多解視角下的三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)微專題復(fù)習(xí)

陳俊斌

[摘? 要] 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，是歷年高考考查力度最大的主線之一，是考查數(shù)學(xué)思想方法和能力、考查核心素養(yǎng)的主要載體.近年來，以三角函數(shù)為背景考查導(dǎo)數(shù)的試題悄然興起，文章以2021年八省適應(yīng)性考試第22題為例闡述如何在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)中進(jìn)行三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的微專題復(fù)習(xí)，以期拋磚引玉.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)與導(dǎo)數(shù);三角函數(shù);微專題

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，是歷年高考考查力度最大的主線之一，是考查數(shù)學(xué)思想方法和能力、考查核心素養(yǎng)的主要載體.近幾年，以三角函數(shù)為背景考查導(dǎo)數(shù)的試題悄然興起，如2008年全國(guó)Ⅱ卷理科第22題，2018年全國(guó)Ⅰ卷理科第16題，2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第20題（文科第20題），2020年全國(guó)Ⅱ卷理科第21題，等等. 此類題目難度較大、結(jié)構(gòu)靈活多變，它們雖然以三角函數(shù)為背景，但主要考查的仍是函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題、零點(diǎn)個(gè)數(shù)、極值點(diǎn)等內(nèi)容.微專題是指教師針對(duì)具體知識(shí)點(diǎn)，精選例習(xí)題，為學(xué)生解決復(fù)習(xí)中遇到的新問題;在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段，采用微專題復(fù)習(xí)方式，可達(dá)到精準(zhǔn)高效的目的. 本文以2021年八省適應(yīng)性考試第22題為例闡述如何在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)中進(jìn)行三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的微專題復(fù)習(xí)，以期拋磚引玉.

典型題例 （2021年八省適應(yīng)性考試第22題）已知函數(shù)f（x）=ex-sinx-cosx， g（x）=ex+sinx+cosx.

（1）證明：當(dāng)x>-時(shí)，f（x）≥0;

（2）若g（x）≥2+ax，求a.

[?]思路探析：第（1）問

不等式恒成立問題是高考的熱點(diǎn)問題和難點(diǎn)問題，主要涉及兩大類：一類是在實(shí)數(shù)集R上的恒成立問題，另一類是在實(shí)數(shù)集R的子區(qū)間上的恒成立問題.其中已知不等式恒成立求參數(shù)的范圍問題是一大難點(diǎn)，常常涉及函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，考查函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類整合思想，求解過程中對(duì)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性要求很高.常見的有構(gòu)造函數(shù)法和分離參數(shù)法.

思路1：對(duì)函數(shù)f（x）=ex-sinx-cosx進(jìn)行變形，得f（x）=ex-sin

x+;分別作出函數(shù)y=ex，函數(shù)y=sin

x+的圖像，則f（x）≥0?y≥y. 由函數(shù)圖像結(jié)合三角函數(shù)的有界性，可對(duì)自變量x分為

，（0，ln]及（ln，+∞）四個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論. 該思路體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想.

思路2：對(duì)自變量x的前兩個(gè)區(qū)間的劃分同思路1一樣，但結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性可得自變量x的后個(gè)區(qū)間分別為

思路3：利用常見不等式x>0，sinx

思路4：利用“指數(shù)找朋友”對(duì)不等式f（x）≥0進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，構(gòu)造函數(shù)F（x）=，通過研究該函數(shù)的最值問題得不等式f（x）≥0恒成立.

【詳解示范】

解法1：f（x）=ex-sinx-cosx=ex-sin

x+.

①當(dāng)x∈

-，-

時(shí)，x+∈（-π，0]，sin

x+≤0，ex>e>0，所以f（x）>0.

②當(dāng)x∈

-，0

時(shí)，x+∈

0，

，f′（x）=ex-cosx+sinx=ex+sin

x-，f″（x）=ex+sinx+cosx=ex+·sin

x+>0，所以f′（x）單調(diào)遞增.

又f′（0）=0，所以當(dāng)x∈

-，0

時(shí)，f′（x）≤f′（0）=0，即f（x）在x∈

-，0

上單調(diào)遞減，故f（x）≥f（0）=0成立.

③當(dāng)x∈（0，ln]時(shí)，對(duì)ln進(jìn)行放縮，即當(dāng)0f″（0）=2>0，所以f′（x）=ex+sin

x-單調(diào)遞增，故f′（x）>f′（0）=0，即f（x）在（0，ln]上，單調(diào)遞增，所以f（x）>f（0）=0成立.

④當(dāng)x>ln時(shí)，ex> ，·sin

x+≤，所以f（x）=ex-·sin

x+>0成立.

綜上可得，當(dāng)x>-時(shí)，f（x）≥0.

解法2：區(qū)間①、②同解法1一樣，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性可得區(qū)間③、④分別為

0，

，

，+∞.

區(qū)間①、②同解法1.

③當(dāng)x∈

0，

時(shí)，f″（x）=ex+·sin

x+>0，所以f′（x）=ex+·sin

x-單調(diào)遞增. 故f′（x）>f′（0）=0，所以f（x）在

0，

上單調(diào)遞增，所以f（x）>f（0）=0成立.

④當(dāng)x∈

，+∞時(shí)，ex>e>e>，sin

x+≤，所以f（x）=ex-sin

x+>0成立.

解法3：對(duì)區(qū)間③、④進(jìn)行整合，即當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=ex-sinx-cosx>ex-x-1>0，故當(dāng)x>-時(shí)，f（x）≥0.

解法4：f（x）≥0?ex≥sinx+cosx?≤1，設(shè)函數(shù)F（x）=，則F′（x）=，所以當(dāng)x∈

-，-π

時(shí)，F(xiàn)′（x）<0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減;當(dāng)x∈（-π，0）時(shí)，F(xiàn)′（x）>0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，F(xiàn)′（x）<0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減. 所以當(dāng)x∈

-，π

時(shí)，F(xiàn)（x）=max

F

-

，F(xiàn)（0）

=1;當(dāng)x>π時(shí)，≤<1也成立. 綜上可得，當(dāng)x>-時(shí)，f（x）≥0.

【解后反思】

不含參的不等式恒成立問題常見的方法有兩種：一是直接法，即通過導(dǎo)數(shù)直接研究所給函數(shù)的最值，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題;二是構(gòu)造函數(shù)法，即將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)換成容易研究的函數(shù).在轉(zhuǎn)換的過程中常利用如移項(xiàng)作差、參變分離、等價(jià)轉(zhuǎn)化（從特殊到一般）、局部構(gòu)造（由部分看整體）等策略，有時(shí)還需利用經(jīng)典不等式進(jìn)行適當(dāng)放縮等. 總之，要靈活運(yùn)用等價(jià)變形等各種技巧，才能使解題更精彩.

[?]思路探析：第（2）問

含參不等式的恒成立問題是數(shù)學(xué)中的常見問題，也是近年高考的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn).大多是在所給不等式中，已知一個(gè)變量的范圍（或不限制條件），求另一個(gè)變量的取值問題.常見的方法有分離參數(shù)、分類討論、先必要后充分、半分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)等.解題時(shí)要根據(jù)題目的條件進(jìn)行綜合分析，才能選擇適當(dāng)?shù)姆椒焖贉?zhǔn)確地解題.

思路1：先必要后充分法. 構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-2-ax，通過觀察得h（0）=0，h（x）≥0?h（x）≥h（0），得x=0為極小值點(diǎn)，從而得不等式h（x）≥h（0）成立的必要條件為a=2. 再證a=2時(shí)，h（x）≥0恒成立.采用先必要后充分法對(duì)含三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題仍然適應(yīng)，有利于思路的探尋，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，快速解題. 該思路體現(xiàn)了觀察歸納、化歸轉(zhuǎn)化等思想.

思路2：分離參數(shù)法. 在給出的不等式中，通過恒等變形分離出參數(shù)，即若a≥f（x）恒成立，只需求出f（x），則a≥f（x）;若a≤f（x）恒成立，只需求出f（x），則a≤f（x）. 把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題. 本題中，通過分離參數(shù)法可構(gòu)造函數(shù)h（x）=，結(jié)合極限思想得x>0時(shí)，a≤2;x<0時(shí)，a≥2. 故a=2. 該思路體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化、有限無限等思想.

思路3：構(gòu)造函數(shù)法是解決不等式恒成立問題的常用方法，即對(duì)所給不等式進(jìn)行移項(xiàng)（或部分移項(xiàng)）構(gòu)造新函數(shù)，再研究所構(gòu)造函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)得到其最值.在研究最值的過程中，常要根據(jù)變量的取值范圍進(jìn)行分類討論.該思路體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化、分類整合等思想.

【詳解示范】

解法1（先必要后充分法）：令h（x）=g（x）-2-ax=ex+sinx+cosx-2-ax，則h（0）=0，h（x）≥0?h（x）≥h（0），故x=0為極小值點(diǎn). 從而h′（0）=2-a=0，所以a=2. 下證a=2時(shí)，h（x）≥0成立.

要證明a=2時(shí)，h（x）≥0，只需證明當(dāng)x>0時(shí)，h′（x）>0;當(dāng)x<0時(shí)，h′（x）<0即可.

令G（x）=，則G′（x）=≤0，注意到G（0）=1. 所以G（x）在R上單調(diào)遞減. 故當(dāng)x>0時(shí)，G（x）0，所以h′（x）>0;當(dāng)x<0時(shí)，G（x）>G（0）=1，即ex-sinx+cosx-2<0，所以h′（x）<0. 證畢！

解法2（分離參數(shù)法）：g（x）≥2+ax，即ax≤ex+sinx+cosx-2. 顯然，當(dāng)x=0時(shí)不等式成立;當(dāng)x>0時(shí)，a≤，令x→0，則a≤=（ex+cosx-sinx）

=2;當(dāng)x<0時(shí)，a≥，令x→0，可得a≥=（ex+cosx-sinx）

=2. 故a=2.

解法3（構(gòu)造函數(shù)法）：令h（x）=g（x）-2-ax，則h（x）=ex+sinx+cosx-2-ax. 所以h（0）=0，h′（0）=2-a.

h′（x）=ex+cosx-sinx-a，h″（x）=ex-sinx-cosx=f（x），由（1）知，x>-時(shí)，f（x）≥0，所以h′（x）在

-，+∞

上單調(diào)遞增. 令h′（0）=0，則a=2.

①當(dāng)a=2時(shí)，x∈

-，0

，h′（x）h′（0）=0，h（x）單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x>-時(shí)，h（x）≥h（0）=0成立;而當(dāng)x≤-時(shí)，h（x）=ex+sinx+cosx-2-2x≥ex+sinx+cosx-2+>-2->0.所以a=2時(shí)，g（x）≥2+ax.

②當(dāng)a>2時(shí)，h′（0）=2-a<0，h′[ln（a+2）]=a+2-sinln（a+2）

--a=2-sinln（a+2）

->0，且h′（x）在

-，+∞

上單調(diào)遞增，所以存在唯一x∈（0，ln（a+2）），使得h′（x）=0;而當(dāng)x∈（0，x）時(shí)，h′（x）<0，h（x）單調(diào)遞減，故h（x）

③當(dāng)a<2時(shí)，h′（0）=2-a>0，h′

-

=e-a<1-a，當(dāng)1

-

<0.又h′（x）在

-，+∞

上單調(diào)遞增，所以存在唯一x∈

-，0

，使得h′（x）=0.而當(dāng)x∈（x，0）時(shí)，h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增，故h（x）

綜上所述，當(dāng)a=2時(shí)，g（x）≥2+ax.

[?]技能提升

已知函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]，

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）f（x）≤1+sinx對(duì)x∈[0，π]恒成立，求a.

解析：（1）f′（x）=a-sinx，因?yàn)閤∈[0，π]，sinx∈[0，1]，故當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0對(duì)任意x∈[0，π]恒成立，f（x）在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞減;當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0對(duì)任意x∈[0，π]恒成立，f（x）在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞增;當(dāng)00，f（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x∈（x，x）時(shí)，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減.

（2）解法1：構(gòu)造函數(shù)法.

令g（x）=ax+cosx-1-sinx，則原問題?g（x）≤0，g′（x）=a-sin

x+

∈[a-，a+1].

對(duì)a分四種情況進(jìn)行討論：

①a≤-1，g′（x）≤0，g（x）=g（0）=0顯然成立.

②-1

，π

使得g′（x）=0. 當(dāng)x∈（0，x）時(shí)，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減;當(dāng)x∈（x，π）時(shí)，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增. 所以g（x）=max{g（π），g（0）}，又g（0）=0，所以g（π）=aπ-2≤0，即a≤. 所以-1

③10，g（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x∈（x，x）時(shí)，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減. 顯然g（x）≥g（π）=aπ-2>π-2>0，不恒小于零，矛盾.

④a≥，g′（x）≥0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）=g（π）=aπ-2≥π-2>0，矛盾.

綜上所述，a≤.

點(diǎn)評(píng)：本解法利用三角函數(shù)的有界性找到分類討論的依據(jù).

解法2：全分離參數(shù)后使用洛必達(dá)法則求解（導(dǎo)數(shù)的形式化定義）.

①當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=1≤1+0，顯然成立.

②當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）≤1+sinx，即a≤. 令g（x）=，則g′（x）=. 令h（x）=（x+1）cosx+（x-1）sinx-1，則h′（x）=x（cosx-sinx）=xcos

x+

.

當(dāng)x∈

0，

時(shí)，h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x∈

，π

時(shí)，h′（x）<0，h（x）單調(diào)遞減. 因?yàn)閔

>0，h（π）=-π-2<0，所以存在x∈

，π

，使得h（x）=0. 又h（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，x）時(shí)，h（x）>0，即g′（x）>0;當(dāng)x∈（x，π）時(shí)，h（x）<0，即g′（x）<0. 所以g（x）在（0，x）上單調(diào)遞增，在（x，π）上單調(diào)遞減. 因?yàn)間（x）===1，g（π）=<1，所以g（x）=. 故a≤.

解法3：必要探路，充分性證明.

因?yàn)閒（x）≤1+sinx對(duì)x∈[0，π]恒成立，故f（π）=aπ-1≤1+0，即a≤. 下證a≤時(shí)，f（x）≤1+sinx對(duì)x∈[0，π]恒成立，只需證明x+cosx≤1+sinx對(duì)x∈[0，π]恒成立即可.

令g（x）=x+cosx-1-sinx，則g′（x）=-sinx-cosx. 因?yàn)?<<，所以存在x∈

，

使得g′（x）=0. 當(dāng)x∈（0，x）時(shí)，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減;當(dāng)x∈（x，π）時(shí)，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增. 又g（0）=g（π）=0，故g（x）=0. 所以g（x）≤0對(duì)任意x∈[0，π]恒成立. 證畢！

解法4：變換函數(shù)，半分離.

當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=1≤1+0顯然成立.

當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）≤1+sinx，即ax-1≤sinx-cosx=sin

x-

.

如圖1可知，y=ax-1是過定點(diǎn)A（0，-1）且斜率為a的直線，故當(dāng)且僅當(dāng)該直線過點(diǎn)B（π，1）及其下方時(shí)，ax-1≤sinx-cosx在x∈[0，π]恒成立，故a≤k=.

[?]選題說明

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)包括函數(shù)概念與基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用兩部分，是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，一般有3～4題. 其中解答題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的零點(diǎn)問題，且常與不等式知識(shí)相融合，對(duì)思維要求很高，一般在第22（或21）題的位置，屬于難題. 通常是以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)為載體考查函數(shù)極值、最值及零點(diǎn)等綜合問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與不等式含參問題.近年來，則呈現(xiàn)出了以三角函數(shù)為背景考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用的新特點(diǎn). 融入三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題較早出現(xiàn)在2008年全國(guó)Ⅱ卷理科第22題，近三年則分別出現(xiàn)在2018年全國(guó)Ⅰ卷理科第16題、2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第20（文科第20題）、2020年全國(guó)Ⅱ卷理科第21題. 這些試題雖然都以三角函數(shù)為背景，實(shí)則考查的仍是函數(shù)的單調(diào)性、恒成立、零點(diǎn)個(gè)數(shù)、極值點(diǎn)等問題. 如果考生直接從三角函數(shù)固有的性質(zhì)及三角公式、三角變換等方面入手，則往往難以解決，這時(shí)就需要借助導(dǎo)數(shù)作為工具來研究它們. 借助導(dǎo)數(shù)研究有關(guān)三角函數(shù)的問題，往往更能充分考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法、運(yùn)算求解能力以及綜合應(yīng)變能力，彰顯學(xué)生思維的靈活性、多樣性及獨(dú)創(chuàng)性，因此備受命題者青睞.

本微專題復(fù)習(xí)中的例題源于教育部考試中心命制的2021年八省適應(yīng)性考試的第22題，面向物理實(shí)驗(yàn)班的優(yōu)秀生，基于高考遵循的“一核四層四翼”命題指導(dǎo)思想，注意從特殊與一般思想入手，期望以一題多解開拓學(xué)生思維，將“試題問題化、問題模型化、解模規(guī)范化、解題技能化”和精準(zhǔn)高效復(fù)習(xí)為指導(dǎo)取向，期望實(shí)現(xiàn)“一例題一練習(xí)多方法”，為基礎(chǔ)扎實(shí)的優(yōu)秀生在高考中破解導(dǎo)數(shù)與三角相結(jié)合的壓軸題提供方向與路徑，亦為教師二輪復(fù)習(xí)提供借鑒，應(yīng)引起重視.

數(shù)學(xué)教學(xué)是一場(chǎng)思維旅行，目的雖然重要，但更重要的是教會(huì)學(xué)生欣賞沿途風(fēng)景——教會(huì)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué)中的美. 數(shù)學(xué)家克萊因曾說過：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，但數(shù)學(xué)卻能提供以上的一切，并給人快樂.”在本微專題復(fù)習(xí)中，以2021年八省適應(yīng)性考試的第22題為切入口，在第（1）問的證明中呈現(xiàn)了4種解題思路，闡釋了思維的歷程（經(jīng)歷“如何討論”“優(yōu)化、簡(jiǎn)化討論”等過程），可以讓不同發(fā)展水平的學(xué)生都有所獲得;在第（2）問（求參數(shù)問題）中，呈現(xiàn)了4種常見、有效的解題方法，對(duì)于處理導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)交匯的試題，富有可操行性和實(shí)效性. 采用這種微專題復(fù)習(xí)方法能緊扣高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題，契合“試題問題化、問題模型化、解模規(guī)范化、解題技能化”，從而達(dá)到精準(zhǔn)高效復(fù)習(xí)的目的.