小數(shù)軸　大智慧

黃婷

[摘 要]數(shù)軸在數(shù)學(xué)多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域都可以見(jiàn)到它的影子，它對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)、運(yùn)算能力的提升、數(shù)學(xué)理解和思維發(fā)展都發(fā)揮著不可忽視的作用。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，教師靈活地運(yùn)用數(shù)軸，有意識(shí)地向?qū)W生滲透數(shù)軸，可促進(jìn)知識(shí)體系的建構(gòu)，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)軸;數(shù)感

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2022）17-0082-03

現(xiàn)行的蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在編排時(shí)，先將“數(shù)尺”抽象成“數(shù)線”，再把“數(shù)線”演變成“數(shù)軸”，逐步將學(xué)生的思維引入深處，讓他們可以借助數(shù)軸建構(gòu)相關(guān)概念，探尋知識(shí)的本質(zhì)，領(lǐng)略數(shù)形結(jié)合的精彩。而在目前的數(shù)學(xué)課堂中，個(gè)別教師未能重視數(shù)軸，在教學(xué)數(shù)軸知識(shí)時(shí)，采用“一講到底”的教學(xué)模式，使得學(xué)生未能掌握知識(shí)的核心要領(lǐng)。作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)具有數(shù)學(xué)人的意識(shí)，巧用數(shù)軸輔助學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

一、借助數(shù)軸，培養(yǎng)數(shù)感

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，在第一學(xué)段的數(shù)與代數(shù)中，要學(xué)生感受數(shù)的意義，體會(huì)數(shù)是用來(lái)表示和交流的，進(jìn)而初步建立數(shù)感?？梢?jiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感是數(shù)學(xué)課堂的重要目標(biāo)之一。那么何為數(shù)感？數(shù)感是學(xué)生主動(dòng)、積極地運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和意識(shí)。數(shù)感的形成是一個(gè)循序漸進(jìn)的認(rèn)知過(guò)程，需要學(xué)生主動(dòng)去感知、去發(fā)現(xiàn)。在這樣的過(guò)程中，自然少不了“數(shù)”和“計(jì)數(shù)”的知識(shí)，而數(shù)軸無(wú)疑是連接兩者的載體。數(shù)軸上的數(shù)都有嚴(yán)格的排序規(guī)則，體現(xiàn)計(jì)數(shù)的順序，而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助數(shù)軸，可以幫助學(xué)生直觀、形象地認(rèn)識(shí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)等，從而更好地揭示數(shù)的本質(zhì)。

1.數(shù)軸是學(xué)生認(rèn)數(shù)的“拐杖”

例如，在教學(xué)一年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)”時(shí)，首次出現(xiàn)了數(shù)軸（如圖1），這也是教材中數(shù)與形的首次“聯(lián)姻”。教材編者有意引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上感知5以內(nèi)數(shù)的順序，進(jìn)一步感受數(shù)的大小關(guān)系，但可惜的是，一部分教師在教學(xué)時(shí)，對(duì)這道習(xí)題的處理過(guò)于簡(jiǎn)單，在學(xué)生填出數(shù)字后，就草草收兵，并沒(méi)有挖掘習(xí)題背后的價(jià)值。實(shí)際上，在學(xué)生完成填、讀訓(xùn)練后，教師可以讓學(xué)生回答這樣的問(wèn)題：“這幾個(gè)數(shù)是怎樣排列的？這幾個(gè)數(shù)的排列順序與箭頭的方向有著怎樣的關(guān)系？”基于學(xué)生的回答，再進(jìn)行追問(wèn)：“圖中豎線的間隔一樣嗎？比5小的數(shù)有哪些？比5大1的數(shù)是幾？你可以在圖中標(biāo)出它的位置嗎？”經(jīng)過(guò)這樣的層層引導(dǎo)，不僅讓學(xué)生獲得較為清晰的感性認(rèn)知，輕松地掌握5以內(nèi)數(shù)的順序，還巧妙地滲透了無(wú)限性和等距性等數(shù)學(xué)思想，提高教學(xué)質(zhì)量。

又如，在教學(xué)小數(shù)時(shí)，教師可以通過(guò)數(shù)軸讓學(xué)生感受到小數(shù)的本質(zhì)實(shí)際上是單位的細(xì)分。在數(shù)軸上，當(dāng)將一個(gè)單位長(zhǎng)度平均分成2份、3份、4份、5份時(shí)，便產(chǎn)生了[12，13，14，15];當(dāng)將一個(gè)單位長(zhǎng)度平均分成10份時(shí)，便產(chǎn)生了[110]（0.1），[210]（0.2）……;當(dāng)將一個(gè)單位長(zhǎng)度平均分成100份時(shí)，便產(chǎn)生了[1100]（0.01），[2100]（0.02）……。如此，就能很自然地幫助學(xué)生溝通整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的聯(lián)系，構(gòu)建完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。在后續(xù)的教學(xué)中，教師還可借助數(shù)軸，幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)等，使學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)知更全面，從而建構(gòu)全面的知識(shí)體系。

2.數(shù)軸是學(xué)生比較大小的“工具”

當(dāng)學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行大小比較時(shí)，多數(shù)會(huì)受舊知的影響，形成思維定式。面對(duì)這樣的情況，教師可借助數(shù)軸來(lái)教學(xué)，如比較“-3”和“1”的大?。ㄈ鐖D2）。

學(xué)生通過(guò)觀察數(shù)軸上各數(shù)排列的特點(diǎn)，首先找到“-3”的位置，然后找到“1”的位置，因?yàn)椤?3”在“1”的左邊，所以-3<1。此時(shí)無(wú)聲勝有聲， 學(xué)生通過(guò)數(shù)軸，不僅能夠迅速地判斷數(shù)的大小，還能對(duì)“大多少”“小多少”有直觀的感受，這對(duì)學(xué)生數(shù)感的建立具有不可替代的作用。

二、借助數(shù)軸，揭示運(yùn)算意義

四則運(yùn)算是計(jì)數(shù)的基石，但其意義抽象，學(xué)生難以理解。為了幫助學(xué)生化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)，教師利用數(shù)軸數(shù)數(shù)，讓學(xué)生將運(yùn)算和計(jì)數(shù)策略緊密結(jié)合起來(lái)，從形象思維入手，積累感性經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而上升為理性認(rèn)知。

例如，在教學(xué)“5+3=？”時(shí)，教師可以放慢授課的腳步，讓學(xué)生在數(shù)軸上先找到數(shù)字5，然后繼續(xù)向右數(shù)3個(gè)數(shù)后，指向了數(shù)字8。這樣的一個(gè)過(guò)程，將5+3=5+1+1+1=8的運(yùn)算意義詮釋得一清二楚，使知識(shí)變得直觀、形象，學(xué)生也明確了加法運(yùn)算的實(shí)質(zhì)：從某個(gè)數(shù)開(kāi)始，繼續(xù)向后數(shù)的一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程。面對(duì)減法，同樣可以借助數(shù)軸來(lái)理解，因?yàn)闇p法是加法的逆運(yùn)算。如讓學(xué)生計(jì)算“5-3=？”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上先找到數(shù)字5，然后繼續(xù)向左數(shù)3個(gè)數(shù)后，指向了數(shù)字2，即差為2。

在學(xué)生學(xué)習(xí)加減法的運(yùn)算后，教材引入了乘法，乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，在數(shù)軸上表現(xiàn)為等距離的跳躍，且相鄰的結(jié)果之間形成等差數(shù)列的關(guān)系。用數(shù)軸數(shù)數(shù)時(shí)，盡管乘法運(yùn)算和加法運(yùn)算都是向右數(shù)的計(jì)數(shù)過(guò)程，但值得注意的是，乘法是以其中的一個(gè)因數(shù)為單位跳躍向右數(shù)的，當(dāng)跳躍的次數(shù)等于另一個(gè)因數(shù)時(shí)，就得出了積。除法是乘法的逆運(yùn)算，在四則運(yùn)算中，除法無(wú)疑是學(xué)生最難理解的一種，為了降低難度，同樣可以借助數(shù)軸進(jìn)行教學(xué)。如教材中的想想做做（如圖3），教師應(yīng)加以利用并改編，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上先找出被除數(shù)，然后以除數(shù)為單位，向左進(jìn)行跳躍，當(dāng)跳到數(shù)字0時(shí)，則跳的次數(shù)就是商。以教學(xué)“10÷2=？”為例，在數(shù)軸上將2個(gè)單位長(zhǎng)度視為1份，從10開(kāi)始向左跳躍5次后，正好跳到數(shù)字0，即10÷2=5，用減法算式表示為10-2-2-2-2-2=0。此后，當(dāng)學(xué)生計(jì)算“10÷5=？”時(shí)，就能將方法遷移為10-5-5=0?？梢?jiàn)，借助數(shù)軸，學(xué)生可直觀地感受到除法的核心——平均分，也可以將除法理解為等距離連減，從而豐盈思維過(guò)程。

三、借助數(shù)軸，演示度量方法

度量是小學(xué)數(shù)學(xué)重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，其中涉及長(zhǎng)度、角等知識(shí)，而長(zhǎng)度的測(cè)量、經(jīng)過(guò)的時(shí)間等問(wèn)題都可以借助數(shù)軸進(jìn)行教學(xué)。

在測(cè)量長(zhǎng)度的過(guò)程中，首先應(yīng)讓學(xué)生確定長(zhǎng)度單位，如厘米、分米、米，然后將所要測(cè)量物體的一端與0刻度重合，最后看所測(cè)量物體另一端的刻度（如果起點(diǎn)不是0刻度，就要用終點(diǎn)的刻度減去起點(diǎn)的刻度）。

時(shí)間軸也是數(shù)軸的另一種表現(xiàn)形式，它對(duì)化解學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)具有重要的作用。求經(jīng)過(guò)的時(shí)間時(shí)，教師就可以運(yùn)用數(shù)軸的直觀性輔助教學(xué)。如出示題目：動(dòng)畫(huà)劇場(chǎng)從14：00開(kāi)始放映，16：00放映結(jié)束，動(dòng)畫(huà)劇場(chǎng)播放了多長(zhǎng)時(shí)間？在解答中，學(xué)生列出算式16-14=2（時(shí)），并這樣解釋：14：00可以理解為開(kāi)始放映前，這一天已經(jīng)過(guò)去了14個(gè)小時(shí)，16：00可以理解為放映結(jié)束時(shí)，這一天已經(jīng)過(guò)去了16個(gè)小時(shí)，16-14就可以得出實(shí)際播放的時(shí)間。面對(duì)學(xué)生這樣的解釋，教師可以放到數(shù)軸上幫助學(xué)生理解（如圖4）。

運(yùn)用數(shù)軸可以幫助學(xué)生看清思維盲點(diǎn)，從而引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)不斷走向深刻。

四、借助數(shù)軸，掌握概念本質(zhì)

數(shù)軸與線段有明顯的不同，即數(shù)軸具有開(kāi)放性，它可以向兩邊無(wú)限延伸。因此，運(yùn)用數(shù)軸，既可以幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，又可以讓學(xué)生感受到運(yùn)用數(shù)軸內(nèi)化新知的優(yōu)勢(shì)。在課堂教學(xué)中，教師要剖析教材，挖掘知識(shí)點(diǎn)背后的內(nèi)涵，并將之與數(shù)軸有機(jī)整合，幫助學(xué)生強(qiáng)化所學(xué)知識(shí)，為他們理解數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系提供重要的感性支撐，掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

例如，在教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”時(shí)，部分教師會(huì)讓學(xué)生死記硬背知識(shí)點(diǎn)“一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是這個(gè)數(shù)本身;一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，最小的倍數(shù)是這個(gè)數(shù)本身，沒(méi)有最大的倍數(shù)”，實(shí)際上學(xué)生對(duì)“一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的”“一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的”這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)并不理解。為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，教師可為學(xué)生引入數(shù)軸。

教師首先讓學(xué)生在數(shù)軸上找出20的因數(shù)（如圖5）。通過(guò)數(shù)軸，可以看出20的因數(shù)有1，2，4，5，10，20。因?yàn)閿?shù)軸上面的數(shù)越往右越大，而20的因數(shù)集中在1到20之間，20后面再無(wú)其他因數(shù)，所以一個(gè)數(shù)的因數(shù)是有限的，最大的因數(shù)是這個(gè)數(shù)本身?？梢?jiàn)，運(yùn)用數(shù)軸可以很好地對(duì)知識(shí)進(jìn)行驗(yàn)證。

緊接著，教師讓學(xué)生在數(shù)軸上找出5的倍數(shù)（如圖6）。學(xué)生在數(shù)軸上找到5的倍數(shù)有5，10，15，20……，數(shù)軸是以0為基點(diǎn)向兩邊無(wú)限延伸，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是無(wú)窮盡的，所以5的倍數(shù)在數(shù)軸上是找不完的，說(shuō)明5的倍數(shù)有無(wú)限個(gè)。

在教學(xué)中，教師運(yùn)用數(shù)軸可幫助學(xué)生消除思維中的盲點(diǎn)，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀。

五、借助數(shù)軸，理解數(shù)學(xué)性質(zhì)

教材中有很多性質(zhì)、規(guī)律、公式、法則、運(yùn)算定律等，它們都有很強(qiáng)的抽象性和概括性，小學(xué)生由于生活經(jīng)驗(yàn)不足、思維能力薄弱等原因，難以深刻地理解這些概括性的語(yǔ)言。因此，教師可另辟蹊徑，改變知識(shí)的呈現(xiàn)形式，將知識(shí)變得直觀、形象、可視，讓學(xué)生學(xué)得扎實(shí)、記得牢靠。小數(shù)的基本性質(zhì)和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)教材中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生學(xué)起來(lái)頗有難度，為了幫助學(xué)生理解得更加透徹，在教學(xué)中，教師利用數(shù)軸教學(xué)，能更好地闡述知識(shí)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

例如，在教學(xué)小數(shù)的基本性質(zhì)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)軸上的一個(gè)單位長(zhǎng)度平均分成10份。以0.5的位置為例，學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)用同一個(gè)點(diǎn)可以表示位數(shù)不同的小數(shù)（如圖7）：0.5=0.50=0.500，因?yàn)槭峭粋€(gè)點(diǎn)，所以它們的大小是相等的。引導(dǎo)學(xué)生觀察這個(gè)等式，從左向右看，小數(shù)的末尾添加“0”，其大小不變;從右往左看，小數(shù)的末尾去掉“0”，其大小不變。如此，學(xué)生便順利地掌握了小數(shù)的基本性質(zhì)。

又如，在教學(xué)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)，教師讓學(xué)生對(duì)數(shù)軸上的一個(gè)單位長(zhǎng)度平均分為10份。學(xué)生在數(shù)軸上的同一個(gè)點(diǎn)找到了[12，24，48]，說(shuō)明它們的大小相等，即[12=24=48]（如圖8）。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生觀察并思考：這幾個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母是怎樣變化的？最終在比較、歸納的基礎(chǔ)上，學(xué)生順利掌握了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

運(yùn)用數(shù)軸可以溝通小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，雖然數(shù)軸上的同一個(gè)點(diǎn)可以表示不同的小數(shù)，也可以表示不同的分?jǐn)?shù)，但它們的大小是相等的。這為以后學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不是孤立存在的，而是具有密切聯(lián)系的。將知識(shí)連點(diǎn)成線，再連線成面，可助力學(xué)生形成完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

總之，數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的載體，數(shù)軸由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、理解算理、激活思維有著重要的促進(jìn)作用。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)巧妙運(yùn)用數(shù)軸，讓學(xué)生經(jīng)歷有收獲、有意義、有價(jià)值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，從而助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的穩(wěn)步提升。

（責(zé)編 覃小慧）