怎樣用向量知識解答力學問題

馬麗欣

平面向量兼有“數(shù)”“形”兩重身份，是解答高中數(shù)學問題的重要途徑，也是解答實際應用問題的有力工具，對于一些力學中的速度、力、動量、功等應用問題，其實質(zhì)就是一種特殊的平面向量（矢量）問題，合理構(gòu)建向量模型，利用數(shù)學中的平面向量知識解決這些物理問題，可以實現(xiàn)物理學科與數(shù)學學科之間的合理交匯與巧妙融合，進一步建立多個學科之間的聯(lián)系，

一、速度問題

有關(guān)速度、加速度、位移等問題在物理學科中比較常見，而在物理學科中，速度、加速度、位移等是矢量，即有方向，又有大小的量.在解答此類問題時，我們可將速度、加速度、位移等看作一個平面向量，根據(jù)平面向量的概念、運算性質(zhì)等建立關(guān)系式，通過向量運算來求得問題的答案.

例1.點P在平面上以速度v=（一2，3）作勻速直線運動，若4秒后點JP的坐標為（-5，16），則點P的初始坐標為（ ）.

A.（3，13） B.（3，4）C.（-7， 19） D.（-13， 28）

分析：由題意可知速度這一矢量的坐標，先設(shè)出點P的初始坐標為（x，y），根據(jù)平面向量坐標的概念建立對應的坐標關(guān)系式，通過解方程組求得到x、y的值，即可得到點P的初始坐標，

解：根據(jù)題意設(shè)P的初始坐標為（x，y），

點P在平面上以速度v=（-2，3）作勻速直線運動，若4秒后點P的坐標為（-5，16），

則（-5一x，16-y）=4（-2，3）=（-8，12），

解得x=3，y=4，即點P的初始坐標為（3，4），故答案為B.

解答本題，需根據(jù)向量的概念以及向量加法的坐標運算法則建立關(guān)系式，在解答物理中的速度、加速度、位移等問題時，要明確向量與這些矢量之間的聯(lián)系，建立相應的關(guān)系式，以便運用向量的概念、運算法則來解題.

二、力問題

我們知道，力是有方向、有大小的量，這與向量的特性一致.在解答力的問題時，可將力看作向量，根據(jù)三角形法則、平行四邊形法則來對力的合成與分解進行分析、運算，從而求得力的大小.

例2.如圖1所示，在細繩D處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體，繩子與鉛直方向的夾角為θ，繩子所受到的拉力為F1.

（1）試分析|F1|、|F2|隨著夾角θ的變化而變化的情況;

（2）當|F1|≤2IGI時，試求夾角θ的取值范圍，

分析：這是物理中的力的問題，需利用平面向量的平行四邊形法則來將力進行分解，把物理問題轉(zhuǎn)化為平面向量問題來求解.

解：（1）根據(jù)受力平衡，結(jié)合平面向量的線性運算性質(zhì)，可知-G=F1+F2，

三、動量、功問題

物理學科中的動量可用mv表示，其中m是物體的質(zhì)量，v是物體的速度.而功W實質(zhì)就是力F與其所產(chǎn)生位移S的數(shù)量積，即胙F.S.動量、功均可用數(shù)學學科中平面向量的數(shù)乘運算來表示.在解答動量、功問題時，可將m、v、F、5分別看作向量，根據(jù)平面向量的數(shù)乘運算法則、數(shù)量積公式、模的公式來進行求解.

例3.一個質(zhì)量為m的小球在前進過程中碰到擋板后反射，角度如圖2所示，若小球的入射和反射速度大小均為|v|，則碰撞擋板后反射的過程中小球的動量變化大小為____.

解：以水平向右的方向為正方向，則小球入射時在水平方向上的動量與反射時在水平方向上的動量相等，均為mvcosθ，

以豎直向上的方向為正方向，則小球入射時在豎直方向上的動量為mvsin0，則其大小為mlvlsinθ，此時碰撞過程中小球的動量沒有變化;

以豎直向上的方向為正方向，反射時在豎直方向上的動量為-mvsinθ，則其大小為mlvlsinθ.由于方向相反，所以碰撞過程中小球的動量變化大小為2mlvlsinθ.

解答動量問題，需通過數(shù)形結(jié)合來求得相應平面向量的方向與大小.在解題時，還需要注意物理中的動量對應的方向和夾角.這些央定著動量的大小、變化的量

例4.如圖3，某人用1.5m長的繩索，施力25N，把重物沿坡度為30°的斜面拖上了6m，拖拉點距斜面的垂直高度為1.2m.求此人對物體位移所作的功.

分析：要求此人對物體位移所作的功，需將其轉(zhuǎn)化為求解作用力F與物體的位移兩者之間的數(shù)量積.根據(jù)向量數(shù)量積的公式，求得作用力F與物體的位移兩者之間夾角的大小，便可求得此人對物體位移所作的功，

物理中的功問題，其實就是平面向量中的數(shù)量積問題，通過平面向量運算便能輕松處理物理問題.

以平面向量知識為工具來分析、解答物理問題，可以使問題的解答過程變得更加簡單、便捷利用平面向量（矢量）來分析與解答物理問題，關(guān)鍵在于將物理中的量與平面向量建立對應的關(guān)系，借助平面向量的概念、運算法則、公式、定理等來求得問題的答案.這對于實現(xiàn)學科之間的融合與交匯，培養(yǎng)綜合分析能力有非常重要的意義.

（作者單位：寧夏銀川市第二中學）