米山國藏如是說數(shù)學(xué)的精神、思想和方法

張露露　代欽

【摘要】日本著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家米山國藏的著作《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》，在中國數(shù)學(xué)教育界盡人皆知.米山國藏基于數(shù)學(xué)發(fā)展史的觀點(diǎn)，結(jié)合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)悖論、數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)與自然科學(xué)、數(shù)學(xué)與文學(xué)創(chuàng)作等之間千絲萬縷的關(guān)系，深入地闡述了數(shù)學(xué)的精神、思想和方法.同時(shí)，在他的論著中蘊(yùn)含著大眾數(shù)學(xué)思想、正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)的辯證關(guān)系對(duì)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生積極作用等深刻思想.自1986年中文第一版至2019年中文第二版的三十多年中，《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》對(duì)中國的數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了積極影響.

【關(guān)鍵詞】米山國藏;數(shù)學(xué)精神;思想;方法;數(shù)學(xué)教育

在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，當(dāng)我們提到數(shù)學(xué)的精神、思想和方法時(shí)，就會(huì)想到日本著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家米山國藏的《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書，自從該書中文版于1986年出版，就成了中國數(shù)學(xué)教育界的“良師益友”，帶來了豐富的思想和觀點(diǎn).僅在中國知網(wǎng)上可以查到參考米山國藏文獻(xiàn)的論文就超過了一千篇.從小論文到著作都參考該書，甚至數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中亦出現(xiàn)“數(shù)學(xué)精神”的表述，其非凡的學(xué)術(shù)造詣不言而喻.米山國藏?cái)?shù)十載耕耘于數(shù)學(xué)之精神、思想與方法的鉆研之中，加之當(dāng)時(shí)日本在很長一段時(shí)間以來，還沒有一本論述這方面的書籍，于是，他便著手編寫《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》.米山國藏站在跨學(xué)科的立場上，對(duì)從古至今滲透在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的精神真諦、重要的數(shù)學(xué)思想和諸多應(yīng)用于實(shí)際的研究方法與證明策略提出了獨(dú)到見解.與此同時(shí)，針對(duì)如何引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟這些精神、思想和方法，給予了諸多具有啟發(fā)性的建議.

自1968年《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》在日本出版以來，便被翻譯成多種文字出版，在中國就有兩種不同版本.盡管該書已成為中國數(shù)學(xué)教育者的備讀之書，但至今未出現(xiàn)對(duì)該書的評(píng)介.故寫作本文旨在對(duì)該書進(jìn)行深刻剖析，追溯著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家米山國藏的學(xué)術(shù)精髓，并結(jié)合米山國藏的其他學(xué)術(shù)成果，加深對(duì)數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法重要性的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而認(rèn)真思考如何在新時(shí)代有效運(yùn)用和發(fā)展米山國藏的數(shù)學(xué)教育思想.這對(duì)當(dāng)今數(shù)學(xué)的繼續(xù)發(fā)展以及教給學(xué)生數(shù)學(xué)本質(zhì)、培養(yǎng)其核心素養(yǎng)有著重要意義.

1米山國藏生平簡介

米山國藏，日本著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，1877年1月1日出生于神奈川縣平冢市的真壁家，1889年3月27日從神奈川縣師范學(xué)校畢業(yè)，經(jīng)歷了中學(xué)教師工作之后，1903年畢業(yè)于東京高等師范學(xué)校，1908年獲京都大學(xué)數(shù)學(xué)系理學(xué)碩士學(xué)位，1910年6月，任該校數(shù)學(xué)教授.1918年獲東北帝國大學(xué)理學(xué)博士學(xué)位，他的博士論文《連續(xù)的集合論》對(duì)當(dāng)時(shí)日本數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了極大影響，具有劃時(shí)代的意義.米山國藏在從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作之余，還十分關(guān)心教師教育.1922年創(chuàng)設(shè)福岡高等學(xué)校任該校教授，他還擔(dān)任九州帝國大學(xué)工程系教授.其微分方程和復(fù)變函數(shù)理論課程被稱為“對(duì)教育傾注熱情，被公認(rèn)為名課”[1].米山國藏還兼任文部省視學(xué)委員、文部省中等教員講習(xí)會(huì)講師及培訓(xùn)專家，積極參與教師教育.1926年學(xué)術(shù)訪問德國，并于1930—1931年留學(xué)德國.他不斷豐富教育經(jīng)驗(yàn)，逐漸形成了獨(dú)特的教育理念.1937年退休后兼任福岡高中數(shù)學(xué)教授.多篇論文發(fā)表在日本著名數(shù)學(xué)雜志《東北數(shù)學(xué)雜志》上，其位相幾何學(xué)系列論文多達(dá)240頁.1917—1918年間學(xué)術(shù)成果尤為突出，產(chǎn)生了國際性的影響，被多種論著引用.如被R.L.拉姆的“Theory of Set Points”“Enzyklopadie”等引用[2]. 另外，還著有《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（全3卷）、《實(shí)變量函教論》[3]等.他認(rèn)為應(yīng)改革當(dāng)時(shí)日本的教學(xué)方法，分清數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)之間的聯(lián)系與區(qū)別，例如將幾何學(xué)以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)型知識(shí)教給學(xué)生是困難的，要發(fā)揮教育上的優(yōu)勢，使其變?yōu)檫m合學(xué)生思維發(fā)展的形式教授，并就社會(huì)動(dòng)向闡述了教法改革的必要性.他于1968年9月1日卒于京都，享年91歲.

2數(shù)學(xué)的精神、思想和方法

《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》是米山國藏多年來數(shù)學(xué)教育實(shí)踐和研究的結(jié)晶.他從始至終堅(jiān)信數(shù)學(xué)的精神、思想和方法是數(shù)學(xué)發(fā)展經(jīng)久不衰、勇攀高峰的基石，也是教育教學(xué)的中流砥柱.出于對(duì)數(shù)學(xué)精髓的敏銳察覺，米山國藏著手寫作此書.該書自1968年出版以來，受到廣泛歡迎，在日本多次再版，八年印行了十次（圖1）.1986年《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中譯本首次出版（圖2），第二版于2019年10月出版（圖3）.

《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》的內(nèi)容，顧名思義，便是以數(shù)學(xué)之精神、思想和方法為基礎(chǔ)拓展開來，為說明其重要性，米山國藏還介紹了因?yàn)樗鼈兊拇嬖诙沟脭?shù)學(xué)發(fā)展的情況，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)的面貌.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法得以經(jīng)久不衰，得助于數(shù)學(xué)工作者和發(fā)現(xiàn)者，隨后便談及從事數(shù)學(xué)工作的人應(yīng)該具有的素質(zhì).基于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)系，米山國藏著重介紹了數(shù)學(xué)進(jìn)步的來源——數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)就是伴隨著這些基礎(chǔ)問題的解決歷程而不斷發(fā)展和進(jìn)步的.

2.1數(shù)學(xué)精神

1986年，“數(shù)學(xué)精神”一詞隨著《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書的中譯本首次傳入中國而備受關(guān)注.米山國藏并沒有給出數(shù)學(xué)精神的精確界定，但在描述數(shù)學(xué)精神活動(dòng)時(shí)，米山國藏指出，如果我們能熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)，它將對(duì)解決數(shù)學(xué)以外的問題非常有效.這一觀點(diǎn)與英國經(jīng)驗(yàn)主義哲學(xué)家和教育家洛克的觀點(diǎn)不謀而合，洛克指出：“在心智之中養(yǎng)成一種連貫推理的習(xí)慣.……學(xué)了數(shù)學(xué)的人遇到機(jī)會(huì)，就能把這種推理方法遷移到知識(shí)的其他部分中去.”[4]米山國藏闡述了七種主要的數(shù)學(xué)精神，為了更好地探究這些數(shù)學(xué)精神，筆者做了邏輯圖，如下圖4所示.

根據(jù)《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》，米山國藏從數(shù)學(xué)的本質(zhì)、發(fā)展、性質(zhì)、作用與優(yōu)勢等方面將數(shù)學(xué)精神總結(jié)為七個(gè)方面.

應(yīng)用化的精神使得數(shù)學(xué)得以產(chǎn)生并運(yùn)用在生活的方方面面.數(shù)學(xué)從為數(shù)不多的公理開始，通過符合邏輯的組合、推導(dǎo)和證明導(dǎo)出更多的定理和公式而去解決問題.在人類、自然界、社會(huì)中的應(yīng)用表現(xiàn)出其普遍的意義.數(shù)學(xué)向前發(fā)展，就需要不斷發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新，這便是致力于發(fā)明、發(fā)現(xiàn)的研究精神的體現(xiàn).它在數(shù)學(xué)上必不可少，要靠后人不斷探索.其中蘊(yùn)含著米山國藏對(duì)數(shù)學(xué)教育研究工作者的殷切希望.在學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中，米山國藏強(qiáng)調(diào)要將其植入于數(shù)學(xué)教科書等載體之中，由老師將其提煉出來，以增強(qiáng)學(xué)生敢于探索和勇于實(shí)踐的能力.

數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容與方法發(fā)展的主要方式體現(xiàn)出擴(kuò)張化、一般化的精神和組織化、系統(tǒng)化的精神，它在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中隨處可見.例如幾何學(xué)的建構(gòu)過程，最初由不同的人獨(dú)立發(fā)現(xiàn)幾何學(xué)各種定理，通過歐幾里得首次整理，將幾何學(xué)組織起來并系統(tǒng)化，從而導(dǎo)致了一門科學(xué)的誕生.又如函數(shù)概念的一般化，函數(shù)基本概念通過七次擴(kuò)張，最初由萊布尼茲引入“函數(shù)”一詞，經(jīng)過約翰·伯努利、歐拉、傅里葉、柯西、黎曼、狄利克雷、維布倫及倫內(nèi)等數(shù)學(xué)家地不斷更正與改造，由最初的定義、“解析函數(shù)”、重新規(guī)定對(duì)應(yīng)關(guān)系、概念擴(kuò)廣、自變量變域限制的取消、利用變量定義函數(shù)到由集合定義函數(shù)的擴(kuò)張等一系列過程，時(shí)至今日已經(jīng)演變?yōu)閼?yīng)用廣泛的函數(shù)概念.數(shù)學(xué)研究者和數(shù)學(xué)教育者的常態(tài)化奮斗精神對(duì)于數(shù)學(xué)甚至整個(gè)科學(xué)的發(fā)展具有舉足輕重的意義.整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的發(fā)展展現(xiàn)了統(tǒng)一建設(shè)的精神，當(dāng)我們以較高的觀點(diǎn)去審視數(shù)學(xué)，就能發(fā)現(xiàn)這種精神的廣泛性.小到初等數(shù)學(xué)，大到高等數(shù)學(xué)，這種精神隨處可見.當(dāng)正自然數(shù)、零和負(fù)自然數(shù)被我們統(tǒng)一建立起來時(shí)，整數(shù)數(shù)系就應(yīng)運(yùn)而生了.解決代數(shù)和幾何應(yīng)用題時(shí)，我們總是傾向于找出復(fù)雜情形中相對(duì)簡單的一般化思路將問題簡化.正是這種精神的助推，統(tǒng)一建設(shè)起來的數(shù)學(xué)才愈加牢固.毋庸置疑，數(shù)學(xué)是伴隨著正確的知識(shí)系統(tǒng)逐步發(fā)展與進(jìn)步的.

作為一名現(xiàn)代數(shù)學(xué)家，米山國藏不僅對(duì)數(shù)學(xué)有較深的研究，而且還涉獵哲學(xué)、藝術(shù)和文學(xué)等廣泛的領(lǐng)域.數(shù)學(xué)講求人們思考問題時(shí)思維的經(jīng)濟(jì)化，就是花最少的思維去解決問題.這不僅是數(shù)學(xué)的作用和優(yōu)勢，更是數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科持續(xù)發(fā)展的動(dòng)力.在大多數(shù)人看來，數(shù)學(xué)是難學(xué)的，因?yàn)槿绻话凑諗?shù)學(xué)的邏輯一步一步地學(xué)習(xí)，你就會(huì)因?yàn)橹型救鄙俚哪菐撞蕉骨斑M(jìn)的道路困難重重.這里的“思想”，實(shí)指“思維”.然而，米山國藏用“思想的經(jīng)濟(jì)化”的精神告訴人們，數(shù)學(xué)是好學(xué)的，數(shù)學(xué)講求思維的經(jīng)濟(jì)化，它是由簡單明了的思維與邏輯推理的結(jié)合逐步構(gòu)成的.只要踏踏實(shí)實(shí)地逐步理解，便可掌握數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容.循序漸進(jìn)，才是學(xué)好數(shù)學(xué)的捷徑.數(shù)學(xué)思想的經(jīng)濟(jì)化精神源在于奧地利哲學(xué)家恩斯特·馬赫（Ernst Mach，1838—1916）、法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家昂利·彭加勒（Jules Henri Poincare，1854—1912）和法國數(shù)學(xué)家雅克 ？偊b 阿達(dá)馬（Jacques Solomon Hadamard，1865—1963）等人的思想.正如彭加勒所說：“著名的維也納哲學(xué)家馬赫曾經(jīng)說過：科學(xué)的作用在于產(chǎn)生思維經(jīng)濟(jì)，正像機(jī)器產(chǎn)生勞動(dòng)力經(jīng)濟(jì)一樣.”[5]馬赫曾經(jīng)也說過：“一個(gè)精選的名詞就能使思維有多么經(jīng)濟(jì).……數(shù)學(xué)是把同一名稱給予不同事物的藝術(shù).”[6]數(shù)學(xué)思想的經(jīng)濟(jì)化精神，對(duì)數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的啟發(fā)作用.

最后，我們將談到數(shù)學(xué)的嚴(yán)密化的精神.眾所周知，數(shù)學(xué)的發(fā)展不同于其他學(xué)科，不是通過推翻先前的理論而發(fā)展，而是通過在前人理論的基礎(chǔ)上不斷創(chuàng)新，具有邏輯的成長.而使數(shù)學(xué)大廈變得堅(jiān)固不可動(dòng)搖的，便是數(shù)學(xué)自古以來嚴(yán)密的性質(zhì).同時(shí)，米山國藏重視數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)與教育形態(tài)的關(guān)系.他指出，當(dāng)數(shù)學(xué)作為一種教育材料時(shí)，我們應(yīng)考慮適合學(xué)生心理發(fā)展水平的嚴(yán)密性，即教育的嚴(yán)密性.如我們所學(xué)的函數(shù)概念，就是隨著年級(jí)的增加而逐漸加深的.

2.2數(shù)學(xué)思想

米山國藏認(rèn)為，數(shù)學(xué)工作者以嚴(yán)密偉大的精神開拓了無限深遠(yuǎn)廣大的思想空間，他們?cè)谄渲袑で笞约盒拍畹臐M足和人間的真正幸福[7].書中論述了十種重要的數(shù)學(xué)思想，如圖5所示.

融通數(shù)學(xué)思想，鍛煉思維能力.數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)成百上千年來數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的分析總結(jié)得到的，它是使數(shù)學(xué)無止境地向前發(fā)展的精神動(dòng)力.米山國藏建議數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時(shí)向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想，鍛煉學(xué)生的思維能力.數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思考的充分自由，要多鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索的精神，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力和習(xí)慣，使他們的開放性思維得以提升.就像米山國藏對(duì)待傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)進(jìn)步的關(guān)系那樣，教師要引導(dǎo)學(xué)生正確對(duì)待傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)進(jìn)步的關(guān)系，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)于數(shù)學(xué)的進(jìn)步猶如雙刃劍，既是后者的來源和動(dòng)力，又可能對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生阻礙.對(duì)此，在尊重傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，不斷對(duì)它們?nèi)ゴ秩【?、去偽存真的加工提煉，使正確的部分得以進(jìn)一步發(fā)展[7]81，才能使數(shù)學(xué)得以進(jìn)步.他倡導(dǎo)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教書時(shí)要意識(shí)到數(shù)學(xué)的極限思想，例如在利用“路程時(shí)間=速度”這一公式解題時(shí)，教師要清楚這里算出來的速度只是平均速度，想要弄清楚每時(shí)刻的確切速度，就需要微積分等極限工具.在講授用“數(shù)學(xué)歸納法”作為工具解題時(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)公理的不證明性，體會(huì)“不定義的術(shù)語組”和“不證明的命題組”的思想，等等.

法國詩人諾瓦利斯認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，同時(shí)也是一門藝術(shù).數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的是讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美，米山國藏贊同詩人諾瓦利斯的觀點(diǎn)——數(shù)學(xué)是科學(xué)，同時(shí)又是藝術(shù)，它是用美的法則形式，去表現(xiàn)其天才的活動(dòng)的，而且它是靠理性去造就和改善自然[7]238.在教學(xué)中，教師的首要任務(wù)就是培養(yǎng)和陶冶學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的感受性和創(chuàng)造力，啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀與直覺.數(shù)學(xué)美無時(shí)不刻都在體現(xiàn)：圖形之中的對(duì)稱美，在定理公式之中的簡潔美和整齊美，以及整個(gè)數(shù)學(xué)所體現(xiàn)的嚴(yán)密美等等.數(shù)學(xué)又是神秘的，因?yàn)樗偰茉谇ё內(nèi)f化之中得到亙古不變的數(shù)學(xué)定律，而數(shù)學(xué)并不是唯美地追求美，而是在邏輯的真假判斷與實(shí)踐的價(jià)值判斷的統(tǒng)一中追求美[8].例如，就公理體系來說，19世紀(jì)以后，羅巴切夫斯基幾何學(xué)的創(chuàng)立及其后在數(shù)學(xué)中掀起的公理化運(yùn)動(dòng).有的數(shù)學(xué)家就認(rèn)為，只要任意改變幾條公理，就可以自由創(chuàng)造出新的公理系統(tǒng)、新的數(shù)學(xué)理論，數(shù)學(xué)就可以脫離實(shí)際而發(fā)展[9].這顯然是一種沒有實(shí)踐價(jià)值的理論，脫離了理論或者實(shí)踐任一方面，都無法體現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力.法國科學(xué)家龐加萊曾說過：“能夠作出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人，是具有感受數(shù)學(xué)中的秩序、和諧、對(duì)稱、整齊和神秘美等能力的人，而且只限于這種人”[7]105.所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐操作中，要注意培養(yǎng)學(xué)生理論與實(shí)踐相結(jié)合探求真理的能力，感受到數(shù)學(xué)的神秘美和形態(tài)美，加深對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.

2.3數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)方法作為數(shù)學(xué)精神和思想的延續(xù)，具有重要的實(shí)際意義.正如米山國藏所言，通過精神活動(dòng)產(chǎn)生思想，為了實(shí)現(xiàn)思想而研究出方法，作為其結(jié)果，就得出了許多數(shù)學(xué)定理、法則和公式[7]135.這本書介紹了貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)中最廣泛的研究方法和證明方法，關(guān)注點(diǎn)不僅在上述方法所得的結(jié)果上，并且還詳細(xì)闡述了方法的內(nèi)涵與具體應(yīng)用，對(duì)如何學(xué)數(shù)學(xué)和教數(shù)學(xué)提供了有益的借鑒.

在學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)中，找出對(duì)學(xué)生所提出的問題的解決方法或證明方法的方針、方法[7]102.教師要明白所教內(nèi)容蘊(yùn)涵的原理，以及在其背后龐大的知識(shí)系統(tǒng)，做到胸有成竹.作為一名數(shù)學(xué)老師，看問題要舉一反三，了解與題目有關(guān)的定理法則，針對(duì)學(xué)生所提問題，給出全面的解答.例如諸種方程解法的發(fā)現(xiàn)就是運(yùn)用了這種思想方法.

在解決一般問題之際，一般問題包含了多種情形時(shí)的解決方法[7]105.對(duì)于相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，就會(huì)包含很多種不同的情況.此時(shí)，首先需要從相對(duì)簡單的特殊情形出發(fā)，疏通問題的命脈，然后去解決一般情形以及整個(gè)問題.例如對(duì)復(fù)變量線性函數(shù)幾何意義的研究，就是通過第一個(gè)簡單情形Z=f（x）=z+b、第二個(gè)簡單情形Z=az與第三個(gè)簡單情形Z=1/z，將這三種簡單情形結(jié)合起來，就能推出一般的線性方程Z=az+b/cz+d，并對(duì)論證方法的本質(zhì)與推理方法進(jìn)行了說明.可見，這些常用的方法是推動(dòng)數(shù)學(xué)勇攀高峰、蓬勃發(fā)展的指明燈.

3米山國藏的數(shù)學(xué)教育思想

米山國藏憑借數(shù)十載數(shù)學(xué)教學(xué)、和科學(xué)研究的深厚經(jīng)驗(yàn)和長期的深思熟慮，凝結(jié)成了這本非常有影響力的、不斷啟發(fā)后人的佳作——《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》，其中蘊(yùn)含著其豐富而獨(dú)特的數(shù)學(xué)教育思想.

3.1理解數(shù)學(xué)之能，則易貫穿百家

米山國藏認(rèn)為藝術(shù)家、科學(xué)家和數(shù)學(xué)家素質(zhì)是具有一致性的. 這一點(diǎn)可從德國著名思想家、作家和科學(xué)家歌德（Johann Wolfgang von Goethe，1749—1832）的身上體現(xiàn)出來.作為偉大的藝術(shù)創(chuàng)作家，他在自然科學(xué)所做的貢獻(xiàn)同樣令人吃驚，他發(fā)現(xiàn)了上顎骨片、發(fā)現(xiàn)并使用了比較研究法和發(fā)生學(xué)研究法、研究了“色彩論”等，同時(shí)還在地質(zhì)學(xué)、氣象學(xué)等方面造詣?lì)H深.可以看到，發(fā)明與創(chuàng)造新事物的人，不僅在數(shù)學(xué)創(chuàng)造方面，而且在其它領(lǐng)域，其所具有的素質(zhì)在本質(zhì)上是相同的.正如當(dāng)有人就科技工作者的必修學(xué)科向著名的X射線的發(fā)現(xiàn)者倫琴請(qǐng)教時(shí)，倫琴說了這樣一句話：“對(duì)科學(xué)工作者必不可少的，第一是數(shù)學(xué)，第二是數(shù)學(xué)，第三還是數(shù)學(xué).”[7]13由此可見，于己于他，數(shù)學(xué)都發(fā)揮著不可替代的作用.所以，理解數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)之美，則易貫穿百家.米山國藏認(rèn)為，在數(shù)學(xué)中運(yùn)用、訓(xùn)練并得到精煉的精神活動(dòng)，同時(shí)亦是人類的精神活動(dòng)，會(huì)滲透到其他事物中去.實(shí)際上，對(duì)解決數(shù)學(xué)以外的問題，若巧妙地應(yīng)用數(shù)學(xué)，會(huì)非常奏效[7]3.正如米山國藏感慨：如果偉大的發(fā)明家愛迪生再有相當(dāng)程度的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)訓(xùn)練的話，不難想象，這會(huì)給他的事業(yè)帶來非常多的好處[7]250.

數(shù)學(xué)的真諦在于思維的自由開闊，這是數(shù)學(xué)思維的的奠石之基，使人們打破眼前事物的束縛，調(diào)動(dòng)自己的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的精神，推動(dòng)著數(shù)學(xué)不斷發(fā)展，人類的精神活動(dòng)和思維活動(dòng)亦有了長足的進(jìn)步，這種精神不斷激勵(lì)著數(shù)學(xué)家們，才使得他們建立起遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越現(xiàn)實(shí)的思維能力.米山國藏堅(jiān)信，這種思想，直到遙遠(yuǎn)的未來，都將永遠(yuǎn)促使數(shù)學(xué)與其他科學(xué)技術(shù)無止境地向前發(fā)展[7]69.

3.2培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，才能終生受益

總結(jié)多年的數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，米山國藏領(lǐng)悟到：“學(xué)生們接受的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)進(jìn)入社會(huì)后幾乎沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，所以通常出校門不到一兩年，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等（若培養(yǎng)了這方面的素質(zhì)的話），卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生.”[7]序而數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，對(duì)于學(xué)生來說，即使今后不再學(xué)習(xí)和鉆研數(shù)學(xué)，對(duì)他們產(chǎn)生的潛移默化的影響也會(huì)長久存在，即培養(yǎng)了數(shù)學(xué)的素養(yǎng).

米山國藏還在“數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)的、直覺的和心理的基礎(chǔ)”章節(jié)中，通過數(shù)概念產(chǎn)生的不同觀點(diǎn)闡述自己對(duì)直覺與直觀的認(rèn)識(shí).他認(rèn)為，在教育上看，那些認(rèn)為數(shù)概念的構(gòu)成與空間概念有密切關(guān)系者，就會(huì)成為直觀主義教授[7]339.這與當(dāng)今中國培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)有著共通之處，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在直觀想象核心素養(yǎng)中指出，要提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力;增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識(shí);形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì)[10].研究米山國藏的數(shù)學(xué)教育思想對(duì)現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教育仍然具有重要的借鑒作用.

在傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，研究正面問題往往大大多于研究反面問題及其原因，米山國藏亦認(rèn)識(shí)到了這一點(diǎn).正如希臘大哲學(xué)家蘇格拉底“產(chǎn)婆術(shù)”講學(xué)方法，首先重視的就是讓受教育者察覺自己原來間接的錯(cuò)誤或不足，從而使虛心受教育者能夠?qū)κ挛锏玫秸_的認(rèn)識(shí)[11]那樣，米山國藏強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)悖論在數(shù)學(xué)中的重要地位，正是因?yàn)檫@些問題使數(shù)學(xué)家日積月累地開動(dòng)腦筋去鉆研，進(jìn)而促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.那么在教學(xué)中，教師要循著悖論在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生和解決的歷史脈絡(luò)，意識(shí)到從反面的問題出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，進(jìn)而提高學(xué)生的反思能力.

數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操，為教師將數(shù)學(xué)的思想、方法和法則傳授給青少年提供了無數(shù)良好的知識(shí)和材料.但是，如果只讓學(xué)生學(xué)會(huì)書上的知識(shí)點(diǎn)、理解課本上呈現(xiàn)的內(nèi)容，那么，在一段時(shí)間之后，學(xué)生學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)將會(huì)被遺忘.如果學(xué)生頭腦中只是對(duì)數(shù)學(xué)有知識(shí)層面的認(rèn)識(shí)，學(xué)生學(xué)到的則是微乎其微的東西.正如米山國藏強(qiáng)調(diào)：“若數(shù)學(xué)教師以及數(shù)學(xué)書的作者，不去把教材中潛藏的這種精神、這些方法提煉出來，使之表面化，那么，就不能發(fā)揮它們應(yīng)有的效果.”[7]32因此，他建議數(shù)學(xué)教師將數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的精神、思想和方法提取出來并加以整理，然后以恰當(dāng)?shù)姆绞浇探o學(xué)生，才能令學(xué)生受益終生.由此可見，對(duì)于教育工作者而言，重要的是多探求蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)之中的思想方法，只有自己先將它們弄清楚，才能夠正確地傳授給學(xué)生.要注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的策略，讓學(xué)生即使忘記了數(shù)學(xué)知識(shí)，但是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法也將深深地銘刻在他們的腦海之中，這才是最好的教育.

3.3善于總結(jié)探索，促進(jìn)與時(shí)俱進(jìn)

從古至今，數(shù)學(xué)從被發(fā)現(xiàn)開始就馬不停蹄地向前發(fā)展，主要?dú)w功于那些數(shù)學(xué)教育和研究工作者以及熱愛數(shù)學(xué)的人們，是他們發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)定理，并將原有的概念不斷地補(bǔ)充和擴(kuò)張，才有了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的龐大體系.因此，他們擁有著怎樣的素質(zhì)，成了米山國藏主要研究的內(nèi)容.這種研究為今后數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了強(qiáng)大助力.擴(kuò)張法即數(shù)學(xué)發(fā)展的一般化方法，很多數(shù)學(xué)的基本概念都是通過一般化而得以擴(kuò)張.例如我們熟悉的數(shù)的概念，從古至今，它從自然數(shù)開始，逐步拓展其范圍，從而發(fā)展到整數(shù)、有理數(shù)直到超復(fù)數(shù)，未來也許還會(huì)以同樣的步伐發(fā)展下去.發(fā)現(xiàn)法，就是發(fā)現(xiàn)原本未被發(fā)現(xiàn)的定理和概念等.就像函數(shù)概念的發(fā)展，傅里葉創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)了關(guān)于函數(shù)的傳統(tǒng)觀點(diǎn)從根本上是錯(cuò)誤的，經(jīng)過他的修正，才使得函數(shù)的發(fā)展走上了正確的道路，為后人的繼續(xù)研究掃清了障礙.與此同時(shí)，要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的兩大理論要素——數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)者的出發(fā)點(diǎn)和輔助學(xué)科的發(fā)展.做數(shù)學(xué)研究的人還要注意數(shù)學(xué)以及其它學(xué)科的研究動(dòng)向，對(duì)其了然于心，必要時(shí)進(jìn)行應(yīng)用.

對(duì)于數(shù)學(xué)研究工作者，米山國藏強(qiáng)調(diào)了刻苦努力的重要性.只有努力探索，才能給予我們發(fā)現(xiàn)的靈感，并將發(fā)現(xiàn)歸結(jié)為“努力—靈感—努力”的過程.數(shù)學(xué)發(fā)展的與時(shí)俱進(jìn)離不開數(shù)學(xué)研究者的努力.所以，善于總結(jié)數(shù)學(xué)發(fā)展的精神、思想和方法，并不斷探索新的發(fā)展領(lǐng)域，勇往直前，孜孜不倦，就顯得十分珍貴了.米山國藏建議數(shù)學(xué)工作者：“不要局限在過去唯一的幾何學(xué)、唯一的代數(shù)學(xué)的狹小范圍內(nèi)，而是從今天無比廣闊的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，去挑選對(duì)自己的研究工作最方便的工具，借以建立起比過去更進(jìn)步、水平更高的學(xué)說，創(chuàng)造出應(yīng)用方面的偉大成果來.”[7]412

3.4尊重學(xué)術(shù)形態(tài)，認(rèn)識(shí)教育形態(tài)

米山國藏于1925年之前，在討論純粹的學(xué)術(shù)性數(shù)學(xué)和大眾數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)上，提出了數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)的觀點(diǎn)，并系統(tǒng)地論述了兩者的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)而給出實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育形態(tài)方面的建議.

他認(rèn)為，要嚴(yán)格區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)的兩種不同形態(tài)——純粹數(shù)學(xué)和學(xué)校數(shù)學(xué).與數(shù)學(xué)家所研究的純粹數(shù)學(xué)相反，學(xué)校教數(shù)學(xué)的目的，不僅是培養(yǎng)數(shù)學(xué)研究者，更多的是培養(yǎng)具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的公民[12].由此可見，使數(shù)學(xué)大眾化更為重要，使數(shù)學(xué)大眾化就是將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)抽象轉(zhuǎn)化為教育大眾化的問題.概其要義，是使數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的問題.因此，他首次提出了數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)形態(tài)的幾大優(yōu)點(diǎn)：（1）從傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展看，要保持?jǐn)?shù)學(xué)的絕對(duì)的嚴(yán)謹(jǐn)性;（2）學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué)追求其基礎(chǔ)的牢固性;（3）學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué)有著顯著的一般性;（4）學(xué)科之間的邏輯關(guān)系的明確性;（5）抽象的科學(xué)研究的結(jié)果，一個(gè)學(xué)科中定理之間的邏輯關(guān)系的明確性.這些優(yōu)點(diǎn)在與現(xiàn)實(shí)發(fā)生關(guān)系時(shí)才能充分顯示.米山國藏用德國著名數(shù)學(xué)家F·克萊因（C·F·Klein，1849—1925）的觀點(diǎn)進(jìn)一步論證了自己的見解.F·克萊因認(rèn)為，數(shù)學(xué)的生命在于與現(xiàn)實(shí)社會(huì)的交流和其應(yīng)用的豐富性中.抽象的數(shù)學(xué)猶如學(xué)問的枯骨那樣，將數(shù)學(xué)對(duì)象僅作為空洞的符號(hào)來研究，等于送葬枯骨的鐘聲那樣[12]329.

另一方面，米山國藏用西方的貴族政治和庶民政治的關(guān)系來比喻作為學(xué)術(shù)研究的純粹數(shù)學(xué)和民眾所使用的數(shù)學(xué)的關(guān)系.這種比喻不一定恰當(dāng)，但是說明了學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué)和非學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué)并非勢不兩立，而是從它們的起源發(fā)展上看，他們彼此之間具有密不可分的關(guān)聯(lián)性.在他看來，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是在歐幾里得千辛萬苦、殫精竭慮才建立起來并在《幾何原本》公理系統(tǒng)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，而且在兩千多年的歷史發(fā)展中，無數(shù)個(gè)數(shù)學(xué)家付出勞動(dòng)和智慧才能形成的[12]338.因此把這種學(xué)術(shù)的知識(shí)原原本本地教授給青少年是不合適的，無論是在他們的心理、智力和時(shí)間等諸方面，都是不可能實(shí)現(xiàn)的[13].因此，基于大眾數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，將學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行改造，把數(shù)學(xué)教學(xué)方法進(jìn)行改善，這樣才能有效地實(shí)施學(xué)校數(shù)學(xué)教育教學(xué)[14].換言之，進(jìn)行大眾數(shù)學(xué)教育的根本在于教材的選擇與教授法的改善.

以上所述，是米山國藏的數(shù)學(xué)之學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)的梗概，他在其多部論著中不同程度地闡述了這一觀點(diǎn).我們?cè)倭碜慕榻B，茲不贅述.

4結(jié)語

米山國藏將自己的一生都獻(xiàn)給了數(shù)學(xué)教育事業(yè)，他刻苦研究，一心做教育，培養(yǎng)了無數(shù)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師，他的成就不言而喻.為了讓自己的數(shù)學(xué)教育思想指導(dǎo)后世，他留下了這本數(shù)學(xué)名著，書中包含了大量的數(shù)學(xué)教學(xué)建議與實(shí)例.雖然我們無法得到他的親自指點(diǎn)，但是通過品讀他的這本代表作，我們就能夠受益良多，他的諄諄教誨，體現(xiàn)出了對(duì)數(shù)學(xué)教育研究工作者和學(xué)生的殷切希望.書中對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的論述、學(xué)生如何學(xué)好數(shù)學(xué)方法的闡明、數(shù)學(xué)教師正確教導(dǎo)學(xué)生的闡述等都具有重要的啟發(fā)作用.

（1）理論與實(shí)際結(jié)合教學(xué)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光.

純數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育不同，前者是理論研究，而后者則是教授數(shù)學(xué)知識(shí)，需要數(shù)學(xué)教師知識(shí)上的充實(shí)以及在實(shí)踐中的不斷探索.數(shù)學(xué)的教學(xué)要傳授知識(shí)，更要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力.米山國藏強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育中要理論和實(shí)踐兼顧，并區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)與教育形態(tài)的關(guān)系.正如米山國藏所言，日本的教育以實(shí)踐性教學(xué)著稱，他們善于發(fā)現(xiàn)生活中數(shù)學(xué)的應(yīng)用，并在其教科書中體現(xiàn)出來.例如，在三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課后延伸中展現(xiàn)了斜切蘿卜皮就會(huì)得到漂亮的正弦曲線[15]，十分生動(dòng)，尤其能激發(fā)學(xué)生的動(dòng)手制作的興趣.章末還展示了研究耳機(jī)消除噪音以及避免聲音泄露的方法，其中的核心技術(shù)就以三角函數(shù)為模型原理進(jìn)行.基于此呈現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)代科技的密切關(guān)系，不失時(shí)機(jī)地培養(yǎng)學(xué)生愛科學(xué)、用數(shù)學(xué)的志趣，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，值得借鑒.

（2）由簡入繁講數(shù)學(xué)，培壅數(shù)學(xué)思維.

米山國藏突出教師在指導(dǎo)學(xué)生自己解決問題時(shí)的方法，對(duì)于抽象的問題，解決它是困難的，應(yīng)該首先嘗試解決同類的簡單具體問題，這是研究問題最有效的途徑.例如在解決N邊形內(nèi)角和問題時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生從三角形、四邊形、五邊形等的內(nèi)角和開始研究，進(jìn)而得出答案.在解決問題和發(fā)現(xiàn)事物時(shí)，從簡單推及復(fù)雜，從特殊推介一般是米山國藏特別重視的發(fā)現(xiàn)法則，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種思維，通過這種方法更好地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界.

（3）從教育角度教書，體悟數(shù)學(xué)之美.

米山國藏著重論述了與其教授數(shù)學(xué)問題本身的知識(shí)，不妨利用教育的角度傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)的精神、思想和方法.例如高中的弧度制，作為課程標(biāo)準(zhǔn)與教師和學(xué)生公認(rèn)的重點(diǎn)內(nèi)容，弧度制的作用不僅僅體現(xiàn)在作為度量角度的單位上，隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，因?yàn)橛辛嘶《戎?，使得解決數(shù)學(xué)問題更加簡潔與自然，弧度制因此體現(xiàn)了數(shù)學(xué)簡潔美與自然美.同時(shí)作為難點(diǎn)內(nèi)容，教師可以在弧度制課堂中滲透三角函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，加強(qiáng)理論與實(shí)踐的結(jié)合.如為學(xué)生安排視覺觀察和探索的活動(dòng)，讓學(xué)生注意到使用半徑作為長度單位沿圓的外側(cè)測量弧.使學(xué)生了解在雜亂的自然界中，存在著具有美感的數(shù)量關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的真正興趣.[7]10提高對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的求知欲，才能向著課程標(biāo)準(zhǔn)中的使學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的目標(biāo)邁進(jìn).

《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，其內(nèi)涵之豐富，對(duì)當(dāng)今培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)亦起到重要的指導(dǎo)性作用.米山國藏提出的獨(dú)到的數(shù)學(xué)思維道路網(wǎng)，并指出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)實(shí)則是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所蘊(yùn)含的精神、思想和方法，它們才是數(shù)學(xué)熾熱的靈魂，學(xué)到了就會(huì)受益終生.他是日本數(shù)學(xué)家，但他以勤勉嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和孜孜不倦的教學(xué)研究，為世界的數(shù)學(xué)教育做出了巨大的貢獻(xiàn).我們要銘記米山國藏思想之精髓，并將其運(yùn)用在教學(xué)之中，為數(shù)學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步奉獻(xiàn)出自己的一份力量.

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[15]高橋楊一郎等.《數(shù)學(xué)Ⅱ》[M]. 東京： 啓林館， 2017.

[32][日]米山國藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].毛中正，吳素華，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2019：10.

作者簡介張露露（1996—），通訊作者，女，內(nèi)蒙古赤峰人，內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院博士研究生;主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究.

代欽（1962—），男，內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院教授，博士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)哲學(xué)教學(xué)與研究工作.