圓錐曲線與同系數(shù)直線之緣

【摘要】筆者在用GeoGebra仿真直線與圓錐曲線相交問題時發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象，當直線與圓錐曲線同系數(shù)時，相交弦中點始終在同一條直線上，然后用兩種方法證明了該現(xiàn)象的正確性. 受證明方法的啟發(fā)，借助極限思想發(fā)現(xiàn)圓錐曲線在其任一點切線方程的斜率與同系數(shù)直線的斜率存在著關系，并推導出兩個相關結論. 最后用本文的結論推導驗證了橢圓和雙曲線關于切線的兩個性質.

【關鍵詞】圓錐曲線;直線;切線斜率

當圓錐曲線中的圓、橢圓和雙曲線的中心均為原點時，它們的方程有共同的形式，為Ax²+By²=1.

（1）當A>0，B>0且A=B時，方程表示圓;

（2）當A>0，B>0且A≠B時，方程表示橢圓;

（3）當A·B<0時，方程表示雙曲線;

文中與圓錐曲線同系數(shù)的直線指的是變量前的系數(shù)相等，方程為：Ax+By+C=0.

1同系數(shù)圓錐曲線與直線相交之緣

筆者在教學中用GeoGebra仿真直線與圓錐曲線相交問題時發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象. 當直線和圓錐曲線同系數(shù)時，無論系數(shù)如何變化，直線和圓錐曲線相交弦的中點始終在同一條直線上. 如圖1，圖中圓錐曲線方程設置為Ax²+By²=1，直線方程設置為Ax+By+C=0，其中A>0，B>0或A·B<0. 從圖中不難發(fā)現(xiàn)，當系數(shù)A、B取不同值時，圓錐曲線可為圓、橢圓和雙曲線，同系數(shù)直線方程和它們只要相交于兩點，兩點的中點始終在同一條直線上，由軟件得出該直線方程為x-y=0. 為了驗證這一仿真結果，證明如下.

2圓錐曲線上點的切線與同系數(shù)直線之緣

3圓錐曲線在其任一點切線方程的推廣

作者簡介張仙艷（1987—），女，河南駐馬店人，中小學一級教師;主要從事高中動態(tài)數(shù)學圖形、解題方法、數(shù)字圖像等研究;發(fā)表論文數(shù)篇.

參考文獻

[1] 彭耿鈴.圓錐曲線的切線方程及其推廣的結論[ J].中 學生數(shù)理化（高二數(shù)學），2021，（02）：26?27