例說全概率公式理解與應(yīng)用的三個層次

金毅

摘要：本文從概念層次、應(yīng)用層次、拓展層次上對全概率公式進(jìn)行解讀.全概率公式是條件概率概念的延伸，應(yīng)用的關(guān)鍵是對樣本空間做好劃分，它還可以描述動態(tài)的概率過程.同時，列舉3道例題對公式的理解和應(yīng)用做具體說明. 逐漸建立全概率公式從概念到應(yīng)用的思路過程，拓寬全概率公式的應(yīng)用視野，并詳細(xì)說明應(yīng)用過程中的細(xì)節(jié)問題.

關(guān)鍵詞：全概率公式;概念;應(yīng)用;拓展

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）19-0047-04

我們知道，“條件概率”是舊課標(biāo)教材當(dāng)中要求掌握的部分，新的課程改革在原有內(nèi)容基礎(chǔ)之上，增加了全概率公式與貝葉斯公式. 全概率公式在新版高中數(shù)學(xué)教材中被重點進(jìn)行介紹，并具備“承上啟下”的關(guān)鍵過渡作用，在表現(xiàn)形式上拓展了條件概率，同時也作為貝葉斯公式成立的理論基礎(chǔ). 所以，對全概率公式的掌握是至為重要的. 我們將由淺入深地從三個層次——概念層次、應(yīng)用層次、拓展層次上對全概率公式進(jìn)行解讀，明確其概念和應(yīng)用.

1 概念層次：全概率公式是對條件概率概念的繼承和發(fā)展

2 應(yīng)用層次：全概率公式應(yīng)用的關(guān)鍵是對樣本空間做好劃分

3 拓展層次：全概率公式是描述動態(tài)概率過程的重要工具

經(jīng)過剛才的分析，我們可以看到，全概率公式的理論基礎(chǔ)是基于條件概率，條件概率在刻畫事件之間的關(guān)系中更具備一般性.在一些數(shù)學(xué)問題中，全概率公式往往能夠與數(shù)列遞推式結(jié)合在一起，具體例子如同下面的例3. 這道題目很多同學(xué)和老師在解決以后都會存在一些疑惑：究竟題目中的遞推式是怎么推出來的，如果不給這個遞推式，根據(jù)題目中的已知信息，我們能自己推導(dǎo)出這個遞推式嗎？我們一起來看下面的分析.

例3（2019全國Ⅰ卷）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物實驗，試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗，對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥. 一輪治療的結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗. 當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效. 為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈均得零分. 甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

這樣題目中的表達(dá)式就被我們推導(dǎo)出來了，可以看到，本題就是基于全概率公式進(jìn)行構(gòu)造的. 同時，p_i的數(shù)值構(gòu)成了一個新數(shù)列，所以，后續(xù)的處理是基于數(shù)列遞推式的處理技巧，限于篇幅，我們不做過多分析. 但是，這說明了很重要的一點，就是隨著i的變化，概率值也在發(fā)生變化，所以，這是一個動態(tài)的概率過程. 那么描述這個動態(tài)的概率過程的重要工具就是全概率公式. 所以，全概率公式在描述這樣的問題時有非常便捷的作用. 如果把甲藥的累計分?jǐn)?shù)看作數(shù)軸上的點，那么每一次試驗積分即相當(dāng)于當(dāng)前積分“向前”“向后”移動一個位置或者“不動”，這即是數(shù)軸上的“隨機(jī)游走”問題. 我們不去過多介紹具體的理論背景，但是這種類似問題的突破關(guān)鍵就是“全概率公式”，我們可以用全概率公式來描述動態(tài)的概率問題.

4 總結(jié)與反思

全概率公式是目前高中數(shù)學(xué)新教材的新增內(nèi)容，在新課標(biāo)和新高考中必然會居于重要地位. 在學(xué)習(xí)中，要首先明確條件概率的概念和公式，在此基礎(chǔ)上才能夠?qū)θ怕使郊由罾斫? 進(jìn)一步地，要學(xué)會劃分樣本空間，學(xué)會“執(zhí)果索因”，才能夠在一個具體問題中知道什么時候應(yīng)用全概率公式，能夠做到“理解并記憶”. 最后要明確全概率公式在一些更加復(fù)雜的問題中，可以描述動態(tài)的概率過程，明確其“工具性”，這樣能夠在實際問題中建立應(yīng)用全概率公式的基本意識. 希望大家對全概率公式不再感到陌生，要敢用，會用，掌握好統(tǒng)計與概率，為后續(xù)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)開辟道路.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李璟]