巧估算，妙解選擇題

吳亞南

單項選擇題是高考試題中常出現(xiàn)的一類題目.此類問題中一般會有4個選項，其中只有1個選項是正確的，且不要求提供詳細(xì)的解題過程，只需選出正確的選項.有些單項選擇題中的參數(shù)較多，有的給出的數(shù)值較大、項數(shù)較多，有的給出的條件較少，我們很難或者無法（或沒有必要）通過精準(zhǔn)的運(yùn)算、推理得出正確的答案，此時可根據(jù)題目中的特殊要素、圖形的性質(zhì)、極限值等來進(jìn)行估算，利用估算法來快速找到正確的選項，得出問題的答案.

一、借助特殊元素進(jìn)行估算

有些單項選擇題中涉及的參數(shù)、變量較多，問題的答案也不唯一，我們很難根據(jù)題意確定答案，此時可從特殊元素入手，結(jié)合題意尋找一些特殊值、特殊角、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊函數(shù)（或數(shù)列）、特殊圖形等特殊元素，將其代入題設(shè)中進(jìn)行求解，便可快速找出正確的選項.

例1.（2021年高考數(shù)學(xué)上海卷，第16題）已知x1 ， y1 ， x2 ， y2 ， x3 ， y3 為6個不同的實數(shù)，且滿足① x1 < y1 ， x2 < y2 ， x3 < y3 ;② x1 + y1 = x2 + y2 = x3 + y3 ;③ x1 y1 + x3 y3 =2x2 y2 ，則以下選項中恒成立的是（? ） .

A.2x2< x1+ x3 B.2x2> x1+ x3 C. x22< x1 x3 D. x22> x1 x3

分析：題目中涉及了6個不同的實數(shù)，且需滿足3個關(guān)系式，較為復(fù)雜.不妨根據(jù)已知條件選取并確定3個特殊值賦給 x1、x2、x3 ，再結(jié)合3個關(guān)系式確定另外3個實數(shù)y1、y2、y3 的值，進(jìn)而通過估算來確定正確的答案.

例2. （湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2022屆高三第二次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷，第7題）公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派利用頂角為36°的等腰三角形研究黃金分割.如圖1，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，∠ABC 的平分線交 AC 于 M，依此圖形可求得 cos36°=（? ） .

分析：36°不是特殊角，通過三角函數(shù)恒等變換來進(jìn)行計算，運(yùn)算量大.而根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可確定cos36°與特殊角45°的三角函數(shù)值的大小關(guān)系，即可排除不符合要求的選項，進(jìn)而得到正確的答案.

借助特殊元素進(jìn)行估算，主要是利用一般到特殊的思想來解題.找到滿足題意的特殊值、特殊角、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊函數(shù)（或數(shù)列）、特殊圖形等特殊元素，將其代入題設(shè)中進(jìn)行求解，即可找到適合一般情況的特殊情形.通過選取合適的特殊值，使題目條件與結(jié)論簡化，便可減少運(yùn)算，優(yōu)化解題的過程.

二、根據(jù)圖形的特征、性質(zhì)進(jìn)行估算

對于一些與圖形有關(guān)的函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何、平面向量、立體幾何的單選項選擇題，我們可從圖形的特征、性質(zhì)入手，根據(jù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖象，幾何圖形的性質(zhì)來明確點(diǎn)的范圍、直線與曲線的位置關(guān)系，通過估算來求得問題的答案.

例3.（2020年高考數(shù)學(xué)北京卷，第5題）已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)（3，4），則圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）.

A.4 B.5 C.6 D.7

分析：解答本題需抓住圓的幾何性質(zhì)：圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑.該圓的圓心不確定，要確定圓心到原點(diǎn)的距離，需明確點(diǎn)（3，4）的位置.根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)（3，4）離原點(diǎn)最近時，圓心到原點(diǎn)的距離最小.

解：由于點(diǎn)（3，4）到原點(diǎn)的距離為32+ 42=5，所以圓心到原點(diǎn)的最小距離為點(diǎn)（3，4）到原點(diǎn)的距離與半徑之差，可得圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為4，故本題應(yīng)選擇A選項.

例4.若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓（x - m）2 +（y + m）2=4的內(nèi)部，則實數(shù) m 的取值范圍是（）.

解：因為（0，0）在（x - m）2 +（y + m）2=4的內(nèi)部，則（0- m）2 +（0+ m）2< m <2 .本題應(yīng)選C.

點(diǎn) M（x0，y0）與圓（x - a）2 +（y - b）2=r 2的位置關(guān)系有三種：（1）若 M（x0，y0）在圓外，則（x0- a）2 +（y0- b）2> r 2; （2）若 M（x0，y0）在圓上，則（x0- a）2 +（y0- b）2 = r 2;（3）若 M （x0，y0）在圓內(nèi)，則（x0- a）2 +（y0- b）2< r 2.本題中原點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以根據(jù)（x0- a）2 +（y0- b）2< r 2，即可建立不等關(guān)系式，求得 m 的取值范圍.

在解答與圖形有關(guān)的問題時，要抓住線段、三角形、圓等平面幾何圖形的性質(zhì)，以便根據(jù)圖形中點(diǎn)、線、面的位置及其關(guān)系進(jìn)行估算.這種解題方式比較簡捷而且有效.

三、通過取極限值進(jìn)行估算

在解答最值或取值范圍問題時，常?？梢酝ㄟ^分析極限情形，如變量趨近于+∞、-∞，幾何圖形趨近于簡單基本圖形，點(diǎn)在位置趨近于端點(diǎn)等來求得最大、最小值，從而求得問題的答案.

例5.設(shè) A，B，C，D 是同一個半徑為4的球的球面上的四點(diǎn)，△ABC 為等邊三角形，且其面積為93，則三棱錐 D-ABC 體積的最大值為（）

解：當(dāng)G 為△ABC 的重心時，S△ABC =93，可得 AB =6，取 BC 的中點(diǎn) H ，AH = AB ?sin 60°=33， 則AG =2 3 AH =23，則三棱錐的高4< h <8，該球的球心不是此三角形的中心，所以13×93 ×4< V三棱錐D - ABC <13×93 ×8，即123< V三棱錐D - ABC

要確定三棱錐 D-ABC 體積的最大值，需確定三棱錐高的最大值.可根據(jù)三棱錐與外接球的位置關(guān)系，討論三棱錐高的大小變化情況以及極限情形：球的球心是三角形的中心時三棱錐的高最大.

運(yùn)用估算法解題，往往能減少運(yùn)算量，降低解題的難度，尤其對于一些較為復(fù)雜的單項選擇題，巧妙利用估算法，可以達(dá)到化難為易、化繁為簡的效果.在運(yùn)用估算法解答單項選擇題時，需通過觀察、推理、猜測、推算等方式分析題目，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想、一般到特殊的思想、數(shù)形結(jié)合思想來輔助解題.