指向數(shù)學(xué)思維發(fā)展的高中數(shù)學(xué)“問題串”設(shè)計

莫弘

[摘? 要] 高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師精心設(shè)計“問題串”，引領(lǐng)學(xué)生以問題為探究主線，使學(xué)生在探究和解決問題的過程中進(jìn)行連續(xù)、系統(tǒng)的思維活動，促使學(xué)生深度學(xué)習(xí)，從而習(xí)得知識、獲得能力、發(fā)展思維，真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升. 文章在分析高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中“問題串”設(shè)計的內(nèi)涵意蘊的基礎(chǔ)上，以高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中“問題串”的設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生探究為例進(jìn)行闡述.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);問題串;思維;設(shè)計策略

作為教學(xué)內(nèi)容的生長點，數(shù)學(xué)教學(xué)中的各個問題并不是獨立存在的，而應(yīng)具有遞進(jìn)性與聯(lián)系性，利于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行層次化、遞進(jìn)化和高效化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，引發(fā)深度數(shù)學(xué)思考，更深刻、透徹和準(zhǔn)確地把握新知. 而縱觀當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課堂問題設(shè)計，要么是問題設(shè)置過于隨意，難以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望;要么是問題設(shè)置不合理，難以引發(fā)學(xué)生深度思考. 顯然，這些現(xiàn)象的存在無疑影響了課堂教學(xué)效果. 而以問題疊加和遞進(jìn)為原則所設(shè)計的“問題串”，將其作為整個教學(xué)活動的起點和主旨，將問題的解決與學(xué)生的學(xué)習(xí)相融[1]，在問題解決中引發(fā)學(xué)生主動探索的欲望和積極性，使學(xué)生在共同探究和解決問題的過程中進(jìn)行連續(xù)、系統(tǒng)的思維活動，從而習(xí)得知識、獲得能力、發(fā)展思維，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升. 因此，以“問題串”為導(dǎo)向，探究高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計策略具有重要的意義.

[?]高中數(shù)學(xué)實施“問題串”教學(xué)的必要性

傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師往往直接呈現(xiàn)問題的答案，致使許多學(xué)生對于相關(guān)知識的理解僅停留在表面，一旦出現(xiàn)綜合類題目或相關(guān)題目的變式題型時，學(xué)生就不知所措. 同時，這種現(xiàn)象的出現(xiàn)也會嚴(yán)重打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，甚至還會對數(shù)學(xué)這門學(xué)科產(chǎn)生消極心理. 而教師根據(jù)學(xué)生具體實際的情況與學(xué)習(xí)任務(wù)所設(shè)計的一連串由淺入深、循序漸進(jìn)、有關(guān)聯(lián)性的數(shù)學(xué)問題，不僅能拉近學(xué)生與教師之間的距離，促使學(xué)生主動參與課堂教學(xué)，自主建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，而且能讓學(xué)生明確課程教學(xué)的重難點內(nèi)容，使得學(xué)生對知識點之間的邏輯性更加清晰.

同時，高中生已經(jīng)初步具備了自主學(xué)習(xí)意識，但對于該階段的學(xué)生而言，高中數(shù)學(xué)知識非?？菰锓ξ叮３Ｌ幱诒粍訉W(xué)習(xí)的狀態(tài). 而教師根據(jù)學(xué)生具體實際的情況與學(xué)習(xí)任務(wù)所設(shè)計的一連串由淺入深、循序漸進(jìn)、有關(guān)聯(lián)性的數(shù)學(xué)問題，不僅能夠引起學(xué)生思考和深度參與數(shù)學(xué)探究，而且能促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維，使得學(xué)生在解決實際問題時提出一些創(chuàng)新思維和具體做法.

此外，高中數(shù)學(xué)知識本身的邏輯思維嚴(yán)謹(jǐn)，傳統(tǒng)的“套路式”數(shù)學(xué)教學(xué)模式已經(jīng)不能滿足高中數(shù)學(xué)教學(xué)的需要. 而教師根據(jù)學(xué)生具體實際的情況與學(xué)習(xí)任務(wù)所設(shè)計的一連串由淺入深、循序漸進(jìn)、有關(guān)聯(lián)性的數(shù)學(xué)問題能夠提升學(xué)生對主要知識點的熟悉程度，能夠在已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗和未知問題探究之間架起橋梁，幫助學(xué)生分析問題，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力[2].

[?]高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中“問題串”的設(shè)計策略

基于以上“問題串”設(shè)計的內(nèi)涵意蘊的分析，實施“問題串”教學(xué)可以滿足不同水平層次的學(xué)生對相關(guān)知識的需求，能夠有效促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，而理論與實踐是相結(jié)合的，因此，下面結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例深入探討高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中“問題串”的具體設(shè)計策略.

1. 依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，精心設(shè)計“問題串”

教學(xué)目標(biāo)既是教學(xué)的起點，也是教學(xué)目標(biāo)的終點，教師應(yīng)在深入分析所授內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，根據(jù)教學(xué)所要達(dá)到的效果有針對性地精心設(shè)計“問題串”.

案例1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

教學(xué)目標(biāo)：

（1）分析圓的基本要素，應(yīng)用平面直角坐標(biāo)系理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. （培養(yǎng)學(xué)生主動探究以及運用坐標(biāo)法研究問題的能力）

（2）從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中找出圓心與半徑. （培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法）

（3）通過不同條件的練習(xí)，增加對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法. （提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)意識）

為了實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)（1）和教學(xué)目標(biāo)（2），教師可以設(shè)計以下“問題串”：

問題1：什么是圓？

問題2：如何在直角坐標(biāo)系中應(yīng)用方程表示圓？

問題3：當(dāng)圓心分別在x軸、y軸或坐標(biāo)原點時，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？

其中，問題1的設(shè)置是為了讓學(xué)生復(fù)習(xí)圓的定義與基本要素，并為問題2——學(xué)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程做準(zhǔn)備;問題2設(shè)置的目的是在推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯性與嚴(yán)謹(jǐn)性;設(shè)置問題3的主要目的是讓學(xué)生通過動手實踐，進(jìn)一步加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解.

同時，為了實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)（3），教師還可以設(shè)計以下“問題串”：

問題4：參照教材（人教A版選擇性必修第一冊）第83頁例1的相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)圓的定義寫出相關(guān)方程.

問題5：根據(jù)所學(xué)知識，以點P（x，y）和圓（x-a）2+（y-b）2=r2為例，分析兩者之間可能存在的位置關(guān)系.

問題6：根據(jù)所學(xué)知識，獨立完成教材（人教A版選擇性必修第一冊）第83頁例2、第84頁例3的相關(guān)內(nèi)容，并對照教材中的解法，分析自己學(xué)習(xí)中存在的問題和不足.

2. 依據(jù)教學(xué)原則，科學(xué)設(shè)計“問題串”

（1）目的性原則：教學(xué)的本質(zhì)就是解決“為什么”的問題，因此教師應(yīng)緊緊圍繞所學(xué)知識能夠解決哪些實際問題，能夠給學(xué)生帶來哪些知識和技能科學(xué)設(shè)計問題，進(jìn)而促進(jìn)新知的同化[3].

案例2 函數(shù)的單調(diào)性.

問題1：請用圖像的方式試著說出“波瀾起伏”“蒸蒸日上”在你們腦海中的第一反應(yīng). （引導(dǎo)學(xué)生建立有關(guān)模型，精準(zhǔn)把握函數(shù)的特征）

問題2：結(jié)合日常生活實際，請試著畫出一個函數(shù)的圖像并寫出其解析式. （鍛煉學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)觀點解釋日常生活的能力）

問題3：根據(jù)以上的函數(shù)圖像，試著描述圖像的變化趨勢. （培養(yǎng)學(xué)生抽象問題、數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化的能力）

（2）邏輯順序性原則：高中數(shù)學(xué)知識是存在邏輯順序的，為了凸顯相關(guān)知識的邏輯性，教師在設(shè)計“問題串”時要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，要根據(jù)學(xué)生的邏輯思維科學(xué)設(shè)計“問題串”，進(jìn)而引發(fā)數(shù)學(xué)思考和深入討論.

案例3 函數(shù)的零點.

問題1：試著分析二次函數(shù)圖像與相應(yīng)的一元二次方程的根之間的關(guān)系.

比如：①一元二次方程x2-2x-3=0與二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像（如圖1所示）;②一元二次方程x2-2x+1=0與二次函數(shù)y=x2-2x+1的圖像（如圖2所示）;③一元二次方程x2-2x+3=0與二次函數(shù)y=x2-2x+3的圖像（如圖3所示）.

問題2：f（x）=x3+x2+1在區(qū)間（-2，1）上是否有零點？

問題3：如果函數(shù)f（x）滿足f（a）f（b）<0，那么函數(shù)f（x）是否有零點？若沒有，請說明理由;若有，請寫出零點的個數(shù).

（3）層層深入性原則：由于學(xué)生在知識基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力等方面存在差異，對于相關(guān)知識不可能全面理解，因此教師設(shè)計“問題串”時應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實際情況，按照小梯度、分層次、循序漸進(jìn)的方式進(jìn)行設(shè)計，引領(lǐng)學(xué)生在一次次梯度問題的探究和解決中，形成數(shù)學(xué)思考和深入討論，提升學(xué)生數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)興趣，強化思維深度和廣度.

案例4 二面角定義.

問題1：如何度量異面直線所成角？（轉(zhuǎn)換為平面角）

問題2：如何度量線面所成角？（同樣要轉(zhuǎn)換為平面角）

問題3：類比上述做法，如何度量二面角？（轉(zhuǎn)換為平面角）

問題4：反思上述做法，如何描述二面角兩條射線、角的頂點位置？如何設(shè)置兩條射線，才能刻畫出二面角？

（4）啟發(fā)性原則：為了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多個問題之間的聯(lián)系作用，教師設(shè)計“問題串”時還應(yīng)注重所設(shè)計問題之間的連續(xù)性，注重前一個問題對后一個問題的啟發(fā)作用.

案例5 已知函數(shù)f（x）=e，f（x）=e，x∈R，1≤a≤6.

（1）若a=2，當(dāng)f（x）=f（x）時，試求x的值;

（2）若x∈R，

f（x）

-f（x）=f（x）-f（x）恒成立，試求a的取值范圍;

（3）若x∈[1，6]，試求函數(shù)g（x）=-的最小值.

顯然，對于大多數(shù)學(xué)生而言，第（1）題比較簡單，僅需在等式中代入a的值即可求得x的值;而第（2）題、第（3）題中，由于

f（x）

-f（x）=f（x）-f（x）以及g（x）=-是復(fù)雜的函數(shù)式，使學(xué)生覺得解答該題非常困難. 究其原因，一是學(xué)生缺乏解題自信，二是難以發(fā)現(xiàn)問題之間的連續(xù)性和啟發(fā)性. 實質(zhì)上不難發(fā)現(xiàn)，第（1）題和第（2）題其實就是一個問題，第（2）題只不過是對參數(shù)有所突破.

3. 依據(jù)教學(xué)內(nèi)容，巧妙設(shè)計“問題串”

（1）改編教學(xué)情境：教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)不僅能夠吸引學(xué)生的注意力，而且能使課堂教學(xué)變得生動有趣. 因此，設(shè)計“問題串”時，教師應(yīng)及時改變教學(xué)情境，不斷融入與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的歷史故事、數(shù)學(xué)游戲等，有效滿足學(xué)生心理發(fā)展需求，促使學(xué)生在身臨其境中連串思考.

案例6 “等比數(shù)列及其前n項和”新授課導(dǎo)入.

教師可以在課題引入環(huán)節(jié)，通過微視頻的形式呈現(xiàn)印度國王西拉謨與國際象棋發(fā)明者的故事，然后要求學(xué)生思考如下問題：

問題1：發(fā)明者的要求簡單嗎？如果你是國王，你會答應(yīng)他的要求嗎？

問題2：你覺得發(fā)明者能夠獲得多少麥粒？

問題3：通過該故事，你能得到哪些啟示？

（2）改編習(xí)題：習(xí)題練習(xí)能夠有效深化學(xué)生對所學(xué)知識的認(rèn)識，幫助教師了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況. 因此，設(shè)計“問題串”時，教師可以就習(xí)題中所考查的內(nèi)容進(jìn)行擴展延伸，不斷改變問題條件，有效培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，從而幫助學(xué)生解決綜合類等復(fù)雜問題.

案例7 如圖4所示，在正方體ABCD-ABCD中，

①哪些棱所在的直線與直線BA成異面直線？

②試求直線BA與CC的夾角;

③哪些棱所在的直線與直線AA垂直？

為突出教學(xué)重點，教師可以就此題中所考察的異面直線的定義、異面直線的夾角等內(nèi)容進(jìn)行延伸，設(shè)計以下“問題串”：

問題1：請問空間中兩條直線的位置關(guān)系有哪些？用相應(yīng)的圖示表示出來.

問題2：如何理解異面直線？

問題3：圖中有沒有異面直線？如果有，是哪些？

問題4：以棱AB所在直線為例，試著列舉出與它成異面直線的直線.

問題5：教材中是如何定義異面直線的？你是如何理解異面直線的？能否用相關(guān)圖示進(jìn)行解釋？

問題6：直線BB與CC所成的角是多少？

問題7：哪些棱所在直線與直線AA垂直？

（3）改編教材教學(xué)順序：為了幫助學(xué)生理清各知識點之間的邏輯關(guān)系，有效培養(yǎng)學(xué)生分析、理解數(shù)學(xué)問題的能力，設(shè)計“問題串”時，教師可以將本章所有知識點融入“問題串”中，使得由于課時限制而分裂的知識點能夠前后相連、一氣呵成.

案例8 “空間幾何體”的知識小結(jié).

知識小結(jié)是課堂學(xué)習(xí)中不可缺少的環(huán)節(jié)，教師應(yīng)按照所學(xué)知識的連續(xù)性、系統(tǒng)性設(shè)計以下“問題串”，有效幫助學(xué)生將空間幾何體章節(jié)所有的知識點融入知識結(jié)構(gòu).

問題1：相信大家學(xué)完本章節(jié)的知識后都對空間幾何的一些內(nèi)容有了一定的了解，那么，請問空間幾何體有哪幾種類型？

問題2：對于空間幾何體的類型，其相應(yīng)的幾何體都有哪些？

問題3：如何求本章節(jié)所學(xué)的幾何體的表面積與體積？（考查學(xué)生對相應(yīng)公式的理解與掌握能力）

問題4：除此之外，本章節(jié)還學(xué)了哪些投影呢？

問題5：所學(xué)投影的特點有哪些？

問題6：平行投影在數(shù)學(xué)上有哪些應(yīng)用？

問題7：三視圖與直觀圖中應(yīng)注意的內(nèi)容有哪些？

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中實施“問題串”教學(xué)就是將“問題”作為教學(xué)活動的起點和主旨，依據(jù)教學(xué)目標(biāo)、教育原則以及教學(xué)內(nèi)容，按照由淺入深、循序漸進(jìn)、相互聯(lián)系的原則設(shè)計合理、科學(xué)的“問題串”，并將問題解決與學(xué)生的學(xué)習(xí)相互融合[4]. 只有這樣，才能為學(xué)生營造出個性化的生態(tài)課堂，激發(fā)數(shù)學(xué)思維，引領(lǐng)學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，有效培養(yǎng)和提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)和自主探究的能力，全面發(fā)展數(shù)學(xué)能力.

參考文獻(xiàn)：

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