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    中考數學應用性問題的解題關鍵

    2022-05-30 07:47:13郭淑華
    中學教學參考·理科版 2022年6期
    關鍵詞:不等式方程

    郭淑華

    [摘 要]應用性問題是近幾年中考數學的一大熱點之一,它以解決實際問題為目的。把握住解題關鍵是解決應用性問題的突破口。文章重點分析中考數學應用性問題的解題關鍵。

    [關鍵詞]應用性問題;解題關鍵;方程;不等式

    [中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058(2022)17-0028-03

    應用性問題是近幾年中考數學的熱點之一,它以解決實際問題為目標。要想破解應用性問題,需找到其解題關鍵。下面筆者結合近幾年各地中考數學試題,分析應用性問題的特點,找出其解題關鍵,以供參考。

    一、方程(組)的應用性問題

    該類問題常見的類型有:(1)行程問題(包括相遇問題、追及問題、環(huán)形問題、水中航行問題等);(2)工程問題;(3)濃度問題;(4)增長率或降低率問題;(5)數字問題;(6)最優(yōu)策略問題;(7)最值問題。

    [例1](2021·張家界)2021年是中國共產黨建黨100周年,全國各地積極開展“弘揚紅色文化,重走長征路”主題教育學習活動,我市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀念館”成為重要的活動基地。據了解,今年3月份該基地接待參觀人數10萬人,5月份接待參觀人數增加到12.1萬人。

    (1)求這兩個月參觀人數的月平均增長率;

    (2)按照這個增長率,預計6月份的參觀人數是多少?

    簡析 (1)設這兩個月參觀人數的月平均增長率為[x],根據5月份該基地接待參觀人數=3月份該基地接待參觀人數×(1+增長率)2,即可得出關于[x]的一元二次方程,解之取其正值即可得出答案;(2)利用6月份該基地接待參觀人數=5月份該基地接待參觀人數×(1+增長率),即可求出答案。

    點評 列方程(組)解應用題,關鍵是認真審題,正確分析題意,找出問題中的等量關系,然后根據等量關系列出方程(組)。列方程(組)時,等式兩邊應意義相同、單位一致、數量相等。若所列的方程是分式方程,結果要驗根并且所得的解與實際要相符合。

    二、不等式(組)的應用性問題

    該類問題常見的類型有:(1)以市場經濟為背景的不等式(組)應用題;(2)運用不等式(組)解決的方案設計類應用題。

    [例2](2018·湘潭)湘潭市繼2017年成功創(chuàng)建全國文明城市之后,又準備爭創(chuàng)全國衛(wèi)生城市。某小區(qū)積極響應,決定在小區(qū)內安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱,若購買2個溫馨提示牌和3個垃圾箱共需550元,且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍。

    (1)求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元?

    (2)該小區(qū)至少需要安放48個垃圾箱,如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個,且費用不超過[10 000]元,請你列舉出所有購買方案,并指出哪種方案所需資金最少?最少是多少元?

    簡析 (1)2個溫馨提示牌和3個垃圾箱的總價格是550元,垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍,據此建立方程組即可得出答案;(2)根據“至少需要安放48個垃圾箱”“費用不超過10 000元”這兩個信息,建立不等式組即可得出答案。

    點評 列不等式(組)解應用題的一般步驟是:(1)弄清題意和題目中的數量關系,用字母表示未知數;(2)找出能夠表示題目全部含義的一個或幾個不等式;(3)列出不等式(組),解不等式(組),求出解集并作答。解決這類問題的關鍵是根據問題實際建立不等式(組)模型,利用不等式(組)解的情況對問題作出最佳決策。

    三、函數的應用性問題

    該類問題常見的類型有:(1)一次函數的應用性問題;(2)二次函數的應用性問題;(3)分段函數及其他函數的應用性問題。

    [例3](2021·金華)某游樂場的圓形噴水池中心[O]有一雕塑[OA],從[A]點向四周噴水,噴出的水柱為拋物線,且形狀相同。如圖1,以水平方向為[x]軸,點[O]為原點建立直角坐標系,點[A]在[y]軸上,[x]軸上的點[C],[D]為水柱的落水點,水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數表達式為[y=-16(x-5)2+6]。

    (1)求雕塑高[OA];

    (2)求落水點[C],[D]之間的距離;

    (3)若需要在[OD]上的點[E]處豎立雕塑[EF],[OE=10 m],[EF=1.8 m],[EF⊥OD]。問:頂部[F]是否會碰到水柱?請通過計算說明。

    簡析 (1)利用二次函數圖像上點的坐標特征可求出點[A]的坐標,進而得出雕塑高[OA]的值;(2)利用二次函數圖像上點的坐標特征,求出點[D]的坐標,可得出[OD]的長度,由噴出的水柱為拋物線且形狀相同,可得出[OC]的長度,再由[CD=OC+OD]即可求出落水點[C],[D]之間的距離;(3)代入[x=10]求出[y]值,進而可得出點[10,116]在拋物線[y=-16(x﹣5)2+6]上,將[116]與1.8比較后即可得出頂部[F]不會碰到水柱。

    點評 利用函數模型來解決實際問題,首先要求出函數的解析式和自變量的取值范圍,然后通過函數的增減性來確定函數的最值。

    四、統(tǒng)計初步的應用性問題

    統(tǒng)計初步有關問題是初中數學應用性問題的一個方面。隨著素質教育對學生應用數學的意識要求的提高,近幾年在中考數學試題中經常出現統(tǒng)計初步的應用性問題,教師在中考總復習時應重視。

    [例4](2019·鄂州)某校為了解全校學生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情況,隨機選取該校部分學生進行調查,要求每名學生從中選出一類最喜愛的電視節(jié)目,以下是根據調查結果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分。(如下表和圖2所示)

    請你根據以上信息,回答下列問題:

    (1)統(tǒng)計表中[m]的值為_________,統(tǒng)計圖中[n]的值為_________,A類對應扇形的圓心角為_________度;

    (2)該校共有1500名學生,根據調查結果,估計該校最喜愛體育節(jié)目的學生人數;

    (3)樣本數據中最喜愛戲曲節(jié)目的有4人,其中僅有1名男生。從這4人中任選2名同學去觀賞戲曲表演,請用樹狀圖或列表求所選2名同學中有男生的概率。

    簡析 (1)由[B]類別人數及其百分比求出調查人數,再用調查人數減去[A]、[B]、[C]、[E]類別總人數得出[m]的值,然后根據百分比概念求出[n],最后用360°乘以A類別人數所占比例,獲得圓心角的度數;(2)根據統(tǒng)計圖表中的樣本數據來估計,答案可得;(3)利用樹狀圖或列表,將所有等可能的結果列舉出來,利用概率公式求解即可。

    點評 解這類問題的關鍵是運用統(tǒng)計的思想對數據進行耐心、細致的觀察,通過分析、比較,得到相應的特征數,運用統(tǒng)計初步的有關知識解決問題。

    五、幾何應用性問題

    該類問題常見的類型有:(1)利用全等、相似及解直角三角形等知識進行測量的問題;(2)利用等腰三角形、圓、直角三角形等知識解決航海、氣象等方面的問題。

    [例5](2020·聊城)如圖3,小瑩在數學綜合實踐活動中,利用所學的數學知識對某小區(qū)居民樓[AB]的高度進行測量。先測得居民樓[AB]與[CD]之間的距離[AC]為[35 m],后站在[M]點處測得居民樓[CD]的頂端[D]的仰角為[45°],居民樓[AB]的頂端[B]的仰角為[55°],已知居民樓[CD]的高度為[16.6 m],小瑩的觀測點[N]距地面[1.6 m]。求居民樓[AB]的高度(精確到[1 m])。(參考數據:[sin55°≈0.82],[cos55°≈0.57],[tan55°≈1.43])

    簡析 過點[N]作[EF∥AC]交[AB]于點[E],交[CD]于點[F],通過解[Rt△DFN]得到線段[NF]的長度,進而得到線段[NE]的長度,再解[Rt△BEN]得到[BE]的長度。

    點評 解這類問題的關鍵是準確理解一些專有術語(如仰角、俯角、坡角、坡比、方位角、海拔等)的含義,在理解題意的基礎上準確畫出圖形,把題目中的已知量和未知量轉化到圖形中,然后運用相應的幾何知識來解決問題。

    六、綜合應用性問題

    對應用性問題的考查,是近年中考數學的一大熱點,有些試題同時考查多種應用性問題,要綜合利用多種模型和各種知識才能解決。

    [例6](2018·南充)某銷售商準備在南充采購一批絲綢,經調查,用10 000元采購A型絲綢的件數與用8 000元采購B型絲綢的件數相等,一件A型絲綢進價比一件B型絲綢進價多100元。

    (1)求一件A型、B型絲綢的進價分別為多少元?

    (2)若銷售商購進A型、B型絲綢共50件,其中A型的件數不大于B型的件數,且不少于16件,設購進A型絲綢[m]件。

    ①求[m]的取值范圍;

    ②已知A型的售價是800元/件,銷售成本為[2 n]元/件;B型的售價為600元/件,銷售成本為[n]元/件。如果[50≤n≤150],求銷售這批絲綢的最大利潤[w](元)與[n](元)的函數關系式(每件銷售利潤=售價-進價-銷售成本)。

    簡析 (1)根據題意,用分式方程解題;(2)①根據所提供條件,列出關于[m]的不等式組,可求得[m]的取值范圍;②根據題意,列出銷售利潤[y]與[m]的函數關系式,討論所含字母[n]的取值范圍,則[w]與[n]的函數關系式可得。

    [例7](2021·盤錦)某工廠生產并銷售A,B兩種型號車床共14臺,生產并銷售1臺A型車床可以獲利10萬元;如果生產并銷售不超過4臺B型車床,則每臺B型車床可以獲利17萬元,如果超出4臺B型車床,則每超出1臺,每臺B型車床獲利將均減少1萬元。設生產并銷售B型車床[x]臺。

    (1)當[x>4]時,完成以下兩個問題:

    ①請補全下面的表格:

    ②若生產并銷售B型車床比生產并銷售A型車床獲得的利潤多70萬元,問:生產并銷售B型車床多少臺?

    (2)當[0

    簡析 (1)①由題意知,生產并銷售B型車床[x]臺時,生產并銷售A型車床[(14-x)]臺,當[x>4]時,每臺B型車床可以獲利[17-(x-4)=(21-x)]萬元,②由題意得方程[10(14-x)+70=17-(x-4)x],解得[x1=10],[x2=21](舍去);(2)當[00],故當[x=4]時總利潤[W]最大,為[3×4+140=152](萬元);當[x>4]時,[W=10(14-x)+17-(x-4)x],整理得[W=-x2+11x+140],因為[-1<0],所以當[x=-112×(-1)=5.5]時總利潤[W]最大,又由題意知[x]只能取整數,所以當[x=5]或[x=6]時,總利潤[W]最大,為[-52+11×5+140=170](萬元)。

    點評 綜合應用性問題在突出綜合性的同時強調應用性,這類問題一般注意聯系學生的生活實際,關注社會熱點,注重學科知識的內在聯系和整合,能夠有效考查學生收集信息和處理信息的能力、模型轉化能力、分析綜合能力、計算和表達的能力。解決這類問題的關鍵是根據題目的已知條件,分析數量關系,靈活運用分析法或綜合法把隱蔽的“中間問題”找出來,迅速地找到解題的切入點,建立相關的數學模型。

    縱觀近幾年來全國各地的中考數學試題,通過歸類分析可知,應用性問題的解題關鍵是:在準確理解題意的基礎上,利用已知條件,運用方程(組)、不等式(組)、函數、統(tǒng)計初步、幾何等數學知識,分析實際問題中內在的、本質的關系,建立數學模型解決問題。

    [ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ]

    [1] ?杜志建.2020福建中考幫:中考數學[M].烏魯木齊: 新疆青少年出版社,2019.

    [2] ?潘振南.2016中考總復習導與練:數學:泉州專版[M]. 長春:吉林大學出版社,2015.

    (責任編輯 黃春香)

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