從復雜背景下抽象幾何模型研究

康曉靈

[摘 要]《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出了數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想等核心概念，強調了幾何直觀和模型思想的重要性。較復雜的、摻雜動點的幾何問題，對學生的能力要求更高。因此，教會學生在復雜背景下抽象出幾何模型尤為重要。

[關鍵詞]復雜背景;幾何模型;抽象

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）11-0016-03

下面以一道考試題為例，淺析如何在復雜背景下抽象出幾何模型。

一、題目呈現(xiàn)

如圖1，在平面直角坐標系中，[O]為坐標原點，動點[P]從點[A]出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿線段[AO]向終點[O]運動，同時動點[Q]從點[O]出發(fā)以相同速度沿[y]軸正半軸運動，當點[P]到達點[O]，兩點同時停止運動。

（1）當[t=]? ? ? ? ? ?時，[∠OPQ=45°];

（2）如圖2，以[PQ]為斜邊在第一象限作等腰直角三角形[PQM]，求點[M]坐標;

（3）在（2）的條件下，點[R]為[x]軸負半軸上一點，且[OR=12OP]，點[M]關于[PQ]的對稱點為點[N]，當[t]為何值時，[△ONR]為等腰直角三角形。

二、題目分析

本題是一道在坐標系背景下，結合動點的綜合題。八年級學生剛剛學完三角形全等的基本證明，對于全等三角形的性質和判定還不夠熟練，在面對稍微復雜的圖形，特別是線條比較多的情況時，要能根據(jù)題目看出三角形全等的條件或者找到三角形全等的證明思路不太容易。坐標系背景下的幾何本身是一個難點，同時又加上兩個運動的點，更是增加了難度。本題從簡單到復雜，設置了三個小問題，第（1）問相對來說比較容易，從問題可以得到[OQ=OP]，進而求出時間[t]。第（2）問的難度中等，但是大部分學生拿不到分，原因在于遇到兩個動點[P]，[Q]，不知道如何表示，同時也不知道如何利用含有[t]的式子來表示出邊之間的關系。有部分學生由已知條件的等腰直角三角形，想要表示出兩條直角邊的長度，于是利用了還未學的勾股定理，而這樣不僅增加了計算量，還算不出來。出現(xiàn)這種情況的根本原因是學生無法抽象出基本圖形，構造全等，看到點的坐標不能自然想到過此點作[x]軸和[y]軸的垂線段。第（3）問，學生的困惑較大，首先因為點[P]，[Q]是運動的，位置無法確定;其次點[M]關于[PQ]的對稱點比較抽象，故不容易根據(jù)題意直接畫出圖形;最后因為涉及等腰直角三角形，并未直接告知直角和直角邊，所以需要進行分類討論。本題對學生的抽象思維能力要求較高，是一道綜合性題目。

三、學情分析

八年級學生已經(jīng)學習了基本的幾何圖形——線段和角，同時也學習了三角形和平行四邊形，從一般到特殊的研究思路讓他們更深刻地理解研究幾何的各要素之間的關系。因此，學生對探究的方向和探究的方法有一定的思考。但是很多學生對于動點問題比較畏懼，往往看到題目會比較慌張，從而影響審題，再加上是四邊形的背景，尤其是特殊四邊形的性質或者三角形全等的條件不易被發(fā)現(xiàn)時，動點放在平面直角坐標系中，學生不容易看出，所以增加了解題難度。目前學生接觸得比較多的是數(shù)軸上的動點問題，而且基本是設置一個動點。學生在理解動點的運動方向、運動速度、運動的路程時，用含有參數(shù)的式子表示距離沒有問題，但是對于兩個動點的相對關系的尋找或者等量關系的尋找會存在一定的困難，這也是本題為什么要先做一個鋪墊的原因。一方面讓學生明確從簡單到復雜的思考方向，增強探索欲和學習信心;另一方面為后面研究更復雜的問題做好準備，一步步引導學生探究，并抽象出基本圖形，同時還作為一種方法，遷移應用到后續(xù)的更復雜的四邊形和圓等幾何圖形的研究中。

四、解法探究

（1）特殊情況。如圖3，當[∠OPQ=45°]時，學生不難發(fā)現(xiàn)，此時[△OPQ]為等腰直角三角形，所以[OP=OQ]，那么問題轉化為根據(jù)[OP=OQ]求[t]的問題。因此，需要先用含有[t]的式子表示出[OP]和[OQ]，而速度已知，時間為[t]，自然得出[OQ=2t]，[AP=2t]，所以[OP=8-2t]，因此由[OP=OQ]這個等量關系可以列出方程：[8-2t=2t]，所以[t=2]。

（2）如圖4，已知等腰直角[△PQM]，易得[MQ=MP]，[∠QMP=90°]，從點[M]的坐標入手，必須確定點[M]到[x]軸和[y]軸的距離，方能求出坐標，向[x]軸和[y]軸作垂線段，只要輔助線一旦作出來，那么問題就迎刃而解了。不難證出[△MBQ≌△MCP]，因而得到[MB=MC]，[BQ=CP]。設運動時間為[t]，則[AP=2t]，[OQ=2t]，[OP=8-2t]，則由[MB=MC]和點[M]在第一象限，可以引入?yún)?shù)，設[M（x， x）]，因此[OC=OB=x]，所以[CP=OP-OC=8-2t-x]，[BQ=OB-OQ=x-2t]，又因為[BQ=CP]，所以[8-2t-x=x-2t]，此時[x=4]，[t]剛好消掉，第（2）問也就解決了。

其實本題是一個等腰直角三角形的旋轉或“一線三等角”的幾何基本模型，學生若能大膽猜想，大膽畫輔助線，大膽設元，就能夠更快地找到解題突破口。

（3）此問是在第（2）問的條件下，那么第（2）問的條件是什么？第（2）問的條件是[△PQR]是以[PQ]為斜邊的等腰直角三角形，并且求出了點[M]的坐標為（4，4），這些條件可以使用，接下去給出的條件是[OR=12OP]，由（2）可知[OP=8-2t]，所以[OR=4-t]，而最后一個條件是點[M]關于[PQ]的對稱點為點[N]，這是本題的棘手處，學生無法直觀想象出一個定點關于兩個動點所連的線段軸對稱的點的位置，同時也無法求出來，并且不好畫出來，無法定出點[N]的位置，這樣就無法討論[△ONR]為等腰直角三角形的可能。因此，本題最需解決的問題就是如何確定點[N]的位置。正因為是在坐標系背景下，所以很多學生很想準確地畫出坐標系，并且嘗試在各種[P]，[Q]位置作出對稱，還去討論[P]，[Q]，[N]在各個象限或坐標軸中運動的可能性，而且畫出的圖形中線段非常多，其實這是一種誤導，也是一種復雜的過程。如果把坐標系背景去掉，只是單純地根據(jù)題意畫出對稱圖，可能圖形就更為簡單，對于觀察模型、抽象模型也有幫助。

去掉坐標系背景，如圖5所示不考慮點的坐標，不難發(fā)現(xiàn)等腰直角[△QMP]關于[PQ]對稱的[△QNP]同樣也是一個等腰直角三角形，那么隨著[P]，[Q]的變化，點[M]是固定的，點[N]的位置肯定會變化，可能在第四象限或第二象限，在嘗試作圖的過程中，不難排除第四象限，而第（2）問的圖形可以作為一個啟發(fā)，可以求出運動時間[t]的取值范圍，此時構成的是一個鈍角三角形，并不是直角三角形，從而縮小求解范圍。解決動點問題的關鍵是明白動中有不變。在本題中，點[R]雖然在動，但始終在[x]軸（即射線[PO]）上運動，所以畫圖又縮小了范圍。最后的任務就是對等腰直角三角形的頂角和底角、直角邊和斜邊進行分類。

①當[AP<4]時，即[2t<4]，[t<2]時，此時點[M]關于[PQ]的對稱點[N]在第四象限，而點[R]在[x]軸負半軸，此時[△ORN]為鈍角三角形，不符合題意。

②當[t>2]時，此時點[N]在第二象限，點[R]在[x]軸負半軸上。

（Ⅰ）若[∠ONR=90°]，[RN=ON]，如圖6，易得到“一線三等角”的基本模型，[△NSP≌△PTM]，從而[NS=PT]，[SP=MT]。根據(jù)[M（4， 4）]，[OP=8-2t]，[OR=4-t]，得出[NS=OS=RS=12OR=124-t=2-12t]，[PT=OT-OP=4-（8-2t）=2t-4]，所以[2-12t=2t-4]，解得[t=125]，此時符合[t>2]。

（Ⅱ）若[∠ORN=90°]，[NR=OR]，如圖7，比第（Ⅰ）種情況更為簡單，更易得出結果，少作一條輔助線。證明[△NRP≌△PTM]，從而對應邊[NR=OR=4-t]，[PT=2t-4]，根據(jù)[NR=PT]，得到[4-t=2t-4]，解得[t=83]，此時也符合[t>2]。

（Ⅲ）若[∠NOR=90°]，[ON=OR=4-t]時，此時[O]，[N]，[Q]三點均在[y]軸上，不滿足[∠QNP=90°]，因此不能形成等腰直角三角形。

綜上可知，[t=125]或[t=83]。

通過本題的解法探究，筆者得到啟發(fā)，對于坐標系背景下的幾何綜合題，如果題目中的幾何線段比較多、比較復雜，且點的坐標不太受題目條件影響或者能用參數(shù)把運動變化的點表示出來，則可嘗試隱去容易干擾的坐標系背景，抽象出與所要研究的要素有關的基本圖形。特別是在后續(xù)的函數(shù)建模中，面對復雜的圖形背景，例如拱橋問題，學生如果能隱去無關的線段或角，留下需要求的或需要用的線段進行函數(shù)的建模，就能較快地求出解析式。通過本題的深入分析，學生學會隱去無關條件，抽象出復雜背景下的簡單圖形和基本模型，這對后續(xù)的幾何學習或者函數(shù)建模等起到重要作用。

筆者在進行二次函數(shù)的動點含參問題的教學中發(fā)現(xiàn)，對于拋物線上動點軌跡的尋找，點的運動特點是難點，但是當將這一難點進行拆分，畫出基本圖形，分解題目條件，尋找與所要求的結論相關的線段，聯(lián)想已經(jīng)學過的基本全等模型，或者基本等腰三角形、特殊四邊形等，就很容易找到突破口。因此，學會在復雜背景下抽象出簡單圖形和基本的幾何模型，對學生而言非常重要。對教師而言，如何引導學生去尋找、去抽象幾何模型是教學難點，也是需不斷探索的教學方向。

五、教學反思

對于含有復雜背景的幾何問題，尤其是動點問題，教師應引導學生審清題意，并且根據(jù)命題者所設計的幾個小問題串形成自己的思維鏈，從復雜的背景中抽象出平時所用到的幾何模型。筆者在近幾年的教學中發(fā)現(xiàn)，很多學生在遇到文字敘述較長的題目時往往沒有耐心去認真閱讀，對此教師要引導學生認真讀題，標注關鍵詞，厘清數(shù)量關系。在當前“雙減”的大環(huán)境下，考試的靈活性越來越大，對學生的要求也越來越高，教師不能僅僅通過大量刷題來提升學生的學習能力。近年來的中考命題和實際生活聯(lián)系緊密，尤其是應用題的背景越來越生活化，也正是因為生活化的背景，才有更多的文字閱讀量，十分考驗學生的耐心。在平時教學中，教師要多培養(yǎng)學生讀題、審題的良好習慣。好的解題思路來源于已有的知識和經(jīng)驗，因此，教師還應該滲透綜合分析法，引導學生通過適當添加輔助線，發(fā)現(xiàn)熟悉的基本圖形，同時讓學生自己學會總結、歸納。這樣，學生對幾何模型的掌握就會更加牢固。教會學生抽象圖形，特別是從復雜背景中抽象出幾何模型，將問題由繁化簡，學生解題思路的生成就會更加自然。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

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（責任編輯 黃桂堅）