高中數(shù)學(xué)解題思想與策略研究

劉紅梅

華羅庚先生說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個(gè)方面，無處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)?！睌?shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙，而在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中，很多學(xué)生苦于數(shù)學(xué)題目之繁雜對(duì)其望而卻步，想要學(xué)好數(shù)學(xué)，經(jīng)歷提出問題到解決問題的過程，會(huì)解題是至關(guān)重要的，本文整理部分高中數(shù)學(xué)解題思想與策略提供參考。

一、高中數(shù)學(xué)解題思想一：函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是指運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，通過建立函數(shù)關(guān)系（或構(gòu)造函數(shù)）運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題;方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題轉(zhuǎn)化為方程（方程組）或不等式模型（方程、不等式等）去解決問題。利用轉(zhuǎn)化思想我們還可進(jìn)行函數(shù)與方程間的相互轉(zhuǎn)化。

二、高中數(shù)學(xué)解題思想二：數(shù)形結(jié)合思想

中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為兩大部分，一部分是數(shù)，一部分是形，但數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合或形數(shù)結(jié)合。它既是尋找問題解決切入點(diǎn)的“法寶”，又是優(yōu)化解題途徑的“良方”，因此我們?cè)诮獯饠?shù)學(xué)題時(shí)，能畫圖的盡量畫出圖形，以利于正確地理解題意、快速地解決問題。

高中數(shù)學(xué)解題思想三：特殊與一般的思想

用這種思想解選擇題有時(shí)特別有效，這是因?yàn)橐粋€(gè)命題在普遍意義上成立時(shí)，在其特殊情況下也必然成立，根據(jù)這一點(diǎn)，我們可以直接確定選擇題中的正確選項(xiàng)。不僅如此，用這種思想方法去探求主觀題的求解策略，也同樣精彩。

三、高中數(shù)學(xué)解題思想四：極限思想

極限思想解決問題的一般步驟為：對(duì)于所求的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，再確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量，然后構(gòu)造函數(shù)（數(shù)列）并利用極限計(jì)算法則得出結(jié)果，或利用圖形的極限位置直接計(jì)算結(jié)果。

四、高中數(shù)學(xué)解題思想五：分類討論思想

我們常常會(huì)遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行下去，這是因?yàn)楸谎芯康膶?duì)象包含了多種情況，這就需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合歸納得解，這就是分類討論。引起分類討論的原因很多，數(shù)學(xué)概念本身具有多種情形，數(shù)學(xué)運(yùn)算法則、某些定理、公式的限制，圖形位置的不確定性、變化等均可能引起分類討論。在分類討論解題時(shí)，要做到標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏。

了解各類解題思想后，就可以對(duì)問題進(jìn)行具體分析。一般說來，對(duì)于題目的熟悉程度，取決于對(duì)題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解。從結(jié)構(gòu)上來分析，任何一道數(shù)學(xué)題，都包含條件和結(jié)論（或問題）兩個(gè)方面。按照波利亞的觀點(diǎn)，在解決問題之前，應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識(shí)點(diǎn)和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題。

對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題，常?？梢圆煌膫?cè)面、不同的角度去認(rèn)識(shí)。因此，根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)調(diào)整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。

數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常常可以有不同的表現(xiàn)形式;條件與結(jié)論（或問題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構(gòu)造圖形（點(diǎn)、線、面、體），構(gòu)造算法，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造等價(jià)性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。

在分析好條件和結(jié)論（或問題）之間的關(guān)系后，就可以進(jìn)行問題簡單化策略。所謂簡單化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)，要設(shè)法把其轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡單、易于解答的新題，以便通過對(duì)新題的考察，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題。

簡單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說來，我們對(duì)于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。因此，在實(shí)際解題時(shí)，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已。

解題中，實(shí)施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有： 尋求中間環(huán)節(jié)，分類考察討論，簡化已知條件，恰當(dāng)分解結(jié)論等。

一、尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件：

在某些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題中，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經(jīng)過適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化的一條重要途徑。

二、分類考察討論：

在某些數(shù)學(xué)題種，解題的復(fù)雜性主要在于它的條件、結(jié)論（或問題）包含多種不易識(shí)別的可能情形。對(duì)于這類問題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列的簡單題，有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化。

三、簡單化已知條件：

有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時(shí)，不妨簡化題中某些已知條件，甚至?xí)簳r(shí)撇開不顧，先考慮一個(gè)簡化問題。這樣簡單化了的問題，對(duì)于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。

四、恰當(dāng)分解結(jié)論：

有些問題中解題的主要困難，來自結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來，這時(shí)，不妨猜想一下，能否把結(jié)論分解為幾個(gè)比較簡單的部分，以便各個(gè)擊破，解出原題。

誠然，高中數(shù)學(xué)思想與策略沒有十分固定的模式，在具體應(yīng)用中還需根據(jù)問題的不同具體分析研究，而數(shù)學(xué)本身就是最寶貴的研究精神之一。