多邊形等,教學(xué)中教師可以加以利用,也可作適當(dāng)拓展,如用尺規(guī)作圖作出等邊三角形、平行四邊形,過圓外一點(diǎn)作出圓的兩條切線等,這樣既可以使學(xué)生熟練掌握基本技能,又可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

    (二)回歸知識(shí),追本溯源,發(fā)展綜合能力

    對(duì)于尺規(guī)作圖問題,教師在教學(xué)過程中不僅要教學(xué)生怎么尺規(guī)作圖,還要剖析尺規(guī)作圖的原理,明白為什么這樣作?!包c(diǎn)”是構(gòu)成幾何圖形的最基本元素,尺規(guī)作圖是通過“確定點(diǎn)”來實(shí)現(xiàn)的,因此解答尺規(guī)作圖題需根據(jù)題意分析確定的點(diǎn)應(yīng)滿足怎樣的條件,并運(yùn)用尺規(guī)作圖的本質(zhì)——作等長(zhǎng)的線段確定相應(yīng)的點(diǎn),而用無刻度直尺作圖就是用來畫直線、射線、線段的。教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系,歸納總結(jié)解決問題的知識(shí)或方法源頭,如本題中可以歸納總結(jié)和角平分線有關(guān)的知識(shí)或方法:①構(gòu)造全等三角形得到相等的角也包括角平分線的判定定理;②菱形的對(duì)角線平分每一組對(duì)角;③等腰三角形“三線合一”;④等腰三角形和平行線的組合可得到相等的角;等等。明白了問題的本質(zhì),探尋到解決問題的知識(shí)源頭,形成解決問題的方法,這就是培養(yǎng)學(xué)生解決問題的綜合應(yīng)用能力。

    (三)逆推綜合,固本開新,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

    近幾年中考的尺規(guī)作圖題靈活多變,不再直白要求作什么,往往需要綜合分析題意才明白需要怎么作出圖形。本題用無刻度直尺作角平分線,就需要認(rèn)真分析。第一步,根據(jù)題目觀察特殊的格點(diǎn)特別是角的兩邊上的格點(diǎn),如點(diǎn)Q,從而關(guān)注線段OQ=OP1;第二步,可以用鉛筆直接畫出角平分線的草圖,結(jié)合OQ=OP1分析在假設(shè)的角平分線上的格點(diǎn)如何通過無刻度直尺畫出,結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)得到該格點(diǎn)就是角平分線上的點(diǎn);第三步,用直尺畫出需要的直線或線段并加以驗(yàn)證。其中第二步需要學(xué)生在假設(shè)的角平分線上先鎖定目標(biāo)格點(diǎn),再綜合已有的知識(shí)和方法,結(jié)合已知條件,找到目標(biāo)格點(diǎn)符合條件的作法,這就是逆向推理,然后再理順?biāo)悸?,從條件出發(fā),作出符合條件的圖形。這是在數(shù)學(xué)解題中常用的方法。分析后再綜合,從結(jié)論到條件,再從條件到結(jié)論,這對(duì)學(xué)生的思維能力提出了更高的要求。教師在教學(xué)過程中就需要通過對(duì)所學(xué)內(nèi)容或方法進(jìn)行有機(jī)整合、整體設(shè)計(jì),這樣學(xué)生既能加深對(duì)知識(shí)的理解和體會(huì),還能將所學(xué)知識(shí)和方法遷移和應(yīng)用,從而促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。

    注:本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度教育教學(xué)改革專項(xiàng)課題“基于初小銜接的數(shù)學(xué)教材梳理與校本作業(yè)設(shè)計(jì)研究”(Fjjgzx20-009)的研究成果。

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