巧建坐標(biāo)系探討高考數(shù)學(xué)題中空間角的求解技巧

石巧　陳國華

摘要：本文通過對(duì)歷年高考題中關(guān)于立體幾何題中直線與直線所成角、直線與平面所成角以及平面與平面所成角問題的分析與解答，學(xué)生能熟練運(yùn)用建立空間直角坐標(biāo)系來求解空間角.

關(guān)鍵詞：空間直角坐標(biāo)系;空間角;高考數(shù)學(xué)題

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）19-0082-03

1 求異面直線所形成的角

在求異面直線所成角θ時(shí)（θ∈0°，90°），首先建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出兩直線的方向向量，最后代入公式求出余弦值，因?yàn)棣葹殇J角，所以選正值即可.

例1（2015年全國Ⅰ卷理科第18題）如圖1，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E， F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

2 求直線與平面所成的角

3 求平面與平面所成角即二面角

求二面角時(shí)先建立空間直角坐標(biāo)系，再求出題目里需要用到的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得兩個(gè)所求平面的法向量，最后利用公式求出二面角的余弦值.

小結(jié)建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角時(shí)要將二面角的大小轉(zhuǎn)化成兩個(gè)半平面的法向量的夾角.如果兩個(gè)半平面的法向量所指的方向當(dāng)中，一個(gè)指向了二面角的外部，另一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，那么法向量的夾角等于二面角的平面角.如果兩個(gè)半平面的法向量所指的方向均指向二面角的內(nèi)部或者外部，那么法向量的夾角等于二面角的平面角的補(bǔ)角，最重要的是，用平面的法向量求解二面角的大小時(shí)要先確定兩個(gè)半平面的法向量，然后再根據(jù)法向量的方向確定二面角的大小.

本文通過對(duì)空間角常考的三個(gè)方面進(jìn)行了分析，主要介紹了如何建立空間直角坐標(biāo)系來求解這些問題，以及求解這類問題時(shí)的一般步驟和求解技巧.探討了高考題中這類問題應(yīng)該如何思考，在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)三維坐標(biāo)應(yīng)該如何選取才能使計(jì)算得到最簡單化，計(jì)算出來的結(jié)果應(yīng)該注意哪些方面尤其是二面角，要注意觀察.

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