關(guān)于新人教版“光的干涉”中的兩點討論

施音

[摘 要]在高中階段，對于“光的干涉”的教學(xué)，由于受到數(shù)學(xué)技能的限制，教師只能通過平面幾何和一定的近似處理來說明。新人教版高中物理選擇性必修一在編寫“光的干涉”理論分析時有兩處容易使學(xué)生產(chǎn)生誤解。文章通過簡單的數(shù)學(xué)分析加以辨析說明，希望能對學(xué)生的學(xué)習(xí)提供幫助。

[關(guān)鍵詞]光的干涉;雙縫干涉;光程差;雙曲線

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）14-0045-03

在高中階段，光的干涉現(xiàn)象是帶領(lǐng)學(xué)生初步認識光的本性（即波粒二象性）的重要知識點之一。干涉是波獨有的特征，在兩列或幾列波相互疊加的區(qū)域，出現(xiàn)某些區(qū)域始終振動加強，某些區(qū)域始終振動減弱，空間形成穩(wěn)定的強弱分布規(guī)律。在雙縫干涉實驗中，光透過雙縫在屏上顯示出穩(wěn)定的明暗相間的條紋，即光的干涉現(xiàn)象，也就證明了光具有波動性。

一、提出問題

新人教版高中物理選擇性必修一在“光的干涉”一節(jié)中解釋干涉條紋和光的波長之間的關(guān)系時（如圖1），利用光程差[r2-r1]近似等于[dxl]，得出當(dāng)兩列波的光程差為波長整數(shù)倍，即[dxl=nλ] [（n=±0， 1， 2， 3，…）]時，出現(xiàn)亮條紋。亮條紋中心的位置為[x=nλld]，相鄰兩條亮條紋或暗條紋的中心間距為[Δx=λld]。

這樣的編寫容易使學(xué)生產(chǎn)生兩點誤解：（1）判定出現(xiàn)亮條紋的條件[dxl=nλ] [（n=±0， 1， 2， 3，…）]中[n]的取值范圍是整數(shù)集;（2）相鄰兩條亮條紋或暗條紋的中心間距為[Δx=λld]，由[λ、l、]d決定，都與亮條紋的位置[x]無關(guān)，即條紋是等間距分布的。

二、分析說明

既然光程差[δ=r1-r2]決定了振動由雙縫[S1]，[S2]傳到空間某點[P1]疊加后的結(jié)果，[△S1 S2 P1]必須滿足兩邊之差小于第三邊的原理;另一方面屏上第[n]級亮條紋，即為[S1]，[S2]到該處光程差為波長的[n]倍，也就是同級亮條紋應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)在以[S1]，[S2]為焦點的雙曲線上，因此可以根據(jù)雙曲線方程來計算光屏上的條紋間距。以下為詳細說明。

雙縫干涉是利用單縫輸入光波的波陣面在雙縫處分成兩列子波，形成相干光源，在疊加區(qū)域出現(xiàn)干涉現(xiàn)象，這種產(chǎn)生相干光源的方法稱為分波陣面法。若單縫[S0]到兩雙縫[S1]，[S2]的距離相等，則分出的兩列子波初相位相同，由雙縫到疊加區(qū)域固定點間的光程差決定相位差。（如圖2）

設(shè)在[S1]，[S2]處兩列子波的振動方程為[y=Asinωt+φ]，波速為[v]，空間[P]點到雙縫[S1]，[S2]的距離分別為[r1]，[r2]，則兩列子波在空間[P]點引起的振動方程分別為[y1=Asinωt-r1v+φ]，[y2=Asinωt-r2v+φ]，[P]點實際的振動滿足兩列子波在[P]點引起振動的矢量疊加原理。在[P]點便出現(xiàn)頻率相同、初相位不同的振動疊加。在頻率相同的情況下，兩個振動的相位差是恒定的，即能夠形成穩(wěn)定的干涉圖樣。當(dāng)它們的相位差滿足[π]偶數(shù)倍時，[P]點合振幅最大;當(dāng)相位差滿足[π]奇數(shù)倍時，[P]點合振幅最小。從光程差的角度來說就是：

[δ=r1-r2=nλ（n=0， 1， 2， 3，…）]時，[P]點振動加強為明條紋中心;

[δ=r1-r2=（2n+1）λ2（n=0， 1， 2， 3，…）]時，[P]點振動減弱為暗條紋中心。

從上述分析可以看出，明暗條紋的出現(xiàn)是由于光程差等于半波長的偶數(shù)倍或者奇數(shù)倍，而我們通常說的第[n]級明條紋就是指雙縫到該點光程差是波長的[n]倍。因此，同級亮條紋應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)在以雙縫為焦點的雙曲線的半支。

設(shè)雙縫[S1]、[S2]間距為[d]，亮紋所在的雙曲線族標(biāo)準(zhǔn)方程為[4y2nλ2-4x2d2-nλ2=1]（n=1，2，3，…），

亮條紋所在的雙曲線族漸近線方程為[y=±nλd2-nλ2x]（[n]=1，2，3，…）

亮條紋級數(shù)越高，對應(yīng)漸近線斜率越大。（如圖3）

（一）誤區(qū)一：[n]取值為自然數(shù)集

在[△S1S2P]中[r1-r2

亮條紋級數(shù)[n]的取值是范圍在[0，dλ]的自然數(shù)。

（二）誤區(qū)二：與雙縫平行的屏上，條紋等間距分布

設(shè)離雙縫距離為[l]處有一與雙縫平行放置的光屏，若滿足[d?l]，則屏上顯示的條紋間距可以近似由雙曲線漸近線方程求得：

[Δy=n+1λd2-n+1λ2l-nλd2-nλ2l]（如圖4）

（關(guān)于圖4的說明：光屏和雙縫的距離一般是雙縫間距103倍，此處只是示意圖，用于說明同級亮條紋所在的雙曲線，在到達光屏?xí)r已經(jīng)很接近漸近線，因此可以由雙曲線的漸近線方程計算條紋間距。）

當(dāng)亮條紋級數(shù)較低時，由于雙縫間距[d]和光波波長λ相差103倍，忽略高階無窮小項，可近似求得[Δy=n+1λdl-nλdl=λld]，即條紋等間距分布。

當(dāng)亮條紋級數(shù)接近最大級時，條紋間距不相等。

三、應(yīng)用

[例1]在雙縫干涉實驗中，用綠色激光照射在雙縫上，在縫后的屏幕上顯示出干涉圖樣。若要增大干涉圖樣中兩相鄰亮條紋的間距，可選用的方法是（）。

A. 改用紅色激光

B. 改用藍色激光

C. 減小雙縫間距

D. 將屏幕向遠離雙縫的位置移動

E. 將光源向遠離雙縫的位置移動

F. 將光源略偏向雙縫中的某一條移動

解析：在亮條紋級數(shù)不太大的情況下，我們可以用條紋間距[Δx=λld]來判斷。要使條紋間距變大，可以通過增大波長[λ]、減小雙縫間距[d]、增大光屏和雙縫距離[l]來實現(xiàn)。即A，C，D正確，B錯誤。

使光源遠離雙縫，并不改變亮條紋的雙曲線族標(biāo)準(zhǔn)方程（[2a=nλ，2c=d]），光屏到雙縫的距離不變，即由漸近線方程計算得到的條紋間距也不變。E錯誤。

使光源略偏向雙縫中的某一條（如圖5），設(shè)光源[S0]到雙縫[S1]，[S2]的距離之差為[δ0=S0S2-S0S1]，顯然0級亮條紋將不在雙縫中垂線上，而是略向下移動。仍然以[S1]，[S2]為雙曲線焦點，則亮條紋的雙曲線方程族應(yīng)修正為（[2a=nλ±δ0]（P點出現(xiàn)在雙縫中垂線下方為“+”，上方為“-”），[2c=d]），通過漸近線方程求得屏上條紋間距為[Δy=n+1λ±δ0d2-n+1λ±δ02l-nλ±δ0d2-nλ±δ02l]（雙縫中垂線下方為“+”，上方為“-”）。同樣在條紋級數(shù)不大的情況下，條紋間距可以近似等于[Δy=n+1λ±δ0dl-nλ±δ0dl=λld]，即條紋間距不變。F錯誤。

答案：ACD

四、反思

我們在日常教學(xué)中強調(diào)對明暗條紋的判斷，而忽略了對條紋定級的解釋。其實對條紋級數(shù)的理解能夠在解決諸如條紋的移動、條紋間距變化等動態(tài)問題上提供很大的方便，便于學(xué)生理解。

在薄膜干涉問題中，入射光在透明薄膜上下兩表面的反射光在空間相遇產(chǎn)生干涉現(xiàn)象，其光程差近似等于薄膜厚度的兩倍（如圖6）。

相鄰兩級亮條紋之間的薄膜厚度差為[Δd=λ2]，條紋間距為[Δy=Δdsin θ=λ2sin θ]。薄膜厚度均勻增加，即[θ]不變，則AB面上觀察到的條紋將等間距分布，且BC端對應(yīng)條紋的最高級（如圖7）。

若增加BC端的厚度，即[θ]變大，則條紋級數(shù)增大，可以觀察到條紋間距變小，條紋向劈尖移動。

若觀察到的條紋間距不相等，則說明薄膜厚度變化不均勻。

[例2]（2021年高考山東卷第7題）用平行單色光垂直照射一層透明薄膜，觀察到如圖8所示明暗相間的干涉條紋。下列關(guān)于該區(qū)域薄膜厚度[d]隨坐標(biāo)[x]的變化圖像，可能正確的是（）。

解析：可以理解為條紋間距變大，說明條紋級數(shù)隨距離變化變緩（如圖9）。

答案選D。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 馬文蔚.物理學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]? 姚啟鈞.光學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]? 較過，李召團.托馬斯·楊及其對物理學(xué)發(fā)展的貢獻[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，1999（10）：61-63.

（責(zé)任編輯 易志毅）