一類數(shù)列問(wèn)題的解法探討

劉書霞

[摘 要]數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，是歷年高考的重要知識(shí)點(diǎn)之一，也是歷年高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。文章通過(guò)一類數(shù)列創(chuàng)新問(wèn)題的展示，呈現(xiàn)其創(chuàng)新角度、破解思維、解題策略等，為教師進(jìn)行課堂教學(xué)與解題研究提供參考。

[關(guān)鍵詞]數(shù)列;命題;函數(shù)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）14-0019-03

數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)表現(xiàn)形式，具有獨(dú)特的性質(zhì)，是知識(shí)交匯、問(wèn)題創(chuàng)新的紐帶，也是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。高考數(shù)列題以數(shù)列為問(wèn)題背景，融合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)設(shè)計(jì)綜合問(wèn)題，充分體現(xiàn)了高考命題的指導(dǎo)思想，有效考查了相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，考查了學(xué)生的抽象概括能力、邏輯推理能力，以及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

[例1]已知數(shù)列[xn]滿足[x1=2]，[xn+1=2xn-1] [（n∈N*）]。給出以下兩個(gè)命題。

命題[p]：對(duì)任意[n∈N*]，都有[1

命題[q]：存在[r∈]（0，1），使得對(duì)任意[n∈N*]，都有[xn≤rn-1+1]，則（）。

A. [p]真，[q]真 B. [p]真，[q]假

C. [p]假，[q]真 D. [p]假，[q]假

此題是涉及根式型遞推數(shù)列關(guān)系的一道綜合題，它巧妙地把函數(shù)、數(shù)列與常用邏輯問(wèn)題合理融合。學(xué)生要結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識(shí)來(lái)分析與推理，才能判定對(duì)應(yīng)命題的真假。此類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的應(yīng)用能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力及邏輯推理能力要求比較高。

二、問(wèn)題破解

（一）對(duì)于命題[p]的判斷

方法1：（作差比較法+極限特征）

由題意可知[xn≥0]，則[xn+1-xn=2xn-1-xn=-（xn-1）22xn-1+xn<0]，

那么數(shù)列[xn]單調(diào)遞減，所以[xn+1

而當(dāng)[xn→1]時(shí)，[xn+1→1]且[xn+1>1]，

對(duì)任意[n∈N*]，都有[1

點(diǎn)評(píng)：作差法是中學(xué)數(shù)學(xué)中比較大小的常用方法，具有實(shí)用性和通法性。運(yùn)用作差法，能夠培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與觀察能力及類比意識(shí)。

方法2：（放縮法+同號(hào)性）

因?yàn)閇xn+1=2xn-1≤x2n=xn]，若以上不等式取等號(hào)，則有[xn=1]，從而[xn-1=…=x1=1]，與題設(shè)條件矛盾，所以[xn+1

又[xn+1-1=2xn-1-1=2（xn-1）2xn-1+1]，可得[xn+1-1xn-1=22xn-1+1>0]，

那么[xn+1-1]與[xn-1]的符號(hào)相同，

而[x1-1=1>0]，則有[xn-1>0]，即[xn>1]。

對(duì)任意[n∈N*]，都有[1

點(diǎn)評(píng)：用放縮法證明數(shù)列不等式是數(shù)列中的難點(diǎn)內(nèi)容。放縮法靈活多變，技巧性要求特別高。放縮是一種能力，放縮要有度，如何恰到好處，是放縮法的精髓和關(guān)鍵所在。

方法3：（同號(hào)性+作差比較法）

由[xn+1=2xn-1]，可得[x2n+1=2xn-1]，即[x2n+1-1=2（xn-1）]，

整理可得[（xn+1-1）（xn+1+1）=2（xn-1）]，

那么[xn+1-1]與[xn-1]的符號(hào)相同。

而[x1-1=1>0]，則有[xn-1>0]，即[xn>1];

又[x2n+1-x2n=2xn-12-x2n=2xn-1-x2n=-（xn-1）2<0]，

所以[x2n+1

對(duì)任意[n∈N*]，都有[1

方法4：（數(shù)學(xué)歸納法+作差比較法）

（1）當(dāng)[n=1]時(shí)，[x1=2>1];

（2）假設(shè)當(dāng)[n=k（k∈N*）]時(shí)，不等式[xk>1]成立，那么[xk+1=2xk-1>2-1=1]成立，即當(dāng)[n=k+1]時(shí)，不等式[xk+1>1]也成立。

根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意[n∈N*]，都有[xn>1]成立;

又[x2n+1-x2n=2xn-12-x2n=2xn-1-x2n=-（xn-1）2<0]，所以[x2n+1

對(duì)任意[n∈N*]，都有[1

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)（或局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可有效解決數(shù)列問(wèn)題。

方法5：（“蛛網(wǎng)圖”法）

由[xn+1=2xn-1]，在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)[f（x）=2x-1]與[y=x]的圖像（如圖1），直線[y=x]在曲線[f（x）=2x-1]的上方，且相切于點(diǎn)[A（1， 1）]，畫出相應(yīng)的“蛛網(wǎng)圖”，可知數(shù)列[xn]單調(diào)遞減，當(dāng)[n→+∞]時(shí)，[xn→1]，即[1

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一個(gè)不可求通項(xiàng)公式的數(shù)列遞推關(guān)系的范圍確定問(wèn)題，利用作差比較法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等常見(jiàn)的方法，并借助“同號(hào)性”等不等式的性質(zhì)來(lái)處理，可以有效破解問(wèn)題。而“蛛網(wǎng)圖”是解決此類問(wèn)題比較特殊的方法，其常借助特征函數(shù)的圖像與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確判定。

（二）對(duì)于命題[q]的判斷

方法1：（裂項(xiàng)法+反證法）

因?yàn)閇xn+1-1=2xn-1-1=2（xn-1）2xn-1+1]，所以[xn+1-1xn-1=22xn-1+1-2xn+1+1]，

則有[（xn+1-1）（xn+1+1）=2（xn-1）]，即[1xn-1=1xn+1-1-1xn+1+1]，亦即[1xn+1-1-1xn-1=1xn+1+1]，所以[1xn-1-1=1xn-1-1xn-1-1+1xn-1-1-1xn-2-1+…+1x2-1-1x1-1 = 1xn+1 + 1xn-1+1 + … + 1x2+12n+1]，[n≥2]。

假設(shè)存在[r∈（0， 1）]，使得對(duì)任意[n∈N*]，都有[xn≤rn-1+1]，那么有[2n+12·1rn-1]，[n≥2]，兩邊取對(duì)數(shù)，可得[ln（n+1）>ln 2-（n-1）ln r]，即存在[r∈（0， 1）]，使得對(duì)任意[n∈N*]，都有[ln（n+1）-ln 2+（n-1）ln r>0]成立，而[ln（n+1）-ln 2+（n-1）ln r

方法2：（極限特征法）

由[xn≤rn-1+1]，可得[xn-1≤rn-1]，那么[xn+1-1xn-1≤rnrn-1=r]，即[2xn-1-1xn-1≤r]，構(gòu)造函數(shù)[f（x）=2x-1-1x-1=22x-1+1]，此函數(shù)在定義域[12，+∞]上單調(diào)遞減，所以自變量[x]從2→1的過(guò)程中單調(diào)遞增，由于任意[n∈N*]，而[x]無(wú)法取到1，則函數(shù)[f（x）]無(wú)最大值，那么[r]不存在，所以不存在[r∈（0， 1）]，使得對(duì)任意[n∈N*]，都有[xn≤rn-1+1]，因此命題[q]為假命題。

方法3：（“蛛網(wǎng)圖”法）

由[xn≤rn-1+1]，可得[xn-1≤rn-1]，那么[xn-1xn-1-1≤rn-1rn-2=r]，即需要滿足[（xn-1， xn）]與[（1， 1）]兩點(diǎn)之間的斜率始終小于一個(gè)在[（0， 1）]之間的確切數(shù)值[r]，如圖2所示，隨著[n]的增大，此斜率一直在遞增，且無(wú)限接近于1，故必須滿足[r≥1]，所以不存在[r∈（0， 1）]，使得對(duì)任意[n∈N*]，都有[xn≤rn-1+1]，所以命題[q]為假命題。

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)存在性問(wèn)題的判定特征，可以借助反證法加以判斷，而涉及數(shù)列通項(xiàng)的變形與應(yīng)用，可以利用裂項(xiàng)、累加等數(shù)列求和方式來(lái)處理，進(jìn)而結(jié)合極限特征等方法來(lái)判斷。同樣，構(gòu)建等比數(shù)列，從“蛛網(wǎng)圖”的視角，結(jié)合幾何意義來(lái)判斷，借助斜率，數(shù)形結(jié)合，也可做出直觀的判斷。

綜上可知，命題[p]為真命題，命題[q]為假命題，故選B。

在破解以數(shù)列為背景的綜合性問(wèn)題時(shí)，往往要充分展示數(shù)列的函數(shù)特征，通過(guò)回歸函數(shù)的基本性質(zhì)與基本方法，結(jié)合數(shù)列的基本特征來(lái)分析，從而達(dá)到知識(shí)與方法的巧妙融合。同時(shí)，要抓住函數(shù)的模型與相關(guān)知識(shí)，以及特殊數(shù)列模型，運(yùn)用邏輯推理方法來(lái)分析與處理，使得問(wèn)題指向明確，方便轉(zhuǎn)化。

三、方法應(yīng)用

解決線性根式型遞推數(shù)列問(wèn)題有特征根法和不動(dòng)點(diǎn)法。而非線性遞推數(shù)列問(wèn)題是各種競(jìng)賽的難點(diǎn)和考試的熱點(diǎn)，這類問(wèn)題可以借助作差比較法、極限特征法、“蛛網(wǎng)圖”法和數(shù)學(xué)歸納法解決比如下面兩題。

1.數(shù)列[a0， a1， a2， …]與[b0， b1， b2， …，]定義如下：

[a0=22]，[an+1=221-1-a2n]，[b0=1]，[bn+1=1+b2n-1bn（n=0， 1， 2， …）]。

證明：不等式：[2n+2an<π<2n+2bn]。

2.設(shè)數(shù)列[an]定義為[a1=1]，[an+1=2an+3a2n+1]，[n≥1]。

（1）證明：當(dāng)[n>1]時(shí)，[an+1+an-1=4an];

（2）證明：[1a1+1a2+…+1an<1+32]。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）