細(xì)剖結(jié)論 逆向構(gòu)思

周貴勝

考題再現(xiàn)

例 （2020·遼寧·盤錦）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是射線AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接CF，以CF為對角線作正方形CGFE（C，G，F(xiàn)，E按逆時(shí)針排列），連接BE，DG.

（1）當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí)：

①求證：BE = DG;

②求證：CD - FD = [2]BE.

（2）設(shè)正方形ABCD的面積為S1，正方形CGFE的面積為S2，以C，G，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S3，當(dāng)[S2S1] =? [1325]時(shí)，請直接寫出[S3S1]的值.

考點(diǎn)剖析

1.知識(shí)點(diǎn)：正方形相關(guān)性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、相似三角形判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積公式、四邊形面積.

2.思想方法：面積割補(bǔ)法、構(gòu)造法、截長補(bǔ)短法.

3.基本圖形：如圖2，已知等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形ECG，∠BCD = ∠ECG = 90°，連接DG，BE，則△BCE ≌ △DCG.

學(xué)情分析

一、執(zhí)果索因探思路

第（1）題①問思路：證明兩條線段相等，常見思路為找全等.在如圖2的基本圖形中，發(fā)現(xiàn)△BCE ≌ △DCG，問題得到解決.

第（1）題②問有兩種思路.

思路1：由AD = CD，可得CD - FD = AD - FD = AF，只需證明AF = [2]BE，即得[AFBE=2]，因此尋找相似三角形（或構(gòu)造相似三角形），由[FCEC=2]，聯(lián)想[ACBC=2]，于是連接AC，如圖3，證明△AFC∽△BEC即可.

思路2：構(gòu)造[2]BE.由∠FDC = ∠FGC = 90°，可知D，G，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，可證∠CBE = ∠CDG = ∠CFG = 45°，如圖4，過點(diǎn)E作EH⊥BE，交BC于點(diǎn)H，得到△BEH為等腰直角三角形，所以BH = [2]BE，只需再證明△DFG ≌ △HCE即可.

第（2）問，注意到點(diǎn)F在射線AD上，仔細(xì)思考可知有兩種情況：點(diǎn)F在線段AD上（如圖1）和點(diǎn)F在線段AD的延長線上（如圖5）. 用割補(bǔ)法求出題中相關(guān)圖形的面積.

a. 當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí)：

思路1：S3 = S四邊形CGDF = S△FCG + S△FDG;

思路2：S3 = S四邊形CGDF = S△CDF + S△CDG;

思路3：如圖6，過點(diǎn)F作FK⊥BC于點(diǎn)K，過點(diǎn)G作MN⊥BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，所以S3 = S四邊形CGDF = S矩形FKMN - S△FKC - S△CMG - S△DGN.

b. 當(dāng)點(diǎn)F在線段AD的延長線上時(shí)，思路同上.

二、思路落地仔細(xì)解

解：（1）①如圖1中，∵四邊形ABCD、四邊形EFGC都是正方形，

∴∠BCD = ∠ECG = 90°，CB = CD，CE = CG，

∴∠BCE + ∠ECD = ∠ECD + ∠DCG = 90°，

∴∠BCE = ∠DCG，

∴△BCE ≌ △DCG（SAS），∴BE = DG.

②思路1：如圖3，連接AC，

∵四邊形ABCD、四邊形EFGC都是正方形，

∴∠BCD = ∠ECG = 90°，∠ABC = ∠FEC = 90°，CD = AD，

∴∠ACB = ∠ECF = 45°，

∴∠BCE + ∠ACE = ∠ACE + ∠ACF = 45°，

∴∠BCE = ∠ACF.

在等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形FEC中，

[ACBC=FCEC=2]，

∴△AFC ∽ △BEC，∴[AFBE=ACBC=2]，

∴AF = [2BE].

又∵AF = AD - FD = CD - FD，∴CD - FD =[2] BE.

思路2略，請同學(xué)們自己完成.

（2）①當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí)，

思路1：設(shè)S1 = 25k2（k > 0），

∵[S2S1] = [1325]，∴S2 = 13k2，

∴AB = CD = 5k，EF = [13]k，

∴FC = [2EF] = [26]k.

在Rt△CDF中，由勾股定理得：

FD = [FC2-CD2=26k2-25k2=k]，

∴AF = 5k - k = 4k，∴DG = BE = 2[2]k，

如圖7，過點(diǎn)G作GT⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)T，

∵∠CDG = 45°，∴∠GDT = 45°，

∴GT = [DG2] = 2k，

∴S3 = S四邊形CGDF = S△FCG + S△FDG = [152k2]，

∴[S3S1=152k225k2=310].

思路2與思路3略，請同學(xué)們自己完成.

②當(dāng)點(diǎn)F在AD的延長線上時(shí)，如圖5，

設(shè)S1 = 25k2（k > 0），

∵[S2S1] = [1325]，∴S2 = 13k2，

依然有DF = k，S3 = S四邊形CGFD = S△CDF + S△CGF，

∴S3 = [12k·5k+1213k·13k] = 9k2，

∴[S3S1=9k225k2=925].

綜上所述，[S3S1]的值為[310]或[925].

勤于積累

此題第（1）問考查三角形全等和相似來證明線段的數(shù)量關(guān)系，此類問題基本圖形有以下4種情況.

[如圖8，等邊三角形ABC和等邊三角形CDE有一個(gè)公共頂點(diǎn)C，連接BD，AE][如圖9，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE有一個(gè)公共頂點(diǎn)C，連接BD，AE][如圖10，△ABC與△CDE有一個(gè)公共頂點(diǎn)C，BC = AC，EC = DC，∠ACB = ∠ECD，連接BD，AE][如圖11，△ABC與△CDE有一個(gè)公共頂點(diǎn)C，[BCAC] = [CDCE]，∠ACB = ∠ECD，連接BD，AE] [則△CBD [≌] △CAE] [則△CBD [?] △CAE][特殊到一般]

（作者單位：東北育才學(xué)校初中部）