初中數(shù)學(xué)規(guī)律性問題的分類研究

李杰梅

[摘 要]規(guī)律性問題是初中數(shù)學(xué)?？嫉囊活悊栴}，研究規(guī)律性問題的類型及其解法能提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué);規(guī)律性問題;分類

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）11-0007-03

筆者將規(guī)律性問題劃分為數(shù)字變化類、算式變化類、坐標(biāo)變化類、圖形變化類四種類型。這四種類型問題涉及的背景不同，解題時(shí)需要學(xué)生在深刻理解題意的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理的歸納和推理，盡快地找到隱含在題干中的規(guī)律。教學(xué)中，為了使學(xué)生更好地破解這四類問題，教師應(yīng)為學(xué)生做好解題示范，使學(xué)生更好地掌握解題的技巧。

一、數(shù)字變化類

學(xué)生對(duì)數(shù)字變化類問題并不陌生，該類問題通常給出一組按照某一規(guī)律排列的數(shù)字，要求學(xué)生求出某一項(xiàng)數(shù)字的具體值。解答該類問題時(shí)需要從給出的已知條件出發(fā)，找到其潛在規(guī)律。如果題目中給出的數(shù)字是具體的，應(yīng)認(rèn)真觀察數(shù)字，認(rèn)真分析數(shù)字對(duì)應(yīng)位數(shù)、前后項(xiàng)的變化情況，找到變化的值與對(duì)應(yīng)序數(shù)之間的關(guān)系。如果題目中給出的數(shù)字是按照某一式子變化的，則需要運(yùn)用歸納法進(jìn)行分析。解題時(shí)一般寫出數(shù)字的前面幾項(xiàng)，相關(guān)的規(guī)律便會(huì)顯現(xiàn)出來。學(xué)生若能掌握解題方法與技巧，積累解題經(jīng)驗(yàn)，就能在解題中少走彎路。教師應(yīng)做好經(jīng)典例題的篩選與講解，通過解題過程的板書，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真揣摩與反思解題過程，把握解題的關(guān)鍵。

[例1]已知在一列數(shù)[x1]，[x2]，[x3]，…中，[x1=1]，當(dāng)[k≥2]時(shí)，[xk=xk-1+1-4k-14-k-24]（取整符號(hào)[a]表示不超過[a]的最大整數(shù)），則[x2014]的值為（ ）。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析：該題的已知條件并不復(fù)雜，解題的關(guān)鍵在于從給出的等式關(guān)系中找到潛在規(guī)律。觀察要求解的問題可知，其項(xiàng)數(shù)較大，一定存在周期。對(duì)此，可結(jié)合給出的等式關(guān)系以及對(duì)[a]含義的理解，算出前面的幾個(gè)數(shù)，歸納出周期。

當(dāng)[k=2]時(shí)，[x2=x1+1-414-0=1+1-4×0=2];

當(dāng)[k=3]時(shí)，[x3=x2+1-424-14=2+1-4×0=3];

當(dāng)[k=4]時(shí)，[x4=x3+1-434-24=3+1-4×0=4];

當(dāng)[k=5]時(shí)，[x5=x4+1-41-34=4+1-4×1=1];

當(dāng)[k=6]時(shí)，[x6=x5+1-454-1=1+1-4×0=2];

……

可知其每隔4個(gè)數(shù)循環(huán)一次，其周期為4，則[2014=503×4+2]，∴[x2014=x2=2]，故選B。

點(diǎn)評(píng)：解答數(shù)字變化類問題時(shí)應(yīng)注重分析題干，凡是要求解項(xiàng)數(shù)較大的具體數(shù)字時(shí)均具有一定的周期性，因此應(yīng)將解題的重點(diǎn)放在歸納、推理其周期上。

二、算式變化類

算式變化類問題一般指運(yùn)算法則按照一定規(guī)則變化的問題。解答該類問題的常規(guī)思路：審題，吃透題意→按照運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果→分析結(jié)果，尋找規(guī)律。其中“分析結(jié)果，尋找規(guī)律”對(duì)學(xué)生的觀察、分析能力要求較高。對(duì)此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生牢記常規(guī)解法，認(rèn)真審題，按照給出的運(yùn)算法則認(rèn)真計(jì)算，并通過觀察結(jié)果的形式、各數(shù)字所處的位置，分析數(shù)字的變化規(guī)律，寫出符合所有結(jié)果的通式。

[例2]某計(jì)算機(jī)程序如圖1所示，每次運(yùn)算均是將一個(gè)數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，多次重復(fù)進(jìn)行這種運(yùn)算的過程如下：

若將[π]輸入進(jìn)去，則[y10]的值為（ ）。

A. [256π255π+1] B. [512π511π+1]

C. [1024π1023π+1] D. [2048π2047π+1]

解析：要想求出[y10]的具體值還應(yīng)根據(jù)給出的程序分別寫出[y1]，[y2]，[y3]，[y4]，認(rèn)真觀察結(jié)果的構(gòu)成，看能否找到所得結(jié)果的規(guī)律。

第1次，[y1=2ππ+1];

第2次，[y2=4ππ+12ππ+1+1=4π3π+1];

第3次，[y3=8π3π+14π3π+1+1=8π7π+1];

第4次，[y4=16π7π+18π7π+1+1=16π15π+1];

……

可得出[yn=2nπ（2n-1）π+1]，將[n=10]代入得到[y10=210π（210-1）π+1=1024π1023π+1]，故選C。

點(diǎn)評(píng)：該題計(jì)算較為復(fù)雜，但是只要找到正確的解題方向和規(guī)律，便不難解答。需要注意的是，得出計(jì)算結(jié)果后應(yīng)注重化簡，分析分子、分母和計(jì)算次數(shù)之間的關(guān)系。

三、坐標(biāo)變化類

坐標(biāo)變化類問題通常和函數(shù)圖像結(jié)合在一起，解答該類問題，需要學(xué)生在明確求解問題的基礎(chǔ)上，運(yùn)用函數(shù)、幾何圖形的性質(zhì)分析坐標(biāo)間的關(guān)系，以及應(yīng)用函數(shù)圖像的平移規(guī)律、規(guī)則圖形的相關(guān)性質(zhì)、三角形全等、三角形相似的判定等。不僅如此，還需要結(jié)合具體的情境作出輔助線，以更好地計(jì)算相關(guān)坐標(biāo)。

[例3]如圖2，[△OA1B1]，[△A1A2B2]，[△A2A3B3]…是以[B1]，[B2]，[B3]…為直角頂點(diǎn)，斜邊在[x]軸正半軸上的等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)[B1（x1， y1）]，[B2（x2 ， y2）]，[B3（x3 ， y3）]，…均在反比例函數(shù)[y=4x] [（x>0）]的圖像上，則[y1+y2+…+y10]的值為（ ）。

A. 2[10] B. 6 C. 4[2] D. 2[7]

解析：該題是等腰直角三角形和反比例函數(shù)相結(jié)合的綜合性問題，較為抽象，而且已知條件中未直接給出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。可設(shè)計(jì)如下問題引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）怎樣求直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)？（2）等腰直角三角形有什么性質(zhì)？（3）相加計(jì)算時(shí)應(yīng)注意哪些細(xì)節(jié)？

顯然，需要作出對(duì)應(yīng)的輔助線。等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，運(yùn)用給出的反比例函數(shù)，可分別求出[y1]，[y2]，[y3]，…，[y10]，而后進(jìn)行相加運(yùn)算。為降低運(yùn)算的復(fù)雜度，求和時(shí)應(yīng)注重相關(guān)規(guī)律的應(yīng)用。

如圖3，分別由[B1]，[B2]，[B3]，…向[x]軸正半軸作垂線，垂足分別為[D1]，[D2]，[D3]，…對(duì)于[△OA1B1]，因其為等腰直角三角形，容易得出[OD1=D1B1]，因?yàn)閇B1]在反比例函數(shù)[y=4x（x>0）]的圖像上，所以[B1]的坐標(biāo)為[（2， 2）]。設(shè)[A1D2=a]，則[B2（4+a， a）]，代入[y=4x（x>0）]，解得[a=22-2]，即[y2=22-2];同理，[y3=23-22]……[所以y1+y2+…+y10=2+22-2+23-22+…+210-29=210]，故選A。

點(diǎn)評(píng)：解答坐標(biāo)變化類問題時(shí)應(yīng)具備靈活的思維，注重幾何知識(shí)的靈活應(yīng)用，同時(shí)在計(jì)算時(shí)應(yīng)注意觀察，掌握相關(guān)的計(jì)算規(guī)律。

四、圖形變化類

圖形變化類問題要求學(xué)生根據(jù)圖形的變化求解圖形的角度、圖形的線段長度、周長以及面積等。突破該類問題的關(guān)鍵在于找到圖形變化前后的規(guī)律。該類問題創(chuàng)設(shè)的情境復(fù)雜多變，部分習(xí)題難度較大，因此教師應(yīng)多給學(xué)生提供不同的情境，多與學(xué)生互動(dòng)，避免其走進(jìn)解題的誤區(qū)。同時(shí)，注重運(yùn)用多媒體技術(shù)為學(xué)生動(dòng)態(tài)展示相關(guān)圖形的變化，使學(xué)生能夠清晰地看到圖形變化過程中角度、線段長度等的變化，幫助其更好地找到解題的思路。

[例4]如圖4，已知[△ABC]的面積為1，第一次操作：分別延長[AB]，[BC]，[CA]至[A1]，[B1]，[C1]，使得[A1B=AB]，[B1C=BC]，[C1A=CA]，順次連接[A1]，[B1]，[C1]得到[△A1B1C1];第二次操作延長[A1B1]，[B1C1]，[C1A1]至[A2]、[B2]、[C2]，使得[A2B1=A1B1]，[B2C1=B1C1]，[C2A1=C1A1]，順次連接[A2]，[B2]，[C2]，得到[△A2B2C2]，按照此規(guī)律進(jìn)行下去，若使得到的三角形的面積超過2019，則至少需要經(jīng)過（ ）次操作。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：該題文字?jǐn)⑹鲚^多，難度較大，只有充分理解題意，挖掘潛在的變化規(guī)律，才能順利地求解。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生作出相關(guān)的圖形，并通過認(rèn)真地對(duì)比、分析，挖掘題干中的隱含信息，找到操作后得到的三角形與原三角形面積之間的關(guān)系。

連接[BC1]，則其為[△A1AC1]的中線，則[S△ABC=S△BAC1=S△A1AC1=1]，則第一次操作后得到的三角形面積為[2×3+1=7]。同理，第二次操作后，[△A2B2C2]的面積為[△A1B1C1]的7倍，為[7×7=49]，以此類推，第三次、第四次操作后得到的三角形的面積分別為[49×7=343]、[343×7=2401]，若要想滿足題意則至少需要進(jìn)行4次操作，故選A。

點(diǎn)評(píng)：解答圖形變化類問題時(shí)應(yīng)注重把握變與不變的量，分析變量是怎樣變化的，而后進(jìn)行有規(guī)律的計(jì)算。

為了提高學(xué)生解答規(guī)律性問題的能力，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，制訂明確的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)計(jì)劃，既要注重相關(guān)解題技巧的教學(xué)，又要對(duì)習(xí)題分門別類地整理，優(yōu)選精講經(jīng)典例題，更好地拓展學(xué)生視野，使其掌握解題規(guī)律。同時(shí)，及時(shí)組織學(xué)生的開展專題訓(xùn)練活動(dòng)，趁熱打鐵，使學(xué)生將學(xué)到的知識(shí)內(nèi)化為解題能力，靈活地解答各類問題。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

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（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）