初中數(shù)學(xué)中考應(yīng)用性問題解題技巧探析

劉欣和

數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理論知識(shí)的應(yīng)用場景。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，初中數(shù)學(xué)教師有必要多讓學(xué)生接觸一些應(yīng)用性問題，讓學(xué)生將理念同實(shí)踐充分地結(jié)合起來。通過多多實(shí)踐，學(xué)生可以豐富數(shù)學(xué)思維，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方法，提升數(shù)學(xué)技能。教師應(yīng)提醒學(xué)生在實(shí)踐中積累經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)總結(jié)歸納，提高數(shù)學(xué)邏輯思維能力，以出色的成績備戰(zhàn)中考。

1. 初中數(shù)學(xué)中考應(yīng)用性問題剖析

初中數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題在中考中通常以壓軸題形式出現(xiàn)，考驗(yàn)著學(xué)生解決綜合問題的能力。應(yīng)用性問題通常具有分值大、難度高、綜合性強(qiáng)、解題步驟多的特點(diǎn)，重要性不言而喻。由于部分學(xué)生綜合能力偏差、邏輯思維能力較差、解題技巧掌握得不多，因而就導(dǎo)致在應(yīng)用性問題上失分較多。所以說，應(yīng)用性問題解決的好壞，在某種程度上將直接影響一名學(xué)生的中考數(shù)學(xué)成績。為了不讓學(xué)生因應(yīng)用性問題過多丟分，教師在平日的教學(xué)過程中，有必要對(duì)學(xué)生進(jìn)行專項(xiàng)優(yōu)化訓(xùn)練，傳授學(xué)生一些解決應(yīng)用性問題的技巧，提高學(xué)生解決應(yīng)用性問題的能力。

縱觀近幾年的中考數(shù)學(xué)題，考查范圍大致集中在方程或方程組類、函數(shù)類、不等式類、幾何類和統(tǒng)計(jì)類。這幾類應(yīng)用題幾乎涵蓋了初中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，且與人們的日常生活具有緊密的關(guān)聯(lián)性。為了提高學(xué)生的中考數(shù)學(xué)得分率，數(shù)學(xué)教師必須精選例題，準(zhǔn)確把握中考動(dòng)向，多選擇一些較為學(xué)生熟悉的熱點(diǎn)問題，有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)訓(xùn)練，讓學(xué)生把握好每一類題型的解題方法和解題技巧，為提高整體成績奠定基礎(chǔ)。

2. 數(shù)學(xué)中考應(yīng)用性問題解題技巧

數(shù)學(xué)中考應(yīng)用性問題的解題思路可以概括為閱讀、理解題干，將具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題三大步。這是解決此類數(shù)學(xué)問題的最常用方法。當(dāng)然，面對(duì)不同的數(shù)學(xué)問題，所選用的數(shù)學(xué)方法、所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)也不盡相同，學(xué)生需要根據(jù)具體情況靈活掌握。下面，本文將以兩個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題思路和解題方法為例，分步進(jìn)行探討，以期達(dá)到和各位同仁交流之目的。

2.1 方程類應(yīng)用題

汶川發(fā)生地震后，為了盡快馳援震區(qū)，某帳篷廠需要完成24000頂帳篷的生產(chǎn)任務(wù)，每天的生產(chǎn)量比原來的多一半，且提前4天完成任務(wù)。問該廠原來每天生產(chǎn)多少頂帳篷？

為了順利解決問題，教師需要一步步地引導(dǎo)學(xué)生，理清邏輯關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。

2.1.1 讀材料、分析問題、尋找等量關(guān)系

通過閱讀材料可以知道，要想順利解決這道應(yīng)用題，首先要建立起等量關(guān)系來。根據(jù)題意，我們可以確定兩個(gè)等量關(guān)系：數(shù)量上的等量關(guān)系：由題意可知：擴(kuò)大產(chǎn)能后每天的生產(chǎn)量比原來的多一半，也就是說，擴(kuò)大產(chǎn)能后每天的生產(chǎn)量是原來的1.5 倍，如果設(shè)原來每天的生產(chǎn)量為X，則現(xiàn)在每天的生產(chǎn)量為1.5X;時(shí)間上的等量關(guān)系：由題意可知：由于擴(kuò)大了產(chǎn)能，任務(wù)提前4天完成了。由此我們不難找到數(shù)量關(guān)系。擴(kuò)大產(chǎn)能前，總共需要24000/X天才能完成生產(chǎn)任務(wù)，現(xiàn)在，只需用（24000/1.5X）天即可完成生產(chǎn)任務(wù)。

2.2 根據(jù)等量關(guān)系，列方程

24000/X=（24000/1.5X）+4

2.3 解方程

方程不難，經(jīng)解得：x=2000

現(xiàn)在再來回顧一下解決此類問題的技巧。面對(duì)此類應(yīng)用性問題，第一步是要設(shè)定一個(gè)未知數(shù)。設(shè)未知數(shù)通常有兩種思路，一種是直接根據(jù)問題所問，將最終所問設(shè)定成未知數(shù);另一種是尋找一個(gè)適宜的量，也就是說，根據(jù)題意看設(shè)哪個(gè)量方便就設(shè)哪個(gè)量。等將未知數(shù)求出來以后，再根據(jù)未知數(shù)同最終所問的量的關(guān)系來求出最終所問。通過讀題可以知道，此題問的是該廠原來每天生產(chǎn)多少頂帳篷。由于題中直接給出一個(gè)條件：擴(kuò)大產(chǎn)能后每天的生產(chǎn)量是原來的1.5倍，所以，我們可以采取第一種設(shè)定未知數(shù)的方法，將問題所問（該廠原來每天生產(chǎn)多少頂帳篷）直接設(shè)定成未知數(shù)。解決這個(gè)問題的第二個(gè)關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系。由于根據(jù)確定的24000頂帳篷的生產(chǎn)任務(wù)，我們可以通過帶有未知數(shù)的代數(shù)式表達(dá)出擴(kuò)能前和擴(kuò)能后為完成生產(chǎn)任務(wù)分別所需的天數(shù)。又由于題中說明了通過擴(kuò)大產(chǎn)能使工廠提前4天完成了任務(wù)，所以，可以通過天數(shù)來建立等式。這是這個(gè)問題能夠得到解決的關(guān)鍵所在。

為了提高教學(xué)效率，數(shù)學(xué)教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生一通百通，即掌握了一道題的解決方法后，要能夠解決類似的許多問題。學(xué)生通過解決典型題捋清了解題思路，再面對(duì)同類問題時(shí)就可以在短時(shí)間內(nèi)找到問題的關(guān)鍵所在，從而順利將問題解決。教師要提醒學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)算，將所求得結(jié)果帶回原題中檢驗(yàn)一下，以驗(yàn)證解得是否正確。以本題來說，學(xué)生可以將2000帶回去驗(yàn)算一下。擴(kuò)大產(chǎn)能前，工廠每天生產(chǎn)2000頂帳篷，為了完成24000頂帳篷的生產(chǎn)任務(wù)，需要12天。擴(kuò)大產(chǎn)能后，工廠每天生產(chǎn)3000頂帳篷，為了完成24000頂帳篷的生產(chǎn)任務(wù)，則需要8天，正好提前4天完成了任務(wù)。可見，此題解得無誤。利用方程解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵是讀懂題意后捋清數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而列出等式。對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的應(yīng)用題，選擇合適的未知數(shù)列方程是關(guān)鍵的一步。得出未知數(shù)后，再在未知數(shù)與所要求的數(shù)之間建立數(shù)量關(guān)系，即可得出最終答案。運(yùn)用方程解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵是通過準(zhǔn)確尋找數(shù)量關(guān)系建立起等式來。只有建立起等式，才能求出未知數(shù)。未知數(shù)有時(shí)是直接要求的數(shù)，有時(shí)與要求的數(shù)具有一定的數(shù)量關(guān)系。總之，求出未知數(shù)后，距離最終解決問題就只差一步之遙了。

且看下面案例：一輛客車和一輛卡車同時(shí)從A地出發(fā)，沿同一公路同一方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h經(jīng)過B地。問：A、B兩地間的路程是多少？

若想求得A、B兩地之間的距離，就要首先知道交通工具運(yùn)行的時(shí)間和速度?，F(xiàn)在，客車和卡車的速度都已經(jīng)知道了，只是不知道它們運(yùn)行的具體時(shí)間。不過，題中已經(jīng)說從A地到B地客車比卡車少用了1個(gè)小時(shí)。由此，我們就可以建立起等式來。由于A地到B地的距離是固定不變的，我們可以根據(jù)這個(gè)條件建立起數(shù)學(xué)等式?，F(xiàn)在，我們可以假設(shè)客車從A地到B地一共走了X小時(shí)，那么，卡車從A地到B地則需要走（X+1）小時(shí)。根據(jù)A地到B地的距離是固定的，現(xiàn)在建立起數(shù)學(xué)等式：

70X=60（X+1）

解方程得：X=6

現(xiàn)在知道了客車從A地到B地的運(yùn)行時(shí)間。用時(shí)間乘以速度，就可得出全程距離了。

6×70=420

所以，A、B兩地間的路程是420km。

有的同學(xué)習(xí)慣將問題要求的最終結(jié)果設(shè)定為未知數(shù)。當(dāng)然，這樣也同樣可以得出答案。不過，等量關(guān)系就需重新來進(jìn)行確定。比如，就上面這個(gè)問題來說，我們?nèi)绻麑、B兩地間的路程設(shè)定為未知數(shù)，那么就要在交通工具運(yùn)行時(shí)間上建立起等量關(guān)系來。根據(jù)題意我們知道：客車比卡車早1小時(shí)經(jīng)過B地?，F(xiàn)在，我們假設(shè)A、B兩地間的路程為X，那么，客車需要運(yùn)行的時(shí)間是X/70，卡車需要運(yùn)行的時(shí)間即是X/60，根據(jù)客車比卡車早1小時(shí)經(jīng)過B地這一已知條件，我們建立起等式關(guān)系：

（X/70）+1=X/60

同樣可以求得X=420km。

可見，只要找到等量關(guān)系，不論怎樣設(shè)定未知數(shù)，均可求得最終答案。許多學(xué)生不會(huì)運(yùn)用方程解決應(yīng)用性問題，其存在的最大障礙就是捋不清應(yīng)用性問題的邏輯關(guān)系。針對(duì)此類困難，數(shù)學(xué)教師無需過于著急，而應(yīng)通過具體問題的解決一點(diǎn)點(diǎn)教會(huì)學(xué)生建立起數(shù)學(xué)邏輯思維來，找準(zhǔn)解決問題的關(guān)鍵。且看下面這一例題：某校女生占全體學(xué)生數(shù)的52%，比男生多80人，這個(gè)學(xué)校有多少學(xué)生？要想順利解決這個(gè)應(yīng)用性問題，學(xué)生必須具備一定的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。根據(jù)問題所問，要求學(xué)?？偣灿卸嗌賹W(xué)生，就需要將該校的男生和女生加起來，這是最簡單的邏輯推理?？墒?，題中既未給男同學(xué)的具體數(shù)量，也沒有給出女同學(xué)的數(shù)量，只是給了兩個(gè)數(shù)量關(guān)系：一是說女生占全體學(xué)生數(shù)的52%，一是說女生比男生多80人。我們可以根據(jù)這兩個(gè)僅有的線索，建立初步的數(shù)量關(guān)系，然后再求得最終結(jié)果。現(xiàn)在，我們可以根據(jù)問題所問，直接設(shè)定該校共有X名學(xué)生，這樣，女生數(shù)就是52%X。根據(jù)“女生比男生多80人”這個(gè)已知條件，可以知道該校男生總數(shù)為52%X-80。這樣，將男生數(shù)和女生數(shù)加在一起就是學(xué)校學(xué)生的總?cè)藬?shù)，這是一個(gè)等量關(guān)系。學(xué)生如果能夠想到這一步，也需具備簡單的邏輯思維能力。

52%X+52%X-80=X

解方程得：X=2000

同理，如果將男生數(shù)或女生數(shù)設(shè)定為未知數(shù)，通過尋找相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，最終也可求出答案來?？梢姡徽撊绾卧O(shè)定未知數(shù)，只要保持清醒的邏輯思維，進(jìn)而建立起準(zhǔn)確的數(shù)量關(guān)系，都是解決此類問題的關(guān)鍵。

2.4 方程組類應(yīng)用題

某校組織學(xué)生到海邊去旅游，需要準(zhǔn)備一批帳篷。供銷商提供兩種帳篷規(guī)格，一種是可供3人納涼的小帳篷，每頂價(jià)格是160元;一種是可供10人納涼的大帳篷，每頂價(jià)格是400 元。學(xué)校總共支付供銷商96000元，正好供2300名學(xué)生使用，請問：每種規(guī)格的帳篷學(xué)校各需采購多少？現(xiàn)有甲、乙兩種類型的卡車若干輛，甲類卡車可以同時(shí)運(yùn)送4頂小帳篷和11頂大帳篷，乙類卡車可以運(yùn)送8頂小帳篷和7頂大帳篷，應(yīng)如何分配帳篷才能一次將所有帳篷運(yùn)至度假地？面對(duì)此類問題首先仍要確定好未知數(shù)。我們可以首先設(shè)采購X頂小帳篷，采購Y頂大帳篷，則可得方程組如下：

160X+400Y=96000

3X+10Y=2300

很容易解得方程，求出兩個(gè)未知數(shù)：

X=100

Y=200

也就是說，總共需要采購100頂小帳篷和200頂大帳篷。下面考量車的安排。我們可以設(shè)安排甲類卡車X量，安排乙類卡車則為Y輛。那么甲類卡車共能運(yùn)送4X頂小帳篷和11X頂大帳篷，乙類卡車共能運(yùn)送8Y頂小帳篷和7Y頂大帳篷。下面建立方程組：

100=4X+8Y

200=11X+7Y

解不等式組得：

X=15

Y=5

總結(jié)：

利用方程解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵是讀懂題意后捋清數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而列出等式。對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的應(yīng)用題，選擇合適的未知數(shù)列方程是關(guān)鍵的一步。得出未知數(shù)后，再在未知數(shù)與所要求的數(shù)之間建立數(shù)量關(guān)系，即可得出最終答案。當(dāng)然，并非所有應(yīng)用性問題均需通過方程（或方程組）來解決。有時(shí)，具體運(yùn)用何種數(shù)學(xué)方法還要結(jié)合具體問題特征。比如，涉及到幾何問題時(shí)，教師要提醒學(xué)生首先構(gòu)圖，然后根據(jù)圖形特點(diǎn)尋找數(shù)形關(guān)系，尋找解題路徑。有時(shí)，學(xué)生需要借助于輔助線解決幾何類問題，這需要學(xué)生通過大量的實(shí)踐摸索出構(gòu)筑輔助線的方法。教師應(yīng)提醒學(xué)生在生活中留意觀察與數(shù)學(xué)問題相關(guān)的生產(chǎn)生活難題，如果學(xué)生經(jīng)常能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決此類問題，在中考時(shí)，面對(duì)應(yīng)用性問題就不會(huì)發(fā)慌。在解決函數(shù)類應(yīng)用性問題時(shí)，學(xué)生要準(zhǔn)確辨識(shí)迷惑項(xiàng)，找準(zhǔn)存在函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量，這是至關(guān)重要的一步。在解決不等式類問題時(shí)，學(xué)生要確定上下限數(shù)值，這樣才能夠構(gòu)建起符合題意的不等式來。