典型帶挑臂鋼箱主梁渦激力模型研究

胡朋 陳屹林 蔡春聲 林偉 韓艷

摘 要：為研究帶挑臂鋼箱主梁的渦激力模型，研究中以一座主跨為160m的斜拉橋?yàn)楣?程背景，首先采用雙向流固耦合的數(shù)值模擬方法對帶挑臂鋼箱主梁的渦振全過程進(jìn)行了數(shù)值 模擬分析，計(jì)算出主梁斷面在不同風(fēng)速下的渦振幅值，并與風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比.然后，基 于已驗(yàn)證的數(shù)值模擬結(jié)果提取了主梁的渦激力時(shí)程，并以重構(gòu)的渦激力值與目標(biāo)值的殘差大小建立了針對帶挑臂鋼箱主梁的渦激力數(shù)學(xué)模型.最后，通過四階 Runge-Kutta 法反算出主梁的渦振響應(yīng)以進(jìn)一步驗(yàn)證所提渦激力模型的準(zhǔn)確性，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了該主梁斷面的渦振 穩(wěn)態(tài)振幅表達(dá)式.結(jié)果表明：數(shù)值模擬計(jì)算的主梁渦振鎖定區(qū)間及渦振振幅值與風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果較為吻合，當(dāng)來流風(fēng)速為7.2m/s時(shí)，渦振幅值達(dá)到最大.對帶挑臂鋼箱主梁的渦激力時(shí)程作頻譜分析發(fā)現(xiàn)，除最顯著的一階主頻外，還存在二階和三階倍頻，這種現(xiàn)象表明了該主梁渦激力具有一定的非線性特性.基于推導(dǎo)的帶挑臂鋼箱主梁渦振穩(wěn)態(tài)振幅的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)了該主梁渦振穩(wěn)態(tài)振幅隨系數(shù)P12 絕對值的增大而減小，而隨系數(shù)P10的增大而增大.

關(guān)鍵詞：大跨度橋梁;帶挑臂鋼箱主梁;風(fēng)荷載;數(shù)值模擬;渦激力模型

中圖分類號：U442? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Study on Vortex-induced Forcemodel of a Typical Steel Box Girder with Projecting Slabs

HU Peng1，CHEN Yilin1，CAI Chunsheng1，2，LIN Wei1，3，HAN Yan1?

（1.School of Civil Engineering，Changsha University of Science & Technology，Changsha410114，China;2.School of Transportation，Southeast University，Nanjing 211189，China;3.Guangzhou Urban Construction Planning & Design Institute Co.Ltd，Guangzhou 510230，China）

Abstract：To study the vortex-induced forcemodel of the steel box girder with projecting slabs， a cable-stayed bridge with amain span of160mwas taken as the engineering background in this paper.First， a numerical simula-tionmethod with two-way fluid-structure interaction was used to analyze the whole process of vortex-induced vibra-tion of a steel box girder with projecting slabs.The vibration amplitudes of the main girder section were calculated un-der different wind speeds， and they were compared with those of wind tunnel tests.Then， the time-history of vortex-induced force of themain girder was extracted based on the validated numerical simulation results.Amathematicalmodel of the vortex-induced force for the steel box girder with projecting slabs was established according to the re-sidual values between the reconstituted and target vortex-induced forces.Finally， the vortex-induced response of themain girder was inversely solved by using the fourth-order Runge-Kuttamethod to further verify the accuracy of the proposed vortex-induced forcemodel， and on this basis， the steady amplitude expression of vortex-induced vibration of the main girder was deduced.The results show that the lock-in range and the amplitudes of the vortex-induced vi-bration for the main girder obtained from the numerical simulations agree well with those obtained from the wind tun-nel tests， and themaximumamplitude occurs at the oncoming wind speed of 7.2m/s; in addition to the most impor-tant fundamental-frequency component， there are also double-and triple-frequency components when conducting the spectrumanalysis on the time-history of vortex-induced force of the main girder， which implies that the vortex-induced force of the main girder exhibits certain nonlinear characteristics; according to the proposed expression for the steady amplitude of vortex-induced vibration of the main girder， it is found that the steady amplitude decreases with the increasing absolute value of parameter P12， but it increases with the increase of the parameter P10.

Key words：long-span bridge;steel box girder with projecting slabs;wind loads;numerical simulation;vortex-induced forcemodel

大跨度鋼橋梁因跨度大、阻尼小、質(zhì)量輕、自振 頻率低等特點(diǎn)常易引發(fā)低風(fēng)速下的渦激振動(dòng)（以下簡稱“渦振”）問題，這對大橋的施工安全及成橋狀態(tài) 下的行車安全帶來了嚴(yán)重的安全隱患[1].丹麥的大海帶橋東主橋?yàn)橹骺?624m的帶風(fēng)嘴鋼箱梁懸索 橋，在主梁架設(shè)及橋面鋪裝期間都發(fā)生過較大幅值的豎向渦振[2]，而且在之后的運(yùn)營期間又觀測到數(shù)十次的豎向渦振現(xiàn)象，其中最大幅值超過30cm.日本東京灣聯(lián)絡(luò)橋?yàn)樽畲笾骺?240m的矩形鋼箱連續(xù) 梁橋[3]，在約16m/s的風(fēng)速下發(fā)生了豎向渦振，最大振幅更是超過了50cm.在我國，近段時(shí)間也有幾座 大橋接連發(fā)生了渦振現(xiàn)象，如2020年4月，主跨為850m采用雙邊主梁形式的武漢鸚鵡洲長江大橋發(fā)生了輕微渦振;2020 年5月，主跨為888m采用帶風(fēng)嘴鋼箱主梁形式的廣東虎門大橋懸索橋也發(fā)生了較為明顯的渦振現(xiàn)象，并導(dǎo)致大橋交通關(guān)閉.因此，對于大橋渦振問題應(yīng)給予高度重視.

國內(nèi)外學(xué)者對于大橋主梁渦振問題開展了大量的研究工作，但對帶挑臂鋼箱梁橋渦振性能的研究 還相對較少[4].注意到，相對于流線型扁平鋼箱梁斷面，帶挑臂鋼箱梁斷面的腹板角度一般較大，在風(fēng)的作用下，容易在迎風(fēng)側(cè)腹板后緣產(chǎn)生較大的旋渦，同時(shí)在背風(fēng)側(cè)腹板與挑臂之間也容易形成較大的旋渦，極易引起大橋主梁的渦振問題.已有試驗(yàn)也表明[4-6]，帶挑臂箱梁斷面容易出現(xiàn)較明顯的渦振振 幅.因此，圍繞帶挑臂鋼箱主梁斷面，對其渦振性能進(jìn)行深入研究非常有必要.

實(shí)際上，在大跨度橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)時(shí)，很難完全消 除橋梁的渦振現(xiàn)象，因此滿足結(jié)構(gòu)安全和使用舒適的小幅值渦振是可以接受的，但這要求我們能詳細(xì)了解橋梁渦振的非線性特性及細(xì)觀機(jī)理，并準(zhǔn)確預(yù)測渦振發(fā)生時(shí)的響應(yīng)值，為此需要建立準(zhǔn)確、可靠的非線性渦激力數(shù)學(xué)模型[7].目前Scanlan 經(jīng)驗(yàn)非線性模型是橋梁渦振中應(yīng)用最為廣泛的，但孟曉亮[7]、Zhu等[8]通過大比例節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，對于中央開槽箱梁和帶風(fēng)嘴的扁平鋼箱梁而言，采用Scan-lan 非線性模型計(jì)算的渦振幅值和渦激力與試驗(yàn)值 均存在較為顯著的差別，這也說明了Scanlan非線性模型存在一定的局限性.針對帶風(fēng)嘴的扁平鋼箱梁斷面，Zhu等[9]基于試驗(yàn)測得的渦激力時(shí)程及振動(dòng)響 應(yīng)，深入探究了箱梁渦振的機(jī)理及非線性特性，并最 終確立了此種斷面的渦激力數(shù)學(xué)模型.進(jìn)一步的，Zhu 等[10]通過分析各渦激力分量對帶風(fēng)嘴扁平鋼箱梁、中央開槽鋼箱梁以及半封閉鋼箱梁渦振響應(yīng)貢獻(xiàn)的大小，對箱梁的渦激力模型進(jìn)行了相應(yīng)的簡化，最終提出了一種統(tǒng)一的、形式較為簡單的渦激力模型，經(jīng)過與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比，表明該模型能較好地預(yù)測箱梁的渦振振幅.Chen等[11]提出了一種自適應(yīng)非線性擬合方法，考察了各渦激力分量對帶風(fēng)嘴扁平鋼箱梁渦振貢獻(xiàn)的大小，最終建立了能夠較好預(yù)測箱 梁節(jié)段模型渦振振幅的渦激力模型.由此可見，經(jīng)過學(xué)者們的努力，已經(jīng)建立了幾種扁平箱梁斷面形式的渦激力數(shù)學(xué)模型.隨著帶挑臂鋼箱梁斷面形式越 來越多地應(yīng)用于大跨度橋梁中，為了能準(zhǔn)確地預(yù)測該類主梁斷面的渦振振幅和進(jìn)一步了解其渦激力的非線性特性，有必要建立可以準(zhǔn)確描述其渦激力的數(shù)學(xué)模型，但目前針對帶挑臂鋼箱梁斷面渦激力數(shù)學(xué)模型的研究尚未見報(bào)道.

針對上述問題，本文以某典型帶挑臂鋼箱主梁的斜拉橋?yàn)楣こ瘫尘?，首先，基于雙向流固耦合的數(shù)值模擬方法對該橋主梁的渦振全過程進(jìn)行了數(shù)值模 擬計(jì)算，并與相應(yīng)的風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證.針對渦振振幅峰值對應(yīng)的來流風(fēng)速，計(jì)算了該帶挑臂鋼箱主梁的渦激力時(shí)程，并建立了該主梁形式的渦 激力數(shù)學(xué)模型.進(jìn)一步的，基于該渦激力數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了主梁穩(wěn)態(tài)渦振振幅的表達(dá)式.

1帶挑臂鋼箱主梁渦振的數(shù)值模擬

1.1工程簡介

某斜拉橋跨徑布置為85m+90m+160m=335m，其中主跨為160m，大橋主梁斷面采用帶挑臂的鋼箱梁形式，梁寬37m，中心線處梁高3.282m，寬高比為11.3 ∶1，如圖1所示.由圖1可知，該橋主梁腹 板角度較大，在風(fēng)的作用下，容易引起氣流分離與旋 渦脫落，從而引起大橋的渦振問題.鑒于渦振對成橋 態(tài)與施工態(tài)的危害性，有必要對該種斷面形式的主梁進(jìn)行深入的渦振性能分析.

1.2 試驗(yàn)概況

本橋的渦振試驗(yàn)是在長沙理工大學(xué)風(fēng)工程與風(fēng)環(huán)境研究中心的高速試驗(yàn)段中進(jìn)行（如圖2所示），采用Cobra Probe三維脈動(dòng)風(fēng)速儀測試來流風(fēng)速，采 用激光位移計(jì)測試主梁節(jié)段模型的位移時(shí)程.彈性懸掛的節(jié)段模型縮尺比為1∶50，風(fēng)速比為1∶3.318，其他主要參數(shù)如表1所示.

數(shù)值模擬時(shí)，為了與風(fēng)洞試驗(yàn)的節(jié)段模型保持一致，數(shù)值模型中包含了主梁、欄桿、檢修車軌道等構(gòu)件，并將其簡化為二維模型，如圖3所示.采用Flu-ent前處理軟件Gambit對主梁斷面進(jìn)行網(wǎng)格劃分.計(jì)算區(qū)域尺寸太小會導(dǎo)致流動(dòng)難以充分發(fā)展，影響邊 界條件的設(shè)定，而太大的計(jì)算區(qū)域會浪費(fèi)計(jì)算資源，增加計(jì)算時(shí)間.綜合考慮計(jì)算精度與計(jì)算效率，并使計(jì)算區(qū)域滿足阻塞率小于5%的要求，本文選擇 28D×17B的矩形計(jì)算域，其中D為主梁總高度，B為主梁總寬度.計(jì)算區(qū)域分為剛性運(yùn)動(dòng)區(qū)域、動(dòng)網(wǎng)格區(qū)域和靜止網(wǎng)格區(qū)域[12].參考已有研究經(jīng)驗(yàn)[11]，剛性運(yùn)動(dòng)區(qū) 域尺寸為1.25D×1.15B，主梁至剛體運(yùn)動(dòng)區(qū)域左邊 緣、右邊緣、上邊緣和下邊緣的距離分別為0.05B、0.1B、0.125D和0.125D，動(dòng)網(wǎng) 格 區(qū) 域 尺寸為10D×3B;為使尾流流場充分發(fā)展，尾流域尺寸為10D×9.5B，具體區(qū)域劃分如圖4所示.對于邊界條件設(shè) 置，計(jì)算域入口設(shè)置為速度入口邊界條件，因?yàn)楣?jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果表明該橋在+3°風(fēng)攻角下發(fā)生了較明顯的豎彎渦振現(xiàn)象.針對該風(fēng)攻角，將下邊界和左邊界均設(shè)置為速度入口邊界條件，相應(yīng)的右邊界和上邊界均設(shè)置為壓力出口邊界條件，而主梁斷面及附屬結(jié)構(gòu)模型表面則設(shè)置為無滑移的壁面邊界條件，具體如圖4所示.研究中，采用對鈍體繞流比較適合的非定常 SST k-ω 湍流模型進(jìn)行計(jì)算[13]，由于試驗(yàn)中來流湍流強(qiáng)度在0.5% 左右，因此將入口處的湍流強(qiáng)度值設(shè)置為0.5%，同時(shí)根據(jù)軟件常用設(shè)置，將 入口處的湍流黏性比設(shè)置為5.0[13].

在保證數(shù)值模擬計(jì)算精度的前提下，應(yīng)盡可能縮減網(wǎng)格數(shù)量，從而縮短計(jì)算時(shí)間.對于剛性運(yùn)動(dòng)區(qū) 域，為縮減網(wǎng)格數(shù)量并保證網(wǎng)格初始質(zhì)量，本研究中在該區(qū)域采用四邊形網(wǎng)格進(jìn)行劃分.因剛性運(yùn)動(dòng)區(qū) 域引發(fā)的位移會傳遞至動(dòng)網(wǎng)格區(qū)域，故動(dòng)網(wǎng)格區(qū)域的網(wǎng)格需不斷地重構(gòu)更新.為防止網(wǎng)格在重構(gòu)更新時(shí)發(fā)生畸變以致計(jì)算中斷，本研究在動(dòng)網(wǎng)格區(qū)域采 用適應(yīng)性更好的三角形網(wǎng)格進(jìn)行劃分，且同時(shí)采用彈簧光順和網(wǎng)格重構(gòu)兩種方法對動(dòng)網(wǎng)格部分進(jìn)行重構(gòu)更新.對于靜止網(wǎng)格區(qū)域，為有效地減少網(wǎng)格數(shù)量，對該區(qū)域全部采用四邊形網(wǎng)格進(jìn)行劃分.對主梁斷面及附屬設(shè)施設(shè)置邊界層網(wǎng)格，以更好地模擬主梁斷面周圍的流場情況，從而得到更準(zhǔn)確的數(shù)值模 擬結(jié)果.同時(shí)，為驗(yàn)證計(jì)算區(qū)域的網(wǎng)格無關(guān)性，先后共劃分生成3套網(wǎng)格，網(wǎng)格總數(shù)分別為18 萬、26 萬和36 萬.通過試算發(fā)現(xiàn)，26 萬和36 萬網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果 非常接近，而18 萬網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果與之相差較大，如表2所示，這說明當(dāng)網(wǎng)格數(shù)達(dá)到 26 萬時(shí)，再繼續(xù)增 加已經(jīng)不會顯著影響計(jì)算結(jié)果.兼顧計(jì)算效率和計(jì)算精度，最終選用26 萬的網(wǎng)格作為最終計(jì)算網(wǎng)格，

此時(shí)第一層網(wǎng)格高度為0.016mm，在主梁及附屬設(shè) 施周圍設(shè)置15層邊界層網(wǎng)格，以提高計(jì)算精度，具 體網(wǎng)格劃分情況如圖5所示.圖6為經(jīng)過2000 步穩(wěn) 態(tài)計(jì)算后主梁壁面處無量綱 Y+值，由圖可知，本計(jì)算模型的Y+值總體小于1.0，滿足要求.

1.3數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證

基于計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)軟件Fluent，通過編寫 UDF計(jì)算程序?qū)ι鲜龆S主梁斷面模型進(jìn)行雙向流固耦 合計(jì)算，并采用四階 Runge-Kutta 法求解主梁的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，以進(jìn)一步提高計(jì)算精度[14].同時(shí)利用大型工作站并行計(jì)算以減少運(yùn)行時(shí)間.求解時(shí)采用速度-壓力耦合算法，以二階迎風(fēng)格式對控制方程中的各參數(shù)進(jìn)行離散，計(jì)算時(shí)先采用SIMPLE算法進(jìn)行穩(wěn)態(tài)求 解，待穩(wěn)態(tài)計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定后，再采用SIMPLEC算法進(jìn)行瞬態(tài)計(jì)算求解.瞬態(tài)求解時(shí)，時(shí)間步長經(jīng)過多次試算，最終設(shè)置為0.0005s.

研究中采用與節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)相同的試驗(yàn)參 數(shù)，具體如表1所示.考慮風(fēng)洞試驗(yàn)中主梁在+3°風(fēng)攻角下的豎彎渦振最為明顯，因此對該風(fēng)攻角下二 維主梁斷面的渦振過程進(jìn)行了雙向流固耦合數(shù)值模 擬，并將數(shù)值模擬結(jié)果與節(jié)段模型試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，如圖7所示.由圖7可知，數(shù)值模擬計(jì)算得到的帶 挑臂鋼箱主梁斷面在不同風(fēng)速下的渦振幅值變化趨 勢與通過節(jié)段模型試驗(yàn)得到的基本一致，且二者測得的渦振鎖定區(qū)間基本相同，大致位于5.5～7.5m/s之間，其中最大渦振振幅發(fā)生的風(fēng)速均在7.2m/s 左右.但同時(shí)也注意到，兩者在相同風(fēng)速下的渦振幅值 存在一定的差別，這可能是由風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中模型制作不夠精準(zhǔn)，節(jié)段模型有一定的展向長度或者數(shù)值模 擬本身精度不足等原因造成的.但總體而言，數(shù)值模 擬計(jì)算得到的渦振振幅與渦振區(qū)間結(jié)果與試驗(yàn)測試 結(jié)果基本一致，其中渦振最大振幅相差約6.2%，渦振 區(qū)間長度相差約3.6%，可知數(shù)值模擬結(jié)果精度滿足 要求.

為進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)值模擬結(jié)果，針對7.2m/s 來流風(fēng)速下所發(fā)生的最大渦振振幅，對比了該風(fēng)速下數(shù)值模擬的主梁位移時(shí)程與試驗(yàn)時(shí)的主梁位移時(shí)程，如圖8（a）所示，從圖8（a）中可以看到，二者幅值和振動(dòng)頻率均存在細(xì)微的差別，試驗(yàn)測得的最大振 幅值略小于數(shù)值模擬值，二者對應(yīng)的均方差分別為1.770mm和1.905mm，相差約7.63%.同時(shí)，對數(shù)值模擬時(shí)程結(jié)果進(jìn)行頻譜分析得到的渦振位移頻 率為9.498 Hz，而二維節(jié)段模型試驗(yàn)的渦振頻率為9.745 Hz，如圖8（b）所示，兩者相差約2.53%，這可能與試驗(yàn)中振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度等參數(shù)難以準(zhǔn)確測量有關(guān).但總體上，數(shù)值模擬的誤差較小，能夠較為準(zhǔn)確地模擬帶挑臂鋼箱主梁的渦振過程.

2 帶挑臂鋼箱主梁渦激力模型

2.1主梁渦激力的提取

數(shù)值模擬計(jì)算過程中，帶挑臂鋼箱主梁渦振發(fā)生時(shí)作用于每延米主梁上的氣動(dòng)力如圖9所示，圖9中FH、FV和m表示體軸坐標(biāo)系中的氣動(dòng)力.以主梁斷面豎向受力為例，作用于其上的升力FV 包含了兩部分，即脈動(dòng)部分fV和平均部分fV0，而脈動(dòng)部分fV 則由渦激力fVI和非風(fēng)致附加力fn 兩部分組成，有以下表達(dá)式成立：

式中：非風(fēng)致附加力fn 是指振動(dòng)的模型與周圍空氣相互作用所產(chǎn)生的氣動(dòng)力.如當(dāng)節(jié)段模型向下振動(dòng)時(shí)，會擠壓模型下方的空氣一起運(yùn)動(dòng).與此同時(shí)，周 圍的空氣又會及時(shí)補(bǔ)充到模型上方.如此一來，振動(dòng)的模型就會對周圍空氣產(chǎn)生受迫振動(dòng)，而周圍空氣 反過來會對模型產(chǎn)生作用力，為了與來流所產(chǎn)生的自激力相區(qū)別，這種力就稱為非風(fēng)致附加力，它一般可表示為非風(fēng)致附加質(zhì)量和非風(fēng)致附加阻尼的表達(dá)式.

式中：mn和cn分別表示非風(fēng)致附加質(zhì)量和阻尼，可通過零風(fēng)速下的主梁速 度、加速 度以及所受 升力求得[7].

將式（2）代入式（1）可得主梁渦激力表達(dá)式為：

式（3）即為在CFD 數(shù)值模擬中，求解主梁渦激力的表達(dá)式.

前文已述，在+3°風(fēng)攻角下，當(dāng)來流風(fēng)速為7.2m/s時(shí)，主梁的渦振振幅達(dá)到最大值.同時(shí)，也證明了本文數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性.因此，針對該工況，以下就討 論渦激力的求解過程.由式（3）可知，在求解渦激力之前，首先應(yīng)求解非風(fēng)致附加質(zhì)量mn 與非風(fēng)致附加阻尼 cn 參數(shù).考慮在零風(fēng)速來流下，主梁的渦激力為零，即此時(shí)主梁所受的脈動(dòng)升力與非風(fēng)致附加力之和應(yīng)為零，如式（3）所示.為此，研究中首先開展了零 風(fēng)速下帶挑臂鋼箱主梁的自由衰減振動(dòng)的數(shù)值模 擬，計(jì)算中將結(jié)構(gòu)阻尼比設(shè)置為0.3%，初始位移設(shè)置為0.002 5m，初始速度和初始加速度則都為0.計(jì)算得到的零風(fēng)速來流下該帶挑臂鋼箱梁的自由衰減振 動(dòng)的豎向位移時(shí)程如圖10所示，而計(jì)算得到的主梁脈動(dòng)升力時(shí)程如圖11所示.同時(shí)，通過圖10的位移時(shí)程，采用中心差分法可不難得到其速度和加速度時(shí)程.根據(jù)式（3），利用非線性最小二乘法擬合得到的主梁脈動(dòng)升力時(shí)程也在圖11中給出，由圖11可 知，兩者吻合較好，此時(shí)擬合得到的非風(fēng)致附加質(zhì)量mn和非風(fēng)致附加阻尼 cn的值分別為0.522 7 kg/m和6.656 5 N·s·m-2.

根據(jù)+3°風(fēng)攻角、7.2m/s 來流風(fēng)速下計(jì)算的帶挑 臂鋼箱主梁的穩(wěn)態(tài)渦振時(shí)程響應(yīng)，可得到其速度時(shí)程如圖12所示，而加速度時(shí)程則可通過中心差分法計(jì)算得到.圖13則表示了該帶挑臂鋼箱梁斷面發(fā)生渦振時(shí)的脈動(dòng)升力時(shí)程.根據(jù)式（3），并利用上述求 得的非風(fēng)致附加質(zhì)量mn和非風(fēng)致附加阻尼 cn 參數(shù)，可最終求得該帶挑臂鋼箱主梁斷面的渦激力時(shí)程如圖14所示.為了分析其渦激力的頻率組成，其頻譜分析如圖15所示，由圖15可知，可以看到它存在多個(gè)頻率，除一階主頻外，二階倍頻譜峰值為一階主頻的5.1%，這說明帶挑臂鋼箱主梁的渦激力表現(xiàn)出了一定的非線性特征.

2.2 渦激力數(shù)學(xué)模型的建立及驗(yàn)證

2.2.1渦激力數(shù)學(xué)模型的建立

由于本文不考慮紊流的影響，因此鋼箱梁的渦 激力可由風(fēng)速、時(shí)間、鋼箱梁的位移、速度及加速度的函數(shù)加以描述.另一方面，由前文數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果可知，本文研究的帶挑臂鋼箱梁主要以一階主頻 發(fā)生豎向渦激振動(dòng)，此時(shí)鋼箱梁的加速度變量可通過位移變量表示.由此，帶挑臂鋼箱梁豎向渦激力可表示為：

從 Scanlan的經(jīng)驗(yàn)線性、非線性渦激力模型以及后續(xù)的針對扁平鋼箱梁渦激力模型可以看出，渦激力模型通常含有位移 y 項(xiàng)、速度y? 項(xiàng)、位移 y和速度y?的交叉項(xiàng)以及渦脫力項(xiàng)等.故渦激力在廣義上可表示為：

式中：ρ 表示空氣密度;U 表示來流風(fēng)速;D 表示主梁梁高;y表示主梁渦振位移;y?表示主梁渦振速度;Pij（i，j不同時(shí)為0）、Vs、ωs和φ 表示待定的參數(shù).

由式（5）可知，模型中的一階氣動(dòng)力除渦脫力項(xiàng) Vssin（ωst+φ）外，還包含線性氣動(dòng)阻尼項(xiàng) P10y?/U和線性氣動(dòng)剛度項(xiàng) P01y/D，其他的項(xiàng)次均為非線性高階 項(xiàng)，這些非線性高階項(xiàng)代表了主梁渦激力的高階倍頻成分.由圖15可知，渦激力時(shí)程基本上只包含前三階成分，因此研究中渦激力模型式（5）中i 與j 之和不需超過3.同時(shí)，為了保證渦激力模型的準(zhǔn)確性，渦 激力模型中應(yīng)含若干二階和三階項(xiàng)，因此需要合理選取渦激力中的高階項(xiàng)次.

為合理取舍帶挑臂鋼箱梁的渦激力模型項(xiàng)次，本文以數(shù)學(xué)模型重構(gòu)的渦激力與實(shí)際渦激力之間的殘差大小為判別標(biāo)準(zhǔn)，殘差表達(dá)式如式（6）所示.研究中首先使重構(gòu)的渦激力模型中僅包含渦脫力項(xiàng)，然后逐步增加項(xiàng)次并計(jì)算其與實(shí)際渦激力的殘差大小，殘差越小表明通過數(shù)學(xué)模型重構(gòu)的渦激力與實(shí)際渦激力越接近.

式中：R表示殘差值;N表示時(shí)間步數(shù)量;f為數(shù)學(xué) 模型重構(gòu)的渦激力;fVI 表示實(shí)際渦激力.

基于式（5）的渦激力表達(dá)式，重構(gòu)的過程及相應(yīng)的殘差大小如表3所示，由表3中工況2和工況3可 知，一階項(xiàng)中，P10相比 P01而言，前者對渦激力的影響較大;由工況4～工況9可知，二階項(xiàng)中，P11對渦激力的影響最大;由工況10～工況13可知，三階項(xiàng)中，P12和P30對渦激力的影響均較大.對比工況14 與工況15可知，當(dāng) P21與P12 搭配時(shí)，總體殘差達(dá)到最小.由以上分析，可建立出帶挑臂鋼箱主梁渦激力數(shù)學(xué)模型表達(dá)式如式（7）所示，即對應(yīng)于最小殘差的工況14，此時(shí)其殘差僅為0.0181，這說明重構(gòu)的渦激力與實(shí)際渦激力非常接近.對于該工況，相應(yīng)的各系數(shù)值如表4所示.

文獻(xiàn)[10]針對帶風(fēng)嘴扁平鋼箱梁、中央開槽鋼箱梁以及半封閉鋼箱梁提出了一個(gè)統(tǒng)一的簡化渦激力模型，如下式所示：

式（8）渦激力模型對應(yīng)的工況如表3中的工況16，由表3可知，此時(shí)殘差為0.188 0;而式（7）渦激力模型對應(yīng)的是工況14，此時(shí)殘差僅為0.0181.為更 直觀地反映式（7）與式（8）模型的差異，兩種模型的渦激力時(shí)程與目標(biāo)值的對比如圖16（a）所示，其中目 標(biāo)值即為CFD計(jì)算的原始渦激力時(shí)程.由圖16（a）可知，雖然3條時(shí)程曲線總體上吻合，但在-0.5～1.5 N/m范圍內(nèi)，相同時(shí)間步時(shí)，式（8）的計(jì)算值與目標(biāo) 值有一定的差距.此外，在-2.5～-2.0 N/m范圍內(nèi)，式（8）計(jì)算的渦激力絕對值也小于目標(biāo)值（如圖16（b）所示）.而對于式（7）計(jì)算的渦激力，由圖16（a）與圖16（b）可知，相同時(shí)間步時(shí)，式（7）的計(jì)算值與目標(biāo)值 幾乎一致，幅值也非常吻合.因此，式（7）的渦激力模型能比較準(zhǔn)確地模擬帶挑臂鋼箱主梁的渦激力值.

需要說明的是，Simiu 與Scanlan 于1986 年提出了一種線性氣動(dòng)力模型，并被廣泛應(yīng)用，如式（9）所示.該氣動(dòng)力模型對應(yīng)的工況如表3中的工況4所示，可知該工況的殘差為0.097 2，遠(yuǎn)大于式（7）所對應(yīng)的工況14的殘差值.為考察式（9）所代表的經(jīng)典 線性氣動(dòng)力模型的適用性，圖17 給出了式（9）線性渦激力時(shí)程與式（7）非線性渦激力時(shí)程的局部對比.由圖17可知，線性渦激力模型的絕對值相比非線性渦激力模型的絕對值要明顯偏小，其幅值偏小約8.8%，而由圖16可知，式（7）所代表的非線性渦激力與目標(biāo)值基本一致.由此可知，采用線性渦激力模型預(yù)測的渦激力時(shí)程有一定的誤差.由于式（9）的渦激力模型相比式（7）的渦激力模型缺少了高階項(xiàng)，這說 明了盡管渦激力的二階及高階成分占比很小（如圖15所示），但在一定程度上影響了渦激力時(shí)程的建模 精度.

2.2.2 非線性與經(jīng)典線性渦激力數(shù)學(xué)模型位移反算值的對比

為進(jìn)一步驗(yàn)證式（7）非線性渦激力數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，基于四階 Runge-Kutta 法利用MATLAB 自編 程序通過式（7）確定的非線性渦激力數(shù)學(xué)模型反算出帶挑臂鋼箱主梁的渦振響應(yīng)，并與CFD 數(shù)值模擬計(jì)算的渦振位移時(shí)程進(jìn)行對比，如圖18（a）所示.從 圖中可以看出，在振幅達(dá)到穩(wěn)定后，通過式（7）渦激力模型反算的渦振位移值與CFD 數(shù)值模擬計(jì)算的目 標(biāo)值吻合良好.但另一方面，在渦振振幅達(dá)到穩(wěn)態(tài) 前，渦振位移的反算值與目標(biāo)值有一定區(qū)別，但總體 上差異較小.圖18（b）給出了由式（9）線性渦激力模型計(jì)算的位移值，由圖可知，在渦振振幅達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，由線性渦激力模型得到的反算值相比目標(biāo)值要 偏小7% 左右.同時(shí)，在渦振振幅達(dá)到穩(wěn)態(tài)前，其渦振 位移也明顯大于目標(biāo)值，由此可知，由經(jīng)典線性渦激力模型反算的主梁渦振位移值的精度不如非線性渦激力模型.同理，對于其他風(fēng)速情況，也有類似趨勢，在此不再贅述.

此外，研究中還發(fā)現(xiàn)，不同風(fēng)速時(shí)兩種渦激力模型反算的渦振位移頻率值與目標(biāo)值較為吻合，說明 兩種模型對振動(dòng)系統(tǒng)的氣動(dòng)剛度模擬較準(zhǔn)確.通過上述分析可知，非線性渦激力模型比線性模型的精 度更高，反映出式（7）渦激力模型的準(zhǔn)確性.

3渦振穩(wěn)態(tài)振幅計(jì)算公式

基于以上建立的帶挑臂鋼箱主梁渦激力的數(shù)學(xué) 模型，以下討論其主梁的渦振穩(wěn)態(tài)振幅.主梁渦振時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)控制方程可表示為：

根據(jù)上述分析，若將各參數(shù)代入式（22），可計(jì)算得到主梁模型渦振時(shí)的穩(wěn)態(tài)振幅 A（+∞）=0.003 01m;而由圖8（a）可以看出，CFD計(jì)算出的渦振穩(wěn)態(tài)位移為0.002 69m，兩者相差約11.9%.分析原因，這可能是由于當(dāng)前主梁模型的渦振振幅較小，從而導(dǎo)致相對誤差較大;另外，在推導(dǎo)過程中，忽略了簡諧渦 脫力項(xiàng)，這也會部分影響計(jì)算結(jié)果的精度.但總體而 言，通過式（22）計(jì)算的渦振穩(wěn)態(tài)振幅值與CFD計(jì)算值大致相當(dāng).更為重要的是，從式（22）中可看出，渦 振穩(wěn)態(tài)振幅隨著一階阻尼和二階剛度交叉項(xiàng) P12（為負(fù)數(shù)）絕對值的增大而減小，同時(shí)隨著一階阻尼項(xiàng) P10的增大而增大.

4結(jié)論

本文對+3°風(fēng)攻角下帶挑臂鋼箱主梁斷面進(jìn)行了雙向流固耦合數(shù)值模擬計(jì)算，基于計(jì)算結(jié)果開展了該主梁渦激力數(shù)學(xué)模型的研究，可得出以下主要 結(jié)論：

1）基于雙向流固耦合數(shù)值模擬方法對帶挑臂鋼箱主梁的渦振全過程進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算，并且數(shù)值模擬的渦振鎖定區(qū)間及渦振振幅值和節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，表明文中的計(jì)算模型、網(wǎng)格設(shè) 置及流固耦合方法等滿足精度要求.

2）基于已驗(yàn)證的數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)帶挑 臂鋼箱主梁的渦激力時(shí)程頻譜圖中，除最顯著的一 階主頻外，還存在二階和三階倍頻，這種現(xiàn)象表明該主梁渦激力具有一定的非線性特性.在此基礎(chǔ)上，根據(jù)重構(gòu)的渦激力值與目標(biāo)值的殘差大小，建立了帶 挑臂鋼箱主梁的非線性渦激力數(shù)學(xué)模型.

3）基于上述建立的渦激力數(shù)學(xué)模型，反算出的渦振位移時(shí)程與CFD計(jì)算的位移時(shí)程總體吻合良 好，進(jìn)一步驗(yàn)證了所建立渦激力模型的準(zhǔn)確性;同時(shí)基于慢變函數(shù)理論，推導(dǎo)了該主梁斷面渦振穩(wěn)態(tài)振 幅的表達(dá)式，并發(fā)現(xiàn)該主梁渦振穩(wěn)態(tài)振幅隨著一階 阻尼和二階剛度交叉項(xiàng) P12 絕對值的增大而減小，而 隨著一階阻尼項(xiàng) P10的增大而增大.

本文目前只研究了一種形式的帶挑臂鋼箱主梁斷面的渦激力模型，未來將對更多類似斷面進(jìn)行研究，以驗(yàn)證該渦激力模型的準(zhǔn)確性與適用性.

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