中考探究型試題的考向研究

付小玲

[摘 要]探究型試題集動(dòng)手操作與新知探究于一體，研究探究型試題有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、直覺思維與綜合實(shí)踐能力。

[關(guān)鍵詞]中考;探究型試題;考向

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）14-0004-03

近幾年中考，考查學(xué)生動(dòng)手操作能力的探究型試題在逐年增加。此類試題集動(dòng)手操作與新知探究于一體，需要學(xué)生通過前期的觀察與分析，中期的操作、比較與猜想，后期的抽象與概括等，靈活運(yùn)用課本知識與生活經(jīng)驗(yàn)解決問題。這類試題有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、直覺思維與綜合實(shí)踐能力。

一、利用圖形變換作圖

平面幾何圖形的變換主要包括平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、位似等。利用平移作圖，就是把一個(gè)圖形沿規(guī)定的方向移動(dòng)一定的距離，平移前后的兩個(gè)圖形全等，對應(yīng)線段平行或在同一直線上，且圖形各部分所處的方位不變;利用旋轉(zhuǎn)作圖，就是把一個(gè)圖形繞一個(gè)固定點(diǎn)按順時(shí)針或逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)連線的中垂線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心，每組對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角;利用軸對稱作圖，就是把一個(gè)圖形沿一直線翻折，翻折前后的兩個(gè)圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段或所在直線如果相交，交點(diǎn)在對稱軸上;利用位似作圖，就是把一個(gè)圖形按規(guī)定的比例放大或縮小，位似前后的兩個(gè)圖形相似，對應(yīng)線段平行，對應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過位似中心。

[例1]如圖1，已知[△ABC]的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為[A（3， 3）]，[B（-1， 0）]，[C（4， 0）]。

（1）如果將[△ABC]平移，使點(diǎn)[O]與點(diǎn)[A]重合，那么平移后點(diǎn)[C]的對應(yīng)點(diǎn)[C1]的坐標(biāo)是多少？

（2）將[△ABC]以點(diǎn)[B]為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出所得的三角形。

（3）以點(diǎn)[A]為位似中心放大[△ABC]，得到[△AB2C2]，使[S△ABC]∶[S△AB2C2] =1∶4，在圖中畫出[△AB2C2]。

分析：（1）因?yàn)槠揭坪簏c(diǎn)[A]與點(diǎn)[O]重合，點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為（3，3），點(diǎn)[O]的坐標(biāo)為（0，0），所以點(diǎn)[A]需要向下平移3個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位。因?yàn)辄c(diǎn)[C]的坐標(biāo)為（4，0），向下平移3個(gè)單位，向左平移3個(gè)單位，得點(diǎn)[C1]的坐標(biāo)為（1，-3）。

（2）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而畫出圖形。如圖2所示，[△A′BC′]即為所求，[A′]點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，4）。

（3）直接利用位似圖形面積比得出相似比為1∶2，即可得出對應(yīng)點(diǎn)位置。如圖2所示，[△AB2C2]即為所求。

評注：此類題型常需在網(wǎng)格中作圖，且有坐標(biāo)系。在網(wǎng)格中作圖要充分利用網(wǎng)格的水平線和豎直線所指的方向，找到圖形變化后的對應(yīng)點(diǎn)。一般圖形頂點(diǎn)為格點(diǎn)的，對應(yīng)點(diǎn)也在格點(diǎn)上，作圖時(shí)要依靠關(guān)鍵點(diǎn)來控制圖形的形狀。

二、設(shè)計(jì)測量方案

對于過高或過寬的物體，或者有障礙物的物體，通常不能直接測量其高度或?qū)挾?，對此可以利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識設(shè)計(jì)測量方案，根據(jù)易測出的數(shù)據(jù)算得所求物體的高度或?qū)挾?。其中，可利用的?shù)學(xué)知識包括全等三角形、三角形的中位線、相似三角形、勾股定理及銳角三角函數(shù)。測量工具包括皮尺、測角器、平面鏡、標(biāo)桿等。

[例2]為了測量某電線桿（如圖3）的高度，老師給學(xué)生準(zhǔn)備了如下測量工具：皮尺、標(biāo)桿、測角儀和平面鏡。其中測角儀是用來測量仰角、俯角的儀器。請根據(jù)你所設(shè)計(jì)的測量方案，回答下列問題：（1）請畫出你的測量方案示意圖，并寫出你所選用的測量工具;（2）根據(jù)示意圖，寫出你求電線桿高度的思路。

解析：（1）根據(jù)題意，測量方案示意圖如圖4所示;選用的測量工具為高1.5 m的測角儀、皮尺。

（2）根據(jù)正切函數(shù)設(shè)計(jì)測量方案。先測得[CA]的長度，因?yàn)樗倪呅蝃ACDE]是矩形，可得[DE=CA]，[AE=CD=1.5];根據(jù)正切函數(shù)求得[BE]，[AB=BE+1.5]，即[CA]（測角儀離電線桿的距離）[=a]，[CD]（測角儀的高）=1.5，[∠BDE]（測角儀測得的仰角）[=α]，

根據(jù)正切函數(shù)得[tan α=BEDE]，因?yàn)閇DE=CA=a]，得[BE=atan α]，則[AB=BE+AE=atan α+1.5]，故電線桿高度為[（atan α+1.5）]米。

評注：本題構(gòu)造的圖形是直角三角形和矩形，根據(jù)測得的仰角和水平距離，利用銳角三角函數(shù)求得電線桿的高度。本題選用正切設(shè)計(jì)方案是最好的選擇，因?yàn)闃?gòu)造的直角三角形的斜邊也無法測量，所以正弦與余弦都不能選擇。

三、按要求剪拼圖形

剪拼圖形時(shí)不能改變圖形的面積，一般先把原圖形剪成幾塊，再把這幾塊圖形重新拼合成新的圖形，在拼合時(shí)要用到平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換。實(shí)際上拼合的圖形更能說明問題的本質(zhì)所在，如需計(jì)算或推理，拼合后的圖形條件更集中，問題更易于解決。如把一個(gè)三角形沿中位線剪開后能拼成平行四邊形;把一個(gè)平行四邊形沿著其中一條高線剪開后可以拼成矩形;把一個(gè)四邊形剪切成四部分可以拼成矩形;把兩個(gè)全等的正方形沿對角線剪開后能拼成一個(gè)大正方形;把一個(gè)矩形沿一邊中點(diǎn)與對邊一個(gè)端點(diǎn)的連線剪開，剪開的兩個(gè)圖形可以拼成直角三角形，也可以拼成等腰梯形，還可拼成平行四邊形。

[例3]如圖5所示，把一個(gè)三角形沿中位線剪切后，可以得到一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，這兩個(gè)圖形可以拼成平行四邊形，仿照上面的方法，完成下面的操作：（1）如圖6所示的平行四邊形[ABCD]，把它剪成兩個(gè)圖形，使這兩個(gè)圖形可以拼成一個(gè)矩形，要求在圖中畫出剪切線;（2）如圖7所示的梯形[ABCD]，把它剪成兩個(gè)圖形，使這兩個(gè)圖形能拼成一個(gè)平行四邊形，要求在圖中畫出剪切線。

解析：（1）因?yàn)橛幸粋€(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，所以可以考慮通過作高得到一個(gè)直角，如圖8，過點(diǎn)[A]作[AE⊥BC]，垂足為[E]，再把[△ABE]剪切下來，移到[△DCF]的位置;

（2）因?yàn)樘菪闻c平行四邊形的主要區(qū)別是：平行四邊形有兩組對邊分別平行，梯形只有一組對邊互相平行。因此，可以考慮作不平行對邊的平行線。如圖9，過[AB]的中點(diǎn)[G]作[GF]∥[DC]，再把[△BGF]剪開，然后旋轉(zhuǎn)到[△AEG]的位置即可。

評注：本題的剪切線表現(xiàn)出三種形態(tài)，分別是中位線、高、平行線。其實(shí)還有對角線、對邊中點(diǎn)的連線、過中心的直線等，它們都屬于一次剪切線，剪切線就是一條折線。本題第（1）小題剪切后得到的[△ABE]通過平移進(jìn)行拼接;第（2）小題剪切后得到的[△BGF]通過旋轉(zhuǎn)進(jìn)行拼接。當(dāng)然拼接時(shí)也有借助軸對稱的。

四、通過函數(shù)圖像解決幾何問題

通過觀察函數(shù)圖像獲得信息，不僅可以解決實(shí)際生活問題，還可以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。用函數(shù)圖像解決幾何問題時(shí)，要厘清圖像的含義，要有一定的識圖技能。

[例4]九（1）班的數(shù)學(xué)興趣小組正在探究這樣一個(gè)問題：如圖10，點(diǎn)[D]是[BC]上一動(dòng)點(diǎn)，弦[BC]的長為8 cm，取線段[BC]的中點(diǎn)為點(diǎn)[A]，過點(diǎn)[C]作[CF]∥[BD]，點(diǎn)[F]是[DA]延長線與[CF]的交點(diǎn)。[△DCF]為等腰三角形時(shí)，線段[BD]的長度是多少？

興趣小組的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，此問題不易通過直接推理計(jì)算解決，于是嘗試通過函數(shù)圖像研究此問題的答案。請將下面的探究過程補(bǔ)充完整：

（1）當(dāng)點(diǎn)[D]在[BC]上移動(dòng)時(shí)，線段[BD]的長不斷變化，小組學(xué)生分別測量線段[BD]，[CD]，[FD]的長度，得到下表的幾組對應(yīng)值（單位：cm）。

①當(dāng)點(diǎn)[D]為[BC]的中點(diǎn)時(shí)，上面表格中[a]的值為多少？

②有學(xué)生說：“線段[CF]的長度不用測量就能得到答案?！边@種說法對嗎？為什么？

（2）興趣小組的學(xué)生將線段[BD]的長度作為自變量[x]，把[CD]和[FD]的長度作為[x]的函數(shù)，標(biāo)記為[yCD]和[yFD]，其中函數(shù)[yFD]的圖像（如圖11）興趣小組的學(xué)生已經(jīng)畫出來了，你能在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)[yCD]的圖像嗎？

（3）在同一坐標(biāo)系內(nèi)根據(jù)需要繼續(xù)畫圖，結(jié)合圖像你能看出當(dāng)[△DCF]為等腰三角形時(shí)，線段[BD]長度的近似值嗎？

分析：（1）①在同圓或等圓中，等弧所對的弦也相等，得[a=5.0];②通過“角邊角”證明[△BAD≌△CAF]，可得[BD=CF];（2）用描點(diǎn)法畫出函數(shù)[yCD]的圖像;（3）先畫出[yCF]的圖像，那么函數(shù)[yCD]，[yFD]，[yCF]的圖像彼此的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是[BD]的長度。

解：（1）①因?yàn)辄c(diǎn)[D]為[BC]的中點(diǎn)，所以[BD=CD]，由圓心角定理，得[BD=CD=a=5.0];②因?yàn)辄c(diǎn)[A]是線段[BC]的中點(diǎn)，所以[AB=AC]，因?yàn)閇CF]∥[BD]，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得[∠F=∠BDA]，因?yàn)閇∠BAD=∠CAF]，得[△BAD≌△CAF]，所以[BD=CF]，所以這種說法正確。

（2）根據(jù)表格中[BD]、[CD]的每組對應(yīng)值，描出相應(yīng)的點(diǎn)，再用平滑的曲線畫出函數(shù)[yCD]的圖像（如圖12）。

（3）[yCF]的圖像如圖13所示。[△DCF]為等腰三角形有以下三種情況：一是[CD=FD]，二是[FD=CF]，三是[CF=CD]。當(dāng)[CD=FD]時(shí)，則函數(shù)[yCD]與[yFD]圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是[BD]的長，由圖像可得[BD=3.8];當(dāng)[FD=CF]時(shí)，則函數(shù)[yFD]與[yCF]圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是[BD]的長，由圖像可得[BD=6.2];當(dāng)[CF=CD]時(shí)，則函數(shù)[yCD]與[yCF]圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是[BD]的長，由圖像可得[BD=5.0]。由圖像可得：[BD]的長度為[3.8 cm]或[6.2 cm]或[5.0 cm]時(shí)，[△DCF]為等腰三角形。

評注：本題解決幾何圖形問題的方法別具一格。本題既考查了等腰三角形的判定，又考查了函數(shù)圖像交點(diǎn)的意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）